2023-2024学年湖北省武汉市江夏区光谷实验中学八年级（下）开学数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市江夏区光谷实验中学八年级（下）开学数学试卷(含解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若二次根式 m−1在实数范围内有意义，则m取值范围是( )
A. m=1B. m>1C. m≤1D. m≥1
2.下列各式中属于最简二次根式的是( )
A. x2y5B. 0.5C. 12D. x2+1
3.下列各式中，计算正确的是( )
A. (−4)(−16)= −4× −16=(−2)×(−4)=8
B. 8a2=4a
C. 412−402= (41+40)(41−40)=9
D. 32+42=3+4=7
4.下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A. AB/​/CD，AD=BCB. ∠A=∠C，∠B=∠D
C. AB=CD，AD=BCD. AB/​/CD，AB=CD
5.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是( )
A. AO=OBB. AO⊥ODC. AO=OCD. AO⊥AB
6.由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A. ∠A+∠B=∠CB. a：b：c=1：1：2
C. (b+c)(b−c)=a2D. a=1,b= 2,c= 3
7.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了( )
A. 0.4米
B. 0.5米
C. 0.6米
D. 0.7米
二、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
8.化简二次根式 (−3)2的结果等于______．
9.在平行四边形ABCD中，∠A=50°，则∠C=______°.
10.若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为______．
三、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.(本小题10分)
计算：
(1) 45+ 18− 8+ 125；
(2) 123÷ 213× 125．
12.(本小题10分)
已知一个三角形的三边长分别为23 9x、6 x4、2x 1x．
(1)求它的周长(要求结果化简)；
(2)请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
13.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90°，∠ACB=30°，AB=3，AD=10，CD=8．
(1)求证：△ACD是直角三角形；
(2)求四边形ABCD的面积．
14.(本小题6分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：
(1)在图中已知点A，画一个△ABC，使AB= 13，BC=3，AC= 10．
(2)请在网格中画出▱ADBC．
(3)请用无刻度的直尺画出图中△ABC中AC边上高BM(结果用实线表示，其他辅助线用虚线表示)，且BM= ______．
15.(本小题12分)
如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)若AC+BD=42，AB=14，求△OEF的周长．
16.(本小题12分)
在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，且CA=CB．

(1)如图1，若△ECD也是等腰直角三角形，且CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，连BD．
①求证：△ACE≌△BCD；
②求证：AE2+AD2=2AC2；
(2)如图2，E为AB上一点，AE=3，CE= 29，则BC的长为______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：二次根式 m−1在实数范围内有意义，
则m−1≥0，
解得：m≥1．
故选：D．
直接利用二次根式有意义的条件，得出m−1≥0，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、被开方数能开方，A不是最简二次根式，故A错误；
B、被开方数含分母，B不是最简二次根式，故B错误；
C、被开方数含有能开方的因数，C不是最简二次根式，故C错误；
D、被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D是最简二次根式；
故选：D．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3.【答案】C
【解析】解：A、 −4， −16无意义，故本选项错误；
B、∵ 8a2=2 2|a|，故本选项错误；
C、 412−402= (41+40)(41−40)=9，本选项正确；
D、 32+42= 9+16= 25=5，故本选项错误．
故选：C．
根据二次根式的意义，二次根式的运算法则，逐一检验．
本题考查了二次根式的性质与化简．关键是理解二次根式的意义和运算法则．
4.【答案】A
【解析】解：A、由AB/​/CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项A符合题意；
B、∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB/​/CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：A．
根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC；
故选：C．
由平行四边形的性质容易得出结论．
本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角线互相平分是解决问题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∠C=90°，是直角三角形，不符合题意；
B、设a=x，b=x，c=2x，x2+x2≠(2x)2，不是直角三角形，符合题意；
C、(b+c)(b−c)=a2，b2−c2=a2，a2+c2=b2，是直角三角形，不符合题意；
D、12+( 2)2=( 3)2，是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，注意：①如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形，②三角形的内角和等于180°．
7.【答案】B
【解析】解：由题意可知，∠C=90°，AB=DE=2.5米，BC=1.5米，BD=0.5米，
∴CD=BC+BD=1.5+0.5=2(米)，
在Rt△ABC中，AC= AB2−BC2= 2．52−1．52=2(米)，
在Rt△CDE中，CE= DE2−CD2= 2．52−22=1.5(米)，
∴AE=AC−CE=2−1.5=0.5(米)，
即梯子顶端A下落了0.5米．
故选：B．
由题意可知∠C=90°，AB=DE=2.5米，BC=1.5米，BD=0.5米，根据勾股定理可分别求出AC、CE的长，再求出AE的长即梯子顶端A下落的距离．
本题主要考查勾股定理的实际应用，解题关键是注意梯子的长度不变，利用勾股定理求出AC、CE的长．
8.【答案】3
【解析】解： (−3)2=|−3|=3．
根据二次根式的性质： a2=|a|，直接计算．
此题主要考查二次根式的性质： a2=|a|．
9.【答案】50
【解析】【分析】
此题考查了平行四边形的性质．
由在平行四边形ABCD中，∠A=50°，根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=50°．
故答案为：50．
10.【答案】5或 7
【解析】解：当4是直角边时，第三边长= 32+42=5，
当4是斜边时，第三边长= 42−32= 7，
故答案为：5或 7．
分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
11.【答案】解：(1) 45+ 18− 8+ 125
=3 5+3 2−2 2+5 5
=8 5+ 2；
(2) 123÷ 213× 125
= 53×37×75
= 1
=1．
【解析】(1)先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
(2)根据二次根式的乘法和除法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
12.【答案】解：(1)周长=23 9x+6 x4+2x 1x=2 x+3 x+ x=7 x．
(2)当x=4时，周长=7× 4=14.(答案不唯一)．
【解析】(1)把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
(2)该题答案不唯一，只要使它的周长为整数即可．
本题考查了二次根式的应用，对于第(2)问答案不唯一，但要注意必须符合题意．
13.【答案】(1)证明：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=3，
∴AC=2AB=6，
在△ACD中，AC=6，CD=8，AD=10，
∵82+62=102，即AC2+CD2=AD2，
∴∠ACD=90°，即△ACD是直角三角形；
(2)解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=6，
∴BC= 62−32=3 3，
∴Rt△ABC的面积为12⋅AB⋅BC=12×3×3 3=9 32，
又∵Rt△ACD的面积为12⋅AC⋅CD=12×8×6=24，
∴四边形ABCD的面积为：9 32+24．
【解析】(1)根据直角三角形的性质得到AC=2AB=6，根据跟勾股定理的逆定理即可得到结论；
(2)根据勾股定理得到BC=3 3，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
14.【答案】9 1313
【解析】解：如图：
(1)△ABC即为所求；
(2)▱ADBC即为所求；
(3)BM即为所求；
∵S△ABC=12AC⋅BM=12BC⋅3，
∴BM=9 1313，
故答案为：9 1313．
(1)根据勾股定理作图；
(2)根据平行四边形的判定作图；
(3)根据网格线的特点作图；根据勾股定理求值．
本题考查了作图的应用与设计，掌握勾股定理和平行四边形的判定定理是解题的关键．
15.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点．
∴EO=12OA，GO=12OC，FO=12OB，HO=12OD，
∴EO=GO，FO=HO，
∴四边形EFGH是平行四边形；
(2)∵AC+BD=42，
∴AO+BO=21，
∴EO+FO=10.5，
∵E、F分别是AO、BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线，
∴EF=12AB=7，
∴△OEF的周长=OE+OF+EF=10.5+7=17.5．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AO=CO，BO=DO，根据线段中点的概念得到EO=12OA，GO=12OC，FO=12OB，HO=12OD，得到EO=GO，FO=HO，根据平行四边形的判定定理证明；
(2)根据三角形中位线定理求出EF，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质是解题的关键．
16.【答案】5 2
【解析】(1)证明：①∵∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD，
CA=CB∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)；
②∵△ACE≌△BCD，
∴BD=AE，∠CDB=∠E=45°，
∴∠ADB=∠EDC+∠CDB=90°．
在Rt△ADB中，BD2+AD2=AB2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即2AC2=AB2，
∴AE2+AD2=BD2+AD2=2AC2；
(2)解：如图，过点E作EH⊥AC于H，EN⊥BC于N，
又∵∠ACB=90°，
∴四边形CNEH是矩形，
∴EH=CN，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠A=∠B=45°，
∵EH⊥AC，EN⊥BC，
∴△AHE和△ENB是等腰直角三角形，
∴AH=HE，EN=BN，
∵AE=3，
∴HE=AH=3 22，
∴CN=3 22，
∴EN= CE2−CN2=7 22，
∴BN=7 22，
∴BC=CN+BN=5 2．
(1)①由“SAS”可证△ACE≌△BCD；
②由全等三角形的性质可得BD=AE，∠CDB=∠E=45°，由勾股定理可求解；
(2)由勾股定理可求EH，EN的长，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．