2022年新高考数学模拟题分项汇编(第四期)专题05平面解析几何(原卷版+解析)

这是一份2022年新高考数学模拟题分项汇编(第四期)专题05平面解析几何(原卷版+解析)，共23页。

2．（2021·河北唐山市第十中学高三期中）已知点，若圆：，（）上存在两点，，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·福建省福州格致中学高三月考）已知椭圆的离心率为，直线与圆相切，则实数m的值是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·山东德州一中高三月考）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积的计算公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）.弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弦长等于，其弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·湖北武汉一中高三期中）已知圆，直线l过点且与圆C相切，若直线l与两坐标轴交点分别为M､N，则（ ）
A．B．4C．D．
6．（2021·湖北武汉二中高三月考）已知椭圆和双曲线有相同焦点，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·湖南永州一中高三月考）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2021·湖南郴州一中高三月考）已知点是椭圆：上一点，点､是椭圆的左､右焦点，若的内切圆半径的最大值为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·广东福田一中高三月考）已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．1
10．（2021·广东惠州一中高三月考）已知直线：与圆：的交点为，，点是圆上一动点，设点，则的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
11．（2021·广东湛江一中高三月考）已知双曲线：的离心率为2，的左､右焦点分別为，，点在的右支上，的中点在圆：上，其中为半焦距，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2021·江苏如皋一中高三月考）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，以为直径的圆过点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
13．（2021·河北石家庄二中高三月考）已知椭圆，为的右焦点，为的左顶点，为直线与的两个交点，则下列叙述正确的是（ ）
A．周长的最小值为
B．面积的最大值为
C．若的面积为，则为直角三角形
D．若直线与的斜率之积为，则为等腰三角形
14．（2021·河北保定一中高三月考）已知分别是双曲线的左､右焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为B．以线段为直径的圆的方程为
C．点的横坐标为或D．的面积为
15．（2021·福建省龙岩一中模拟）已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，点在面内(包含边界)，且，则( )
A．点的轨迹的长度为
B．存在，使得
C．直线与平面所成角的正弦值最大为
D．沿线段的轨迹将正方体切割成两部分，挖去体积较小部分，剩余部分几何体的表面积为
16．（2021·福建福清西山学校高三期中）下列说法正确的是（ ）
A．直线与平行，则
B．正项等比数列满足，，则
C．在中，，，若三角形有两解，则边长的范围为
D．函数为奇函数的充要条件是
17．（2021·山东昌乐二中高三月考）已知，分别是双曲线（，）的左､右焦点，双曲线左支上存在一点，使（为实半轴长）成立，则此双曲线的离心率的取值可能是（ ）
A．B．2C．D．5
18．（2021·湖南永州一中高三月考）已知为坐标原点，、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，则（ ）
A．当时，双曲线的离心率
B．当是面积为2的正三角形时，
C．当为双曲线的右顶点，轴时，
D．当射线与双曲线的一条渐近线交于点时，
19．（2021·湖南郴州一中高三月考）已知直线：和圆：，下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点B．圆被轴截得的弦长为
C．直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为4D．直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为4
20．（2021·广东龙岗一中高三期中）已知圆上有四个不同的点到直线的距离为2，则的值可取（ ）
A．B．C．D．
21．（2021·广东中山一中模拟预测）双曲线的左右焦点分别为，，倾斜角为的直线过双曲线的右焦点，与双曲线右支交于两点，且，则（ ）
A．双曲线的离心率为B．与内切圆半径比为
C．与周长之比为D．与面积之比为
22．（2021·广东湛江一中高三月考）已知点，，且点在圆：上，为圆心，则（ ）
A．当最大时，的面积为2B．的最小值为
C．的最大值为D．的最大值为
23．（2021·江苏金陵中学高三期中）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形.其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:其中所有正确结论的序号是（ ）
A．在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；
B．当时，直线与白色部分有公共点；
C．黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为；
D．若点，为圆过点的直径，线段是圆所有过点的弦中最短的弦，则的值为.
专题05 平面解析几何
1．（2021·河北石家庄二中高三月考）已知集合，集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示：
，
集合有3个元素，
所以集合的真子集的个数为7，
故选：C
2．（2021·河北唐山市第十中学高三期中）已知点，若圆：，（）上存在两点，，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由圆：，（）可得圆心，
，
取的中点，连接，，
因为，所以，
设，在中，由勾股定理可得：，
在中，由勾股定理可得：，
所以，整理可得：，
因为，所以，解得：，
因为，所以，所以，
故选：D.
3．（2021·福建省福州格致中学高三月考）已知椭圆的离心率为，直线与圆相切，则实数m的值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，，则，∵直线，即，代入得，，由解得．
故选：B．
4．（2021·山东德州一中高三月考）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积的计算公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）.弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弦长等于，其弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，由题意可得，
弧田面积（弦矢+矢矢）（矢+矢矢），
解得矢，或矢（舍去），
设半径为，圆心到弧田的距离为，则，解得，，
所以，所以.
故选：D
5．（2021·湖北武汉一中高三期中）已知圆，直线l过点且与圆C相切，若直线l与两坐标轴交点分别为M､N，则（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【解析】由圆，得圆心，半径，
又因为为切点，所以，所以直线的斜率为，
所以，即直线，则令，则，
故选：C.
6．（2021·湖北武汉二中高三月考）已知椭圆和双曲线有相同焦点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由题得椭圆的半焦距为，
双曲线的半焦距为，
所以.
故选：A
7．（2021·湖南永州一中高三月考）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】圆的圆心为，与直线垂直的直线的斜率为1
所以所求直线为，即
故选：C
8．（2021·湖南郴州一中高三月考）已知点是椭圆：上一点，点､是椭圆的左､右焦点，若的内切圆半径的最大值为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，，
设的内切圆半径为，
所以，
因为的内切圆半径的最大值为，
所以
因为，
所以，可得，
所以椭圆的离心率为，
故选：B
9．（2021·广东福田一中高三月考）已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】依题意，即，又，，，所以，所以为等边三角形，即为椭圆的上顶点，所以，所以
故选：B
10．（2021·广东惠州一中高三月考）已知直线：与圆：的交点为，，点是圆上一动点，设点，则的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【解析】
圆：化成，
故点，，
直线：恒过圆心，
所以，
所以，
当且仅当和同向共线，且点为圆上最高点时，等号成立
故选：B
11．（2021·广东湛江一中高三月考）已知双曲线：的离心率为2，的左､右焦点分別为，，点在的右支上，的中点在圆：上，其中为半焦距，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
连接，则有是的中位线，因为，所以
所以由双曲线的定义可得
因为双曲线：的离心率为2，所以
所以，在中由余弦定理可得
所以
故选：A
12．（2021·江苏如皋一中高三月考）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，以为直径的圆过点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由抛物线可得焦点为，设，
由抛物线的定义可得：，
的中点为，
所以为直径的圆的方程为
因为以为直径的圆过点，
所以，可得，所以，
所以点，
所以直线的斜率为，
故选：A.
13．（2021·河北石家庄二中高三月考）已知椭圆，为的右焦点，为的左顶点，为直线与的两个交点，则下列叙述正确的是（ ）
A．周长的最小值为
B．面积的最大值为
C．若的面积为，则为直角三角形
D．若直线与的斜率之积为，则为等腰三角形
【答案】ABC
【解析】由椭圆知：，设，
A. 由题意知：周长的为，当P，Q分别为上下顶点时，等号成立，故正确；
B. 点A到直线距离为： ，
由，得 ，则 ，
所以 ，
当时，等号成立，所以面积的最大值为，故正确；
C. 点F到直线距离为： ，
，所以 ，
解得，此时，不妨设，
则，
所以，则，故正确；
D.因为恒成立，
所以为任意三角形，故错误；
故选：ABC
14．（2021·河北保定一中高三月考）已知分别是双曲线的左､右焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为B．以线段为直径的圆的方程为
C．点的横坐标为或D．的面积为
【答案】CD
【解析】由双曲线方程知：，，的渐近线方程为，A错误；
，以为直径的圆方程为，B错误；
由得：或，点的横坐标为或，C正确；
，，D正确.
故选：CD.
15．（2021·福建省龙岩一中模拟）已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，点在面内(包含边界)，且，则( )
A．点的轨迹的长度为
B．存在，使得
C．直线与平面所成角的正弦值最大为
D．沿线段的轨迹将正方体切割成两部分，挖去体积较小部分，剩余部分几何体的表面积为
【答案】AD
【解析】对于选项A：结合已知条件，过M作，垂足为N，如下图所示：
由已知条件和正方体性质易知，，且平面，
因为平面，所以，
又因为，所以，
故点的轨迹是以的中点N为圆心，半径为2的一个半圆，
从而点的轨迹的长度为，故A正确；
对于选项B：以D为坐标原点，DA、DC和为、和轴建立空间直角坐标系，如下图：
由已知条件可知，，，，，
不妨设，且，且，
因为，，
所以，
假设存在存在，使得，故，
即，即，这与矛盾，从而假设不成立，故B错误；
对于选项C：连接AC，易知平面，
因为，所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
故，
不妨令，，其中，
从而，
当且仅当，即时，最大值，
从而的最大值为，
即直线与平面所成角的正弦值最大为，故C错误；
对于选项D：由题意可知，挖去的部分为一个底面半径为2，高为4的半圆锥，
则半圆锥的侧面为，
正方体的侧面剩余的面积为，
正方体底面剩余面积为，
正方体其余四个面的面积为，
故剩余部分几何体的表面积为，故D正确.
故选：AD.
16．（2021·福建福清西山学校高三期中）下列说法正确的是（ ）
A．直线与平行，则
B．正项等比数列满足，，则
C．在中，，，若三角形有两解，则边长的范围为
D．函数为奇函数的充要条件是
【答案】BCD
【解析】
对于A：若直线与平行，
则，解得：，故选项A不正确；
对于B：数列满足，，所以，所以，可得，
所以，故选项B正确；
对于C：在中，，，由正弦定理可得，即，
因为，因为有两个值，且两个值互补，
若，则其补角大于，则不成立，
所以，因为时也是一解，
所以且，，所以，故选项C正确；
对于D：函数为奇函数，则，可得，当时，
，
，
所以当时，是奇函数，函数为奇函数的充要条件是，故选项D正确；
故选：BCD.
17．（2021·山东昌乐二中高三月考）已知，分别是双曲线（，）的左､右焦点，双曲线左支上存在一点，使（为实半轴长）成立，则此双曲线的离心率的取值可能是（ ）
A．B．2C．D．5
【答案】ABC
【解析】
由题意，点为双曲线左支上一点，
故即
又
代入可得：
即
解得，
由于，即
又，即
综上：
故选：ABC
18．（2021·湖南永州一中高三月考）已知为坐标原点，、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，则（ ）
A．当时，双曲线的离心率
B．当是面积为2的正三角形时，
C．当为双曲线的右顶点，轴时，
D．当射线与双曲线的一条渐近线交于点时，
【答案】AB
【解析】
对于，因为，所以的中垂线与双曲线有交点，即有，解得，故A正确；
对于B，因为是面积为的正三角形，边长为
所以，即
在中，因为，，
所以，
所以，故，即，故B正确；
对于C，因为为双曲线的右顶点，则，又轴，则，所以，故C错误；
对于D，由，所以，故D错误．
故选：AB．
19．（2021·湖南郴州一中高三月考）已知直线：和圆：，下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点B．圆被轴截得的弦长为
C．直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为4D．直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为4
【答案】AD
【解析】
由，得，
联立，得，无论m为何值，直线恒过定点，故A正确；
在中，令，得，所以圆被轴截得的弦长为，故B错误；
当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最大，最大值为6，此时直线方程为，故C错误；
设，易知P在圆内，当直线时，直线l被圆截得的弦长最小，且最小值为
，故D正确.
故选：AD
20．（2021·广东龙岗一中高三期中）已知圆上有四个不同的点到直线的距离为2，则的值可取（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】依题可知：圆心到直线的距离小于1
所以
故选：AB
21．（2021·广东中山一中模拟预测）双曲线的左右焦点分别为，，倾斜角为的直线过双曲线的右焦点，与双曲线右支交于两点，且，则（ ）
A．双曲线的离心率为B．与内切圆半径比为
C．与周长之比为D．与面积之比为
【答案】BD
【解析】
设，则，
由双曲线的定义可得：，，
在中，由余弦定理可得：，
即，所以
在中，由余弦定理可得：，
即，所以，
可得，所以，所以离心率，故选项A不正确；
设点到直线的距离为，则，故选项D正确；
将代入可得：，
所以的周长为，
的周长为，
所以与周长之比为，故选项C不正确；
设与内切圆半径分别为，，
的面积与的面积之比为，
所以，故选项B正确；
故选：BD.
22．（2021·广东湛江一中高三月考）已知点，，且点在圆：上，为圆心，则（ ）
A．当最大时，的面积为2B．的最小值为
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】BCD
【解析】
由圆：的方程可知：，
因为（当且仅当三点依次共线），
所以选项B正确；
因为（当且仅当三点依次共线），
所以选项C正确；
因为（当且仅当三点依次共线），
所以选项D正确；
当最大时时，此时直线是圆：的切线，
即直线的方程为：或，
当直线的方程为时，的面积为，
当直线的方程为时，的面积为，因此选项A不正确，
故选：BCD
23．（2021·江苏金陵中学高三期中）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形.其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:其中所有正确结论的序号是（ ）
A．在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；
B．当时，直线与白色部分有公共点；
C．黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为；
D．若点，为圆过点的直径，线段是圆所有过点的弦中最短的弦，则的值为.
【答案】ACD
【解析】
对于A，设黑色部分区域的面积为，整个圆的面积为，由对称性可知，，
所以，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率为，故A正确；
对于B，当时，直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
下方白色小圆的方程为，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，如下图所示：
由图可知，直线与与白色部分无公共点，故B错误；
对于C，黑色阴影部分小圆的方程为，设，如下图所示：
当直线与圆相切时，取得最大值，
且圆的圆心坐标为，半径为，可得，解得，
由图可知，，故，故C正确；
对于D，由于是圆中过点的直径，则、为圆与轴的两个交点，可设、，
当轴时，取最小值，则直线的方程为，可设点、，
所以，，，，
所以，故D正确.
故选：ACD