[数学][期中]内蒙古自治区鄂尔多斯市鄂托克旗四校联考2023-2024学年高一上学期期中试题(解析版)

这是一份[数学][期中]内蒙古自治区鄂尔多斯市鄂托克旗四校联考2023-2024学年高一上学期期中试题(解析版)，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为集合，，
根据集合交集的运算，可得．
故选：A．
2. 已知，方程有实根，则为（ ）
A. ，方程有实根B. ，方程无实根
C. ，方程有实根D. ，方程无实根
【答案】B
【解析】由题意，可得为，方程无实根．
故选：B.
3. 如图是函数的图象，其定义域为，则函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若函数单调递减，则对应图象呈下降趋势，
由图知，的单调递减区间为和.
故选：C.
4. 下列选项中的两个函数表示同一函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】D
【解析】对A，函数的定义域为，的定义域为，A错误；
对B，函数的定义域为，的定义域为，B错误；
对C，函数与对应关系不一致，C错误；
对D，与函数定义域，对应关系完全相同，D正确.
故选：D.
5. 已知，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
对于选项A：因为，所以，故A正确；
对于选项B：因为，所以，故B正确；
对于选项C：取，，则，，即，故C错误；
对于选项D：因为，，所以，故D正确.
故选：C.
6. 已知函数，则（ ）
A. 5B. 0C. -3D. -4
【答案】B
【解析】.
故选：B.
7. 若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即，解得或，
所以m的取值范围是．
故选：D．
8. 已知幂函数图象经过点，则函数在区间上的最大值是（ ）
A. 2B. 1C. D. 0
【答案】C
【解析】设
，令，
由于在区间上单调递增，在上单调递减，
在区间上的最大值是.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知集合，，若有三个元素，则实数a的取值可以是（ ）
A. 2B. C. 0D. 1
【答案】ACD
【解析】∵有三个元素，且，，
∴分为两种情况：①当时，解得或，均符合题意；
②当时，符合题意．
综上，实数a的取值为2，1，0．
故选：ACD．
10. 已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数m的值可能是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】CD
【解析】对于，因为，
则，解得，即：，
若是的必要不充分条件，则是的真子集，
则，结合选项可知AB错误，CD正确
故选：CD.
11. 下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小值是2
B. 若，则
C. 若，则的最小值为2
D. 若，则
【答案】BD
【解析】对于A中，当时，可得，所以A错误；
对于B中，因为，则，当且仅当时，
即时，等号成立，所以B正确；
对于C中，由，
当且仅当时，此时方程无解，即等号不成立，所以C错误；
对于D中，因为，所以，
当且仅当时，等号成立，所以D正确.
故选：BD．
12. 在学习了函数的奇偶性后，小明同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数为奇函数的充要条件是的图象关于点成中心对称.已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为，
所以的图象关于原点对称，则，
所以，故错误正确；
所以对任意，都有，故正确；
在中令得，且，
所以，故正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】由，即，解得，
即函数的定义域是.
故答案为：.
14. 若“”为真命题，则实数a的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】因为“”为真命题，所以不等式在上有解，
所以，所以.
故答案为：.
15. 已知，若，则______．
【答案】或
【解析】令，则可得，
由可得，所以，
解得或.
故答案为：或.
16. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】令，则为偶函数，且，
当时，为减函数，
所以当或时，；
当或时，；
因此当时，；当时，，
即不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合.
（1）分别求；
（2）已知，若，求实数a的取值范围.
解：（1）因为，所以或，
因为或，所以或.
（2）因为，所以，解之得，
所以．
18. 设.
（1）若，求同时满足条件的实数构成的集合；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.
解：（1）由解得，所以，
当=2时，即，所以，
所以同时满足条件的实数构成的集合即为公共部分的实数构成的集合，
即为.
（2）因为p是q的充分条件，且，，，
所以 ，所以，解得0，
故实数的取值范围是.
19. 已知二次函数的图象关于直线对称，且经过原点与点．
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上的最小值为，其中，求实数m的取值范围．
解：（1）由二次函数的图象关于直线对称，
可设，，
则解得
∴的解析式为．
（2）由题知，的对称轴为，且．
∵在区间上的最小值为，
∴，又，解得，
即实数m的取值范围为．
20. 紫砂花盆在明清时期出现后，它的发展之势如日中天，逐渐成为收藏家的收藏目标，随着制盆技术的发展，紫砂花盆已经融入了寻常百姓的生活，某紫砂制品厂准备批量生产一批紫砂花盆，厂家初期投入购买设备的成本为10万元，每生产一个紫砂花盆另需27元，当生产千件紫砂花盆并全部售出后，厂家总销售额（单位：万元）.
（1）求总利润（单位：万元）关于产量（单位：千件）的函数关系式；（总利润总销售额成本）
（2）当产量为多少时总利润最大？并求出总利润的最大值.
解：（1）当时，，
当时，，
（2）当时，（万元），
当时，（万元），
当且仅当时等号成立，
又为整数，所以此时（万元），
综上，当产量为10千件时总利润最大，且总利润的最大值为39万元.
21. 已知函数为偶函数.
（1）证明：函数在上单调递增；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）因为函数的定义域为，
若为偶函数，则，即，
整理得，
对于任意的均成立，可得，即，
所以，
任取，令，
则有，
因为，则，，，
可得，即，
所以函数在上单调递增.
（2）因为函数为定义在上的偶函数，且在上单调递增，
则函数在上单调递减，
又因为不等式对任意的恒成立，
则对恒成立，
可得或，
则或对恒成立，
所以或，
即实数的取值范围为.
22. 已知函数，．
（1）若是关于的方程的一个实数根，求函数的值域；
（2）若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．
解：（1）由是关于的方程的一个实数根，可得，
即，解得；
所以，由二次函数性质可得；
即可得函数的值域为.
（2）根据题意可知，需满足；
当时，由二次函数性质可知；
当时，若时，；
可得，解得，所以；
当时，，
可得，解得或，所以；
当时，，
可得，解得，所以；
综上可得实数的取值范围是.