河北省卢龙县第二高级中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷（原卷版）

这是一份河北省卢龙县第二高级中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷（原卷版），共5页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：高考范围．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
2. 双曲线渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 若可分解因式为，且，则复数的虚部为（ ）
A. 1B. C. D.
4. 已知函数，则下列函数为奇函数的是（ ）
A. B.
C D.
5. 已知是所在平面内一点，且，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知异面直线与所成的角为，与所成的角为，则与所成角的范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，和分别为函数图象上的两个最高点、两个最低点，若四边形的面积为，直线过点，则（ ）

A. B. C. D.
8. 已知为上的减函数，设函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 2023年央视主持人大赛，在某场比赛中，17位专业评审为某参赛者的打分分别为94.2，94.6，95.8，96.2，96.4，96.8，96.8，97.0，97.0，97.2，97.2，97.6，97.6，98.0，98.2，98.6，98.6，记该组数据为，去掉一个最高分和一个最低分后余下的数据记为，且组数据的平均分为97.0，则（ ）
A. 组与组数据极差相等
B. 组与组数据的中位数相等
C. 组数据的平均数小于组数据的平均数
D. 组数据分位数小于组数据的分位数
10. 如图，球与棱长为2的正方体的六个面都相切，分别为棱的中点，为正方形的中心，则（ ）
A. 球与该正方体的体积之比为
B. 球与该正方体的表面积之比为
C. 直线被球截得的线段的长度为
D. 过三点的正方体的截面与球的球面的交线长为
11. 已知，直线为原点，点在上，直线与交于点在直线上，且，点的轨迹为史留斯蚌线，记为曲线，其中是的渐近线，如图所示．设是上一点，则（ ）

A.
B. 存在异于原点的点，使得关于点的对称点仍在上
C. 若在第二象限，则的最大值为
D. 若在第一象限，则直线的斜率大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的值是____________．
13. 已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与交于两点，则的周长为____________．
14. 有甲、乙两个口袋，甲口袋装有2个红球，乙口袋装有1个红球，2个白球，有放回地从两个口袋中各取1个球，并记为1次取球，若取到2个球均为红球，则停止取球；否则在两个口袋中各加进1个白球，然后再按照以上规则取球，直到取到的2个球均为红球为止．记“取了次球后停止取球”，则____________；____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若，求的面积．
16. 如图，在六棱锥中，底面是边长为1的正六边形，，平面平面，平面平面．

（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值．
17. 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若在处有极小值，求的取值范围．
18. 已知抛物线的焦点为，准线为为坐标原点，是上一点，且到的距离为的面积为．
（1）求的方程；
（2）已知过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点．
（ⅰ）设直线分别与交于点，证明：；
（ⅱ）设与轴的交点为，线段的垂直平分线与轴交于点，则四点是否在同一个圆上？并说明理由．
19. 设集合，记中元素的个数为，数列的前项和为．
（1）求的值；
（2）当时，从中随机取出一个元素，求以为长度的三条线段为边能构成一个三角形的概率；
（3）求．
参考公式：．