河北省沧州市献县实验中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份河北省沧州市献县实验中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了 若复数满足， 在中，点在边的延长线上，且等内容，欢迎下载使用。

一､单选题（每题5分，共40分）
1. 已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题意得到，再根据向量夹角公式求解即可.
【详解】因为，，，
所以，所以，
设向量与的夹角为，则，
因为，所以．
故选：B
2. 若复数满足（是虚数单位），则的模长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简已知条件求出，再求模长
【详解】
所以，所以
故选：D
3. 如图,为平行四边形所在平面外一点,为的中点,为上一点,当∥平面时,( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接交于,连接,因为∥平面,平面,平面平面,可得∥,结合已知条件,即可求得答案.
【详解】连接交于,连接,

∥平面,平面
平面平面,
∥,
故: ①
又∥,为的中点,
②
由①②可得:
故选:D.
【点睛】本题考查了根据线面平行求线段比例,解题关键是掌握线面平行判定定理,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.
4. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
利用互斥事件和的概率等于概率的和计算结果.
【详解】从中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子或都是白子两个事件，这两个事件是互斥事件，设两粒是同一色为事件，同为黑子为事件，同为白子为事件，
则.
故选：C
【点睛】本题考查互斥事件和的概率，属于基础题型.
5. 空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合图形和题设条件，利用向量的加减数乘运算即得.
【详解】
如图，连结，因，点为的中点，则，
于是，.
故选：B.
6. 已知平行六面体的底面为矩形，，，，则（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积计算即得.
【详解】由，得，，
而，则，又，
所以.
故选：A
7. 在中，点在边的延长线上，且.若，则点在（ ）
A. 线段上B. 线段上
C. 线段上D. 线段上
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线定理的推论，求得三点共线；再根据，即可判断点的位置.
【详解】因为
所以，由向量共线定理可知三点共线.
∵，∴，
∴.
又∵，
∴点线段CD上，且不与、点重合.
故选：B
【点睛】本题考查向量共线定理的应用，属基础题.
8. 一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西，距灯塔64海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向处，则该船航行的速度为（ ）
A. 海里/小时B. 海里/小时C. 海里/小时D. 海里/小时
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意利用正弦定理求得，进而可得该船航行的速度.
【详解】如图所示，
在中，由题意可知：海里，
由正弦定理可得（海里），
且该船航行时间为4小时，所以该船航行速度为海里/小时.
故选：A
二､多选题（每题6分，共18分）
9. 在中，已知，，，则角的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正弦定理求出，根据可得或.
【详解】由正弦定理得，得，
因为，且，所以或.
故选：AC.
10. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量的共线和垂直的坐标表示，准确计算，即可求解.
【详解】因为向量，可得，
对于A中，由，设，即，
可得，此时方程组无解，所以与不平行，所以A错误；
对于B中，由，
所以，所以B正确；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，由，所以D正确.
故选：BCD.
11. 某中学四位同学利用假期到一贫困村参加社会实践活动，感受年该村精准扶贫及新农村建设的变化.经过实地调查显示，该村年的经济收入增加了一倍．实现翻番，精准扶贫取得惊人成果．为更好地了解该村的经济收入变化情况，为后期精准扶贫方向提供决策参考，四位同学统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
四位同学依据上述饼图，分别得出以下四个结论，其中结论中正确的是（ ）
A. 精准扶贫及新农村建设后，种植收入减少
B. 精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C. 精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D. 精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】BCD
【解析】
【分析】设精准扶贫及新农村建设前和后的经济收入分别为和，根据饼状图依次验证各项收入是否满足选项中的要求，由此可得结论.
【详解】设精准扶贫及新农村建设前，经济收入为，则精准扶贫及新农村建设后，经济收入为；
对于A，精准扶贫及新农村建设前，种植收入为；精准扶贫及新农村建设后，种植收入为；
，精准扶贫及新农村建设后，种植收入增加，A错误；
对于B，精准扶贫及新农村建设前，其他收入为；精准扶贫及新农村建设后，其他收入为；
，精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上，B正确；
对于C，精准扶贫及新农村建设前，养殖收入为；精准扶贫及新农村建设后，养殖收入为；
，精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍，C正确；
对于D，精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入之和的占比为，超过了总收入的一半，D正确.
故选：BCD.
三､填空题（每题5分，共15分）
12. 设向量，且⊥，则向量的模为_____
【答案】
【解析】
【分析】由两个向量垂直可得x值，即得到，由向量的模的公式计算即可得到答案.
【详解】向量，
由⊥得=0即
解得x=-3,则
|，
故答案为
【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式和向量的模公式的应用，属于基础题.
13. 下列数据的70%分位数为________．
20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22.
【答案】28
【解析】
【分析】根据求百分位数的步骤求解可得结果.
【详解】将这12个数据按从左向右，由小到大的顺序排列：
，
因为不是整数，所以第个数是分位数.
故答案为：.
14. 已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量共面的基本定理求即可求解.
【详解】P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，
但四点共面，且，
则根据向量共面定理，，即.
故答案为：
四､解答题
15 已知复数．
（1）求复数；
（2）若，求实数，的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据复数乘方和除法法则计算；
（2）根据复数相等列方程，解方程即可.
【小问1详解】
．
【小问2详解】
把代入，得，
整理得，所以，解得.
16. 已知向量，满足.
（1）若，求的值；
（2）若的夹角为，求与夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量平行，分类讨论同向或反向即可求解；
（2）分别求出向量与的模，根据向量的夹角公式，即可求得答案.
【小问1详解】
因为，所以或，
当时，，
当，
所以的值为.
【小问2详解】
因为，
所以.
17. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照50,60，60,70，，80,90，90,100的分组作出频率分布直方图如图所示.

（1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的中位数和平均数；
（2）若按照分层随机抽样从成绩在的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在90,100内的概率.
【答案】（1），中位数约为，平均数约为75；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积之和等于 求出a的值，再估计中位数和平均数.
（2）求出抽取的6人中在的人数，再利用列举法结合古典概率求解即得.
【小问1详解】
由频率分布直方图，得，解得，
成绩在的频率依次为，
显然本次竞赛成绩的中位数，则，解得，
本次竞赛成绩的平均数为，
所以，中位数约为，平均数约为75.
【小问2详解】
由（1）知，成绩在，的频率之比为，
则在中随机抽取人，记为1，2，3，4，在中随机抽取人，记为a，b，
从6人中随机抽取2人的样本空间为，共15个样本点，
设事件“至少有1人的成绩在内”，则，有9个样本点，
因此，
所以至少有1人的成绩在内的概率.
18. 在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值；
（3）若为锐角三角形，求取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边角互化得，再利用余弦定理求解即可；
（2）利用余弦定理结合基本不等式求得，然后利用面积公式求解即可；
（3）根据正弦定理结合两角和差公式化简得，然后结合锐角三角形性质，根据正弦函数的性质求解范围即可.
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，因为，所以.
【小问2详解】
由余弦定理得，所以，即，
当且仅当时，等号成立，所以，
即当为正三角形时，面积最大值为.
【小问3详解】
由正弦定理得
，
其中为锐角，且，所以，
又因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，
所以，即，
故的取值范围为.
19. 如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点．
（1）证明：MN∥平面A'BE；
（2）当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用中位线定理在平面中找到和直线平行的直线，利用直线和平面平行的判定定理即可证明.
（2）建立空间直角坐标系，根据已知条件利用等体积法，进而求出各个点的坐标，再利用平面的法向量计算平面的夹角的正切值.
【小问1详解】
取的中点，的中点，由题意知，，
直角梯形中，四边形为正方形，
为的中点，
，
四边形为平行四边形，，
平面，不在面内，
平面.
【小问2详解】
连接，则，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，面，
平面，
，
，，
，为等边三角形，
则，
设为平面的法向量，为平面的法向量，
，令
，令，
设平面与平面的夹角为，由题可知为锐角，
，
平面与平面的夹角的正切值为.