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    河北省沧州市献县实验中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(解析版)

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    这是一份河北省沧州市献县实验中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题(解析版),共15页。试卷主要包含了 若复数满足, 在中,点在边的延长线上,且等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题(每题5分,共40分)
    1. 已知平面向量,满足,,,则向量与的夹角为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】首先根据题意得到,再根据向量夹角公式求解即可.
    【详解】因为,,,
    所以,所以,
    设向量与的夹角为,则,
    因为,所以.
    故选:B
    2. 若复数满足(是虚数单位),则的模长等于( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】先化简已知条件求出,再求模长
    【详解】
    所以,所以
    故选:D
    3. 如图,为平行四边形所在平面外一点,为的中点,为上一点,当∥平面时,( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】连接交于,连接,因为∥平面,平面,平面平面,可得∥,结合已知条件,即可求得答案.
    【详解】连接交于,连接,

    ∥平面,平面
    平面平面,
    ∥,
    故: ①
    又∥,为的中点,

    由①②可得:
    故选:D.
    【点睛】本题考查了根据线面平行求线段比例,解题关键是掌握线面平行判定定理,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.
    4. 围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,都是白子的概率是则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
    A. B. C. D. 1
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    利用互斥事件和的概率等于概率的和计算结果.
    【详解】从中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子或都是白子两个事件,这两个事件是互斥事件,设两粒是同一色为事件,同为黑子为事件,同为白子为事件,
    则.
    故选:C
    【点睛】本题考查互斥事件和的概率,属于基础题型.
    5. 空间四边形中,,,,点在上,,点为的中点,则( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】结合图形和题设条件,利用向量的加减数乘运算即得.
    【详解】
    如图,连结,因,点为的中点,则,
    于是,.
    故选:B.
    6. 已知平行六面体的底面为矩形,,,,则( )
    A. 3B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据给定条件,利用空间向量的数量积计算即得.
    【详解】由,得,,
    而,则,又,
    所以.
    故选:A
    7. 在中,点在边的延长线上,且.若,则点在( )
    A. 线段上B. 线段上
    C. 线段上D. 线段上
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据向量共线定理的推论,求得三点共线;再根据,即可判断点的位置.
    【详解】因为
    所以,由向量共线定理可知三点共线.
    ∵,∴,
    ∴.
    又∵,
    ∴点线段CD上,且不与、点重合.
    故选:B
    【点睛】本题考查向量共线定理的应用,属基础题.
    8. 一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔的南偏西,距灯塔64海里的处,下午2时到达这座灯塔的东南方向处,则该船航行的速度为( )
    A. 海里/小时B. 海里/小时C. 海里/小时D. 海里/小时
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据题意利用正弦定理求得,进而可得该船航行的速度.
    【详解】如图所示,
    在中,由题意可知:海里,
    由正弦定理可得(海里),
    且该船航行时间为4小时,所以该船航行速度为海里/小时.
    故选:A
    二、多选题(每题6分,共18分)
    9. 在中,已知,,,则角的值可能为( )
    A. B. C. D.
    【答案】AC
    【解析】
    【分析】根据正弦定理求出,根据可得或.
    【详解】由正弦定理得,得,
    因为,且,所以或.
    故选:AC.
    10. 已知空间向量,则下列说法正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】根据题意,结合向量的坐标运算,以及向量的共线和垂直的坐标表示,准确计算,即可求解.
    【详解】因为向量,可得,
    对于A中,由,设,即,
    可得,此时方程组无解,所以与不平行,所以A错误;
    对于B中,由,
    所以,所以B正确;
    对于C中,由,所以C正确;
    对于D中,由,所以D正确.
    故选:BCD.
    11. 某中学四位同学利用假期到一贫困村参加社会实践活动,感受年该村精准扶贫及新农村建设的变化.经过实地调查显示,该村年的经济收入增加了一倍.实现翻番,精准扶贫取得惊人成果.为更好地了解该村的经济收入变化情况,为后期精准扶贫方向提供决策参考,四位同学统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:
    四位同学依据上述饼图,分别得出以下四个结论,其中结论中正确的是( )
    A. 精准扶贫及新农村建设后,种植收入减少
    B. 精准扶贫及新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
    C. 精准扶贫及新农村建设后,养殖收入增加了一倍
    D. 精准扶贫及新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】设精准扶贫及新农村建设前和后的经济收入分别为和,根据饼状图依次验证各项收入是否满足选项中的要求,由此可得结论.
    【详解】设精准扶贫及新农村建设前,经济收入为,则精准扶贫及新农村建设后,经济收入为;
    对于A,精准扶贫及新农村建设前,种植收入为;精准扶贫及新农村建设后,种植收入为;
    ,精准扶贫及新农村建设后,种植收入增加,A错误;
    对于B,精准扶贫及新农村建设前,其他收入为;精准扶贫及新农村建设后,其他收入为;
    ,精准扶贫及新农村建设后,其他收入增加了一倍以上,B正确;
    对于C,精准扶贫及新农村建设前,养殖收入为;精准扶贫及新农村建设后,养殖收入为;
    ,精准扶贫及新农村建设后,养殖收入增加了一倍,C正确;
    对于D,精准扶贫及新农村建设后,养殖收入与第三产业收入之和的占比为,超过了总收入的一半,D正确.
    故选:BCD.
    三、填空题(每题5分,共15分)
    12. 设向量,且⊥,则向量的模为_____
    【答案】
    【解析】
    【分析】由两个向量垂直可得x值,即得到,由向量的模的公式计算即可得到答案.
    【详解】向量,
    由⊥得=0即
    解得x=-3,则
    |,
    故答案为
    【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式和向量的模公式的应用,属于基础题.
    13. 下列数据的70%分位数为________.
    20,14,26,18,28,30,24,26,33,12,35,22.
    【答案】28
    【解析】
    【分析】根据求百分位数的步骤求解可得结果.
    【详解】将这12个数据按从左向右,由小到大的顺序排列:

    因为不是整数,所以第个数是分位数.
    故答案为:.
    14. 已知P为空间中任意一点,A、B、C、D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且,则实数x的值为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据向量共面的基本定理求即可求解.
    【详解】P为空间中任意一点,A、B、C、D四点满足任意三点均不共线,
    但四点共面,且,
    则根据向量共面定理,,即.
    故答案为:
    四、解答题
    15 已知复数.
    (1)求复数;
    (2)若,求实数,的值.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据复数乘方和除法法则计算;
    (2)根据复数相等列方程,解方程即可.
    【小问1详解】

    【小问2详解】
    把代入,得,
    整理得,所以,解得.
    16. 已知向量,满足.
    (1)若,求的值;
    (2)若的夹角为,求与夹角的余弦值.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据向量平行,分类讨论同向或反向即可求解;
    (2)分别求出向量与的模,根据向量的夹角公式,即可求得答案.
    【小问1详解】
    因为,所以或,
    当时,,
    当,
    所以的值为.
    【小问2详解】
    因为,
    所以.
    17. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛,从中随机抽取了一批学生的成绩,经统计,这批学生的成绩全部介于50至100之间,将数据按照50,60,60,70,,80,90,90,100的分组作出频率分布直方图如图所示.

    (1)求频率分布直方图中a的值,并估计本次竞赛成绩的中位数和平均数;
    (2)若按照分层随机抽样从成绩在的两组中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求至少有1人的成绩在90,100内的概率.
    【答案】(1),中位数约为,平均数约为75;
    (2).
    【解析】
    【分析】(1)利用频率分布直方图所有小矩形面积之和等于 求出a的值,再估计中位数和平均数.
    (2)求出抽取的6人中在的人数,再利用列举法结合古典概率求解即得.
    【小问1详解】
    由频率分布直方图,得,解得,
    成绩在的频率依次为,
    显然本次竞赛成绩的中位数,则,解得,
    本次竞赛成绩的平均数为,
    所以,中位数约为,平均数约为75.
    【小问2详解】
    由(1)知,成绩在,的频率之比为,
    则在中随机抽取人,记为1,2,3,4,在中随机抽取人,记为a,b,
    从6人中随机抽取2人的样本空间为,共15个样本点,
    设事件“至少有1人的成绩在内”,则,有9个样本点,
    因此,
    所以至少有1人的成绩在内的概率.
    18. 在中,内角的对边分别为,且.
    (1)求角;
    (2)若,求面积的最大值;
    (3)若为锐角三角形,求取值范围.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)利用正弦定理边角互化得,再利用余弦定理求解即可;
    (2)利用余弦定理结合基本不等式求得,然后利用面积公式求解即可;
    (3)根据正弦定理结合两角和差公式化简得,然后结合锐角三角形性质,根据正弦函数的性质求解范围即可.
    【小问1详解】
    因为,
    所以由正弦定理得,整理得,
    由余弦定理得,因为,所以.
    【小问2详解】
    由余弦定理得,所以,即,
    当且仅当时,等号成立,所以,
    即当为正三角形时,面积最大值为.
    【小问3详解】
    由正弦定理得

    其中为锐角,且,所以,
    又因为为锐角三角形,所以,解得,
    所以,
    所以,即,
    故的取值范围为.
    19. 如图,直角梯形 ACDE 中, 、M 分别为AC、ED 边的中点,将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置,N 为边A'C 的中点.
    (1)证明:MN∥平面A'BE;
    (2)当三棱锥的体积为,且二面角为锐二面角时,求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)利用中位线定理在平面中找到和直线平行的直线,利用直线和平面平行的判定定理即可证明.
    (2)建立空间直角坐标系,根据已知条件利用等体积法,进而求出各个点的坐标,再利用平面的法向量计算平面的夹角的正切值.
    【小问1详解】
    取的中点,的中点,由题意知,,
    直角梯形中,四边形为正方形,
    为的中点,

    四边形为平行四边形,,
    平面,不在面内,
    平面.
    【小问2详解】
    连接,则,以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,
    ,面,
    平面,

    ,,
    ,为等边三角形,
    则,
    设为平面的法向量,为平面的法向量,
    ,令
    ,令,
    设平面与平面的夹角为,由题可知为锐角,

    平面与平面的夹角的正切值为.
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