人教版数学六年级上册易错专项练第17讲 数学广角——数与形（讲义）（含答案）

这是一份人教版数学六年级上册易错专项练第17讲 数学广角——数与形（讲义）（含答案），共26页。试卷主要包含了数形结合思想的意义，寻找数与形规律的方法，数与形找规律题的步骤，5，9，2；等内容，欢迎下载使用。

小学数学六年级上册易错专项练（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）

1.数形结合思想的意义。
数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．
2.寻找数与形规律的方法。
通常从相邻数（或形）之间的关系，总结出一般的规律。
3.数与形找规律题的步骤。
第一步：寻找数量关系；
第二步：用代数式表示规律；
第三步：验证规律。
在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。
【易错一】在一个平面上有68个点，一共可以连（ ）条线段。
A．68B．2278C．2346D．1190
【解题思路】每个点都可与其它点连成一条线段，这样就重复了一遍，点数×（点数－1）÷2＝线段数量，据此分析。
【完整解答】68×（68－1）÷2
＝68×67÷2
＝4556÷2
＝2278（条）
故答案为：B
【易错点】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
【易错二】按规律填空。
……
照这样摆下去，第10幅图需要( )根小棒。第n幅图需要( )根小棒。
【解题思路】通过观察可知，三角形个数每次增加1个，所需小棒数每次增加2根，据此解答。
【完整解答】第1图小棒数：3＝3
第2图小棒数：5＝3＋1×2
第3图小棒数：7＝3＋2×2
第4图小棒数：9＝3＋3×2
……
第10图小棒数：21＝3＋9×2
第n图小棒数：1＋2n＝3＋（n－1）×2
【易错点】本题考查运用数形结合方法，探索数学规律。
【易错三】小明用牙签搭六边形，如下图。
（1）数一数，上面四幅图每幅各用了多少根牙签？
（2）接着画下去，第五幅图将用多少根牙签？第八幅图呢？
（3）你能利用规律直接写成第n幅图一共要用多少根吗？
【解题思路】分析图形可知，每增加一个六边形就增加5根牙签，第1个图形一共用了6根牙签，第2个图形一共用了（6＋5）根牙签，第3个图形一共用了（6＋5×2）根牙签，第4个图形一共用了（6＋5×3）根牙签……则第n个图形一共用了[6＋5×（n－1）]根牙签，据此解答。
【完整解答】（1）第1幅图用了6根，第2幅图用了11根，第3幅图用了16根，第4幅图用了21根。
（2）第5幅图：6＋5×（5－1）
＝6＋5×4
＝6＋20
＝26（根）
第8幅图：6＋5×（8－1）
＝6＋40－5
＝46－5
＝41（根）
答：第五幅图将用26根牙签，第八幅图将用41根牙签。
（3）6＋5×（n－1）
＝6＋5n－5
＝（5n＋1）根
答：第n幅图一共要用（5n＋1）根。
【易错点】用含有字母的式子表示出图形变化的规律是解答题目的关键。
【易错四】数与形。
（1）仔细观察每幅图和它下面的算式之间的关系，根据发现的规律，接着画出后面的两个图形，并完成图形下面的算式。
（2）根据上面的规律，完成下面的算式。
1002－992＝（ ）＋（ ）＝（ ）
20202－20192＝（ ）＋（ ）＝（ ）
【解题思路】观察可知，大正方形和空白正方形的边长依次增加1，相邻两个数的平方的差等于这两个数的和，据此分析。
【完整解答】（1）
（2）根据上面的规律，完成下面的算式。
1002－992＝100＋99＝199
20202－20192＝2020＋2019＝4039
【易错点】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
一．选择题
1．把边长的正方形按如图所示拼成各种图形。当图形是4层时，它的周长是。如果图形有层，它的周长是 。
A．B．C．
2．如果，，。那么
A．B．C．D．无法确定
3．我国明朝时期的《算法统宗》里讲述了一种“铺地锦”的乘法计算方法，例如计算时，方法如下：
上面右图是计算的铺地锦方法，括号里应填的数是
A．10B．12C．0D．2
4．为庆祝“六一”，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图所示：
按照上面的规律，摆个“金鱼”，需用火柴棒的根数为
A．B．C．
5．按照规律37，31，25，19，□，，方框里应填
A．13B．12C．11
6．根据规律，，，第6个数是
A．B．C．
7．将小圆点按下面的规律排列，第六幅图中有 个小圆点。
A．30B．26C．42D．56
8．按如图方式摆放桌子和椅子，如果用表示桌子张数，用表示可坐人数，下面式子能表示可坐人数与桌子张数的关系的是
A．B．C．D．
9．小红用计算器算出了以下3题的积。
、、
照此规律，的积是 。
A．44435556B．4444355556C．444443555556
10．如图，连续摆个正六边形要 根小棒。
A．B．C．
二．填空题
11．找规律填数：，，， 。
12．摆1个△用3根小棒，摆2个△用5根小棒，摆3个△用7根小棒。照这样，摆5个△用 根小棒。
13．乐乐用黑、白两种方块照如图拼，图10中黑方块有 个，图中黑方块有 个。豆豆拼成的一个图中有47个白方块，他拼的是图 。
14．不计算，利用规律直接写出得数。

15．10、20、30、45、50、60这组数中 不符合规律，应改成 。
16．用火柴棒按图的方式搭正方形。搭20个这样的正方形需要 根火柴棒。搭个这样的正方形需要 根火柴棒。
17．如图是用棋子摆成的“”字，照如图的规律摆下去，第10个“”字需要 枚棋子。
18．根据“，，”算式中的规律，直接写出下面两题的得数： ， 。
19．按规律接着往下写。
（1）2.1，2.3，2.5，2.7，2.9， ， 。
（2）9.5，9.0，8.5，8.0，7.5， ， 。
20．根据前三个算式，直接填出括号里的数。
，，， 。
三．应用题
21．用小棒摆三角形如图：
摆1个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，摆3个三角形要用7根小棒，摆4个三角形要用9根小棒。
（1）照这样，摆5个三角形要用 根小棒，摆6个三角形要用 根小棒。
（2）照这样摆下去，摆20个三角形要用 根小棒。摆个三角形要用 根小棒（用含有的算式表示）
22．聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律：
（1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。

（2）求如图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“”来计算，明明说也可以用“”来计算。你知道明明是怎么想的吗？
23．一张长方形餐桌可以坐6人，两张同样大小的餐桌拼在一起可以坐10人，像这样拼下去，6张这样的餐桌可以坐多少人？（先画示意图，再列式计算）
24．明明用围棋子摆出了下面三个图案。
如果像这样摆下去，第6个图案一共要用多少枚围棋子？
25．一串数：，，，，，，，，，，
（1）第800个数是多少？
（2）是第几个数？
（3）前552个数的和是多少？
（4）前个数的和能否等于106，如果能，试求出的值，如果不能，试说明理由．
26．用小棒按下面的方式拼图形．
（1）如果按下面的规律拼成5个这样的五边形，一共要用 根小棒．
（2）接着拼下去，一共用了57根小棒，你知道一共拼成了多少个五边形吗？
27．小明用小棒搭房子．搭2间用9根，搭3间用13根．照这样计算，如果搭10间房子，需要用多少根小棒？
28．任意写一个四位数（各个数位上的数字互不相同），将这个四位数的四个数字重新组合，求出其中最大的数与最小的数的差，再将得到的差像上面那样重新组合，重复这个过程，你发现了什么？
29．如图是由同型号黑白两种颜色的三角形瓷砖按一定规律铺设的图形．
（1）请在虚线框内画出第4个图形．（只要画出示意图）
（2）第10个图形中有 块黑色的瓷砖．
30．先计算前三题，再根据发现的规律直接写出其他算式的结果．





参考答案
一．选择题
1．【分析】观察图形可得，1层周长是4厘米，2层周长8厘米，3层周长12厘米，4层周长16厘米，规律是厘米，厘米，厘米。层即可求。
【解答】解：1层周长是4厘米，2层周长8厘米，3层周长12厘米，4层周长16厘米，规律是厘米，厘米，厘米那么层就是厘米。
故选：。
【点评】仔细观察，比较总结是解决本题的关键。
2．【分析】观察算式可得：被除数为1开始，由此按顺序递增；除数都为，商为循环小数，且整数部分都为0，当被除数为1时，循环节为06；当被除数为2时，循环节为12；当被除数为3时，循环节为18；由此可知，被除数增加时，则循环节会增加06，由此按规律写出第7个算式的循环节，由此解答即可。
【解答】解：
故选：。
【点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。
3．【分析】观察可得，，，，分别填在大正方形的四个小正方形内，然后斜行数从又下角开始相加，和写在相应的正方形下面，最后把大正方形周围的的数字从左上到左下再向右依次写出来，就是乘积。
【解答】解：根据分析可得，
括号里写2，向前一位进1。
故选：。
【点评】仔细观察，认真总结是解决本题的基本素质。
4．【分析】根据图示可知，摆1条“金鱼”需要火柴棒8根；摆2条“金鱼”需要火柴棒：（根；摆3条“金鱼”需要火柴棒：（根；；摆条“金鱼”需要火柴棒：根。据此解答即可。
【解答】解：摆1条“金鱼”需要火柴棒8根
摆2条“金鱼”需要火柴棒：（根
摆3条“金鱼”需要火柴棒：（根
摆条“金鱼”需要火柴棒：根
答：摆个“金鱼”，需用火柴棒的根数为根。
故选：。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
5．【分析】依次减6。
【解答】解：按照规律37，31，25，19，□，，方框里应填13。
故选：。
【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
6．【分析】规律：分子依次加1，分母是连续自然数的平方数。
【解答】解：
根据规律，，，第6个数是。
故选：。
【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
7．【分析】第一幅图中有2个小圆点，即；
第二幅图中有6个小圆点，即；
第三幅图中有12个小圆点，即；
第六幅图中小圆点的个数为：。
【解答】解：（个
答：第六幅图中有42个小圆点。
故选：。
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，找到图形个数与小圆点个数之间的关系是解本题的关键。
8．【分析】把每幅图左右两边人数单独看，每张桌子代表2人，则坐的人数桌子张数，据此解答即可。
【解答】解：因为坐的人数桌子张数，如果用表示桌子张数，用表示可坐人数，则：。
故选：。
【点评】本题考查数与形、用字母表示数，解答本题的关键是找到题中的规律。
9．【分析】根据乘法算式中两个乘数是分别是4、9；44、99；444、999；积分别是36；4356；443556；可看出，第一个算式乘数是1个4和1个9，得数36，第二个算式乘数是2个4和2 个9，它们的积是在第一个算式的积36的中间添1个5，左边添1个4得到的，第三个算式的积是在第二个算式积的中间添1个5，左边添1个4得到的，照此规律，可得5个4和5个9相乘的积是在36的中间添4个5，左边添4个4，就是4444355556。
【解答】解：根据乘法算式中两个乘数是分别是4、9；44、99；444、999；积分别是36；4356；443556；可看出，第一个算式乘数是1个4和1个9，得数36，第二个算式乘数是2个4和2 个9，它们的积是在第一个算式的积36的中间添1个5，左边添1个4得到的，第三个算式的积是在第二个算式积的中间添1个5，左边添1个4得到的，照此规律，可得5个4和5个9相乘的积是在36的中间添4个5，左边添4个4，就是4444355556。故选：。
【点评】本题考查了学生观察与对边的能力，及总结归纳的能力。
10．【分析】规律：每增加一个正六边形，要增加5根小棒；据此解答即可。
【解答】解：（根
答：连续摆个正六边形要根小棒。
故选：。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
二．填空题
11．【分析】观察这组分数，分母相同，均为20。分子分别为、、，则第四个分数的分母是20，分子是。
【解答】解：找规律填数：，，，。
故答案为：。
【点评】根据已知的数字得出前后数之间的变化关系和规律，然后利用这个变化规律解决问题。
12．【分析】搭一个三角形需要3根火柴，搭两个三角形需要5根火柴，搭三个三角形需要7根火柴，则知搭个三角形需要根火柴，据此解答即可。
【解答】解：由分析及规律知：搭个三角形需要根火柴，为正整数，当时，
（根
答：摆5个△用 11根小棒。
故答案为：11。
【点评】本题考查规律型问题中的图形变化问题，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。
13．【分析】根据所给图示，图1黑色方块4个；图2黑色方块（个；图3黑色方块：（个。结合图示发现黑色方块的排列规律：图1黑色方块4个；图2黑色方块（个；图3黑色方块：（个；第个图形黑色方块的个数为：个，据此解答。
图中白方块的排列规律为：图个；图（个；图（个；第个图形白方块个数：个，据此计算白方块是47个是第几个图形。
【解答】解：图1黑色方块4个
图2黑色方块（个
图3黑色方块：（个
图10黑方块的个数：
（个
第个图形黑色方块的个数为：个
白方块的排列规律为：
图个
图（个
图（个
第个图形白方块个数：个

答：白方块有47个，这个图的图序为15。
所以图10中黑方块有22个，图中黑方块有个。豆豆拼成的一个图中有47个白方块，他拼的是图15。
故答案为：22，，15。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
14．【分析】观察算式可得：乘法算式中，每个算式的两个因数相同，每个数各位上都是3，积的位数等于两个因数的位数之和，从第二个算式起，积的数字都是由1、0、8、9组成，1的位数比其中一个因数的位数少1，1后面的数字为0，8的位数和1的位数相同，最后一位都是9，由此解答即可。
【解答】解：
故答案为：111110888889。
【点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。
15．【分析】除45外，其他各数等于前面一共数加10。据此解答。
【解答】解：10、20、30、45、50、60这组数中45不符合规律，应改成40。
故答案为：45，40。
【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
16．【分析】搭1个正方形需要4根火柴棒，即；
搭2个正方形需要7根火柴棒，即；
搭3个正方形需要10根火柴棒，即；
搭个正方形需要的火柴棒数为：。
【解答】解：
（根
答：搭20个这样的正方形需要61根火柴棒。搭个这样的正方形需要根火柴棒。
故答案为：61，。
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个正方形就多3根火柴棒是解本题的关键。
17．【分析】由图可得：第1个“”字需要5枚棋子，第2个“”字需要8枚棋子，第3个“”字需要11枚棋子，由此可得：从第二项起，后一个图形比前一个图形多3枚棋子，由此列出第个图形的规律，然后再代入解答即可。
【解答】解：第1个“”字需要棋子，可以写成：；
第2个“”字需要棋子，可以写成：；
第3个“”字需要棋子，可以写成：；
第个“”字需要棋子，可以写成：；
当时，代入得：
答：第10个“”字需要32枚棋子。
故答案为：32。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
18．【分析】通过对比分析，可以得到一些规律：积和数字可以平均分为两部分，每一部分的位数和因数一样。前一部分的末尾是3，其余数位都是4；后一部分的末尾是6，其余数位都是5。可以得到：，。
【解答】解：，。
故答案为：44435556，4444355556。
【点评】本题的关键是寻找数字变化的规律：哪些数字没有变，哪些数字变化，是数的大小变化，还是数字个数变化。
19．【分析】（1）依次加0.2；
（2）依次减0.5。
【解答】解：（1）2.1，2.3，2.5，2.7，2.9，3.1，3.3。
（2）9.5，9.0，8.5，8.0，7.5，7，6.5。
故答案为：3.1，3.3；7，6.5。
【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
20．【分析】观察发现：被除数的各位数字是由1和2组成，1在2的前面，1和2的个数等于除数的位数；除数的前面是数字3，最后的个位是数字4，数位与1或2的个数相同；计算出结果可以发现商都是由数字3组成，位数与除数的位数相同，由此规律解答即可。
【解答】解；，，，
则。
故答案为：33334，33333。
【点评】此题属考查了式的规律，抓住数字特点，找出规律，容易解决问题，被除数每增加一个数字1和2，除数每增加一个数字3，商中就增加一个数字3。
三．应用题
21．【分析】摆1个三角形要3根小棒，即；
摆2个三角形要5根小棒，即；
摆个三角形需要的小棒数为：。
【解答】解：（1）
（根
（根
（2）
（根
摆个三角形要用根小棒。
故答案为：11，13；41，。
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个三角形就多2根小棒是解本题的关键。
22．【分析】（1）根据给出的两个平方数的差的算式，发现规律：两个数的平方差，等于这两个数的和乘这两个数的差。据此解答。
（2）因为正方形的面积边长边长，两个正方形的边长分别为、，阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，所以聪聪得出用“计算；而明明把阴影部分的图形进行了剪拼，重新组合成一个长为、宽为的长方形，根据长方形的面积长宽，所以明明得出阴影面积也可以用“ “来计算。
【解答】解：（1）
（2）阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，即阴影部分的面积。
明明的作法：明明把左图沿虚线剪开，把剪掉的小长方形拼到剩下的大长方形的右侧，重新拼接后的图形如下：
所以阴影部分的面积为：。
故答案为：15，5，15，，200。
【点评】找出算式的规律、数与形的规律以及运用规律解决实际问题是解题的关键。
23．【分析】根据题意可知：一张长方形餐桌可以坐6人；2张长方形餐桌拼一起可以坐（人；3张长方形餐桌拼一起可以坐（人；；张餐桌拼一起可坐：人。据此作图并解答即可。
【解答】解：如图：
一张长方形餐桌可以坐6人
2张长方形餐桌拼一起可以坐（人
3张长方形餐桌拼一起可以坐（人
张餐桌拼一起可坐：人
6张桌子可坐人数：
（人
答：6张这样的餐桌可以坐26人。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
24．【分析】根据图案得出规律，每个图案中间是一枚黑色围棋子，第1个图案外围每边各有1枚，共有（枚；第2个图案，外围每边各有2枚，共有（枚，第3个图案外围每边各有3枚，共有（枚，以此类推即可。
【解答】解：根据分析可知，第1个图案共有（枚；
第2个图案共有（枚；
第3个图案共有（枚；
；
第个图案共有（枚；
所以第6个图案共有（枚。
故答案为：25枚。
【点评】本题是图形与数字类的变化规律的综合问题，首先要探寻规律，认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题；本题不仅要从图形中看规律，还要从数字变化看规律，两方面结合得出结论。
25．【分析】观察数列，，，，，，，，，，，可发现：分母为1的分数有1个，分母为2的数有3个，分母为3的数有5个，所以可得出：分母为的分数有个；分子都是从1开始到与分母的数字相同连续的自然数，再倒数回到1，由此规律解决问题：
（1）首先要计算第800个数之前最大的平方是：当时，，第784个数是分母为28的最后一个数，所以可以找到第800个数；
（2）先找出分母是16的最后一个数，是第个数，，再向右数5个即可，因为同一个分母的数除中间为1的数是出现一次外，其余都是出现2次，所以倒数第5个数也是，得出结论；
（3）同（1）同理，先计算第552个数之前最大的平方数：当时，，先计算分母为1至23的所有分数之和：的值，再确定第529到552之间数的和，最后相加即可；
（4）因为分母为的分数有个，且这个分数相加和为；所以分母为时，前个数的和为，确定当为最大时，最接近106时的，即前196个数的和为，与106还相差1，分母为15的分数能否达到几个分数和为1，来判断。
【解答】解：观察数列，，，，，，，，，，，可发现：分母为1的分数有1个，分母为2的数有3个，分母为3的数有5个，所以可得出：分母为的分数有个；且这个分数相加和为；第个是分母为1的最后一个，第个是分母为2的最后一个，第个是分母为的最后一个；
（1）因为，
所以令，
解得：，
当时，，
所以第784个数是分母为28的最后一个数，
所以800个数的分母为29，分子为，所以第800个数为；
（2）因为，
，
所以是第261个数或第285个数；
（3）令，
解得：，
当时，，
即前529个数的和为：，
第530至第552个数之间一共有：
个数，
第530至第552个数的和为：
，
所以前552个数的和是：；
（4）分母为时，前个数的和为，当时，前个数的和为：
，
第197个数开始为分母是15的数：
，
，
所以存在前个数的和等于106，此时。
故答案为：（1）；（2）第261个数或第285个数；（3）287.5；（4）存在前个数的和等于106，此时的值是201。
【点评】解决本题的关键是找出规律，解决问题。
26．【分析】（1）由图示可知，拼1个五边形，需要小棒根数：5根；拼2个五边形，需要小棒根数：（根；拼3个五边形，需要小棒根数：（根；有摆个五边形，需要小棒根数：（根．根据规律计算即可．
（2）由（1）的规律可知，当时，．
【解答】（1）拼1个五边形，需要小棒根数：5根
拼2个五边形，需要小棒根数：（根
拼3个五边形，需要小棒根数：（根
有拼个五边形，需要小棒根数：（根
当时，所需小棒根数：
（根
答：拼成5个这样的五边形，一共要用 21根小棒．
（2）解：设一共拼成了个五边形．


答：一共拼成了14个五边形．
故答案为：21．
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图示发现图示排列的规律，并运用规律做题．
27．【分析】根据搭成的房子间数，和所用小棒的根数，发现规律：搭间房需要：根小棒．
【解答】解：根据图示，
2间房：（根
3间房：（根
10间房：（根
答：搭10间房子，需要用41根小棒．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．
28．【分析】按要求任意写一个四位数，将这个四位数的四个数字重新组合，组成一个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，重复进行，找出规律。
【解答】解：根据题意举例解答。如1234。
我发现后面的算式会循环出现。
【点评】本题主要考查数列中的规律，找到规律是解题的规律。
29．【分析】（1）观察图形可知，第一个图形黑色三角形有1个，白色三角形个；第二个图形黑色三角形有个，白色三角形个；第三个图形黑色三角形有个，白色三角形个；则第四个图形黑色三角形有个，白色三角形个；据此画图即可；
（2）由上述推算可得：第个图形黑色三角形有个，据此即可解答问题．
【解答】解：（1）根据题干分析可得：
（2）第个图形黑色三角形有个，
当时
黑色三角形的个数是：（个
答：第10个图形中有 55块黑色的瓷砖．
故答案为：55．
【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
30．【分析】
规律：（首数尾数）和；据此解答即可．
【解答】解：
故答案为：4，，9，，16，，64，，1018081，．
【点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题．图形
……
小棒根数
3
5
7
9
…


五边形
个数
拼成的形状
小棒根数
1
5
2
9
3
13
4
17