山西省吕梁市部分学校2024-2025学年高二上学期9月质量检测数学试卷

这是一份山西省吕梁市部分学校2024-2025学年高二上学期9月质量检测数学试卷，共14页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，在平行六面体中，分别是的中点等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，若，则（）
A.1 B.0 C.-1 D.-2
2.已知是坐标原点，空间向量，若线段的中点为，则（）
A. B.3 C.8 D.9
3.若平面的法向量，直线的方向向量，则（）
A. B.
C. D. 或
4.已知为空间中不共面的四点，且，若四点共面，则函数的最小值是（）
A.2 B.1 C.-1 D.-2
5.在平行六面体中，分别是的中点.设，则（）
A. B.
C. D.
6.已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（）
A. B. C. D.
7.在长方体中，为的中点，则点到平面的距离为（）
A. B. C. D.
8.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（）
A. B.2 C. D.3
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（）
A.对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得
B.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C.若，则
D.若所在直线两两共面，则共面
10.已知三棱柱为空间内一点，若，其中，则（）
A.若，则点在棱上
B.若，则点在线段上
C.若为棱的中点
D.若，则点在线段上
11.如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则下列说法正确的有（）
A.四点共面
B.与所成角的大小为
C.在线段上存在点，使得平面
D.在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.点关于平面的对称点坐标为__________.
13.如图，已知二面角的大小为且，则__________.
14.已知正方体的棱长为2，点在线段上（不含端点）.若是锐角，则线段长度的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
16.（本小题满分15分）
如图，在四面体中，，点，分别在棱上，且.
（1）用表示；
（2）求异面直线所成角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，，平面平面，分别是的中点.
（1）证明：；
（2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.
18.（本小题满分17分）
如图，在直三棱柱中，分别为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.（本小题满分17分）
如图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点）.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值的最小值.
2024~2025学年高二9月质量检测卷·数学
参考答案､提示及评分细则
1.A因为，所以，即，解得.故选A.
2.B由题意得，所以，所以.故选B.
3.D因为，所以或.故选D.
4.D因为四点共面，所以，所以，所以，所以函数的最小值为-2.故选D.
5.A如图所示，，即.故选A.
6.C由题意得，设向量在基底下的坐标是，则，所以解得故选C.
7.D如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，所以，则，设是平面的一个法向量，则令，则，又，所以点到平面的距离为.故选D.
8.C取的中点为，连接，因为为的中点，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，所以，又底面是矩形，所以，以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，由，得，所以，则，设，则，因此点到直线的距离
，当时，取最小值，即线段上的动点到直线的距离的最小值为.故选C.
9.ACD由空间向量基本定理，可知只有当
不共面时，才能作为基底，才能得到，故A错误；若是空间的一个基底，则不共面，也不共面，所以也是空间的一个基底，故B正确；若，则不一定平行，故C错误；若所在直线两两共面，则不一定共面，故D错误.故选ACD.
10.ABD若，则，即，所以，故点在棱上，故A正确；若，则，所以，故点在线段上，故B正确；若，则，故为的中点，故C错误；若，则三点共线，即点在上，故D正确.故选ABD.
11.AD以为原点，以所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，则，所以解得故，即四点共面，故A正确；因为，所以，所以与所成角的大小为，故B错误；假设在线段上存在点，符合题意.设，则，若平面，则.因为，所以此方程组无解，所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；因为，所以，又平面平面，所以平面，故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，又的面积是定值，所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确.故选AD.
12.求一个点关于平面的对称点坐标，就是将轴的分量取相反数，而轴和轴的分量不变，故点关于平面的对称点坐标就是.
13.因为二面角的大小为，所以与的夹角为，又，所以，所以.
14.如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则.因为在线段上，所以可设，其中.于是，.由于是锐角，所以，即，即.又由于，所以不等式的
解集为.因此.
15.解：（1）若，则存在实数，使，即，
所以解得所以.
所以，所以.
（2）因为，所以，解得.
因为，所以，所以.
当时，，
所以.
当时，，
所以.
16.解：（1）因为点分别在棱上，且，所以，
所以，
.
（2）因为，
所以.
所以，
，
，
所以，
即异面直线所成角的余弦值为.
17.（1）证明：是中点，，
平面平面，平面平面平面平面，
又平面.
（2）解：取中点，连接分别为中点，
，又.
以为坐标原点，为轴正方向，过作轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
，
.
设平面的法向量，
则令，解得，
，
解得或，即的长度为或.
18.（1）证明：取的中点，连接，
因为分别为的中点，所以，
又为的中点，，所以，所以四边形是平行四边形，所以.
又平面平面，所以平面.
（2）解：在直三棱柱中，平面，又平面，所以，又，故以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，所以.
设平面的法向量为，则令，得
，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
19.（1）证明：因为是等边三角形，点是棱的中点，所以，
又平面平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：在平面中，过点作，所以，又平面平面，所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示.
因为是等边三角形，，所以，
，因为，所以.
设，所以，所以
.
设平面的法向量为
，
因为所以令，得，
，所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
因为所以令，得，
所以平面的一个法向量为.
设平面与平面所成角为，所以
，
设，则，所以，
所以，
所以当，即时，取到最小值.