广东省深圳外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份广东省深圳外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共27页。试卷主要包含了 因式分解等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1. 有理式，，，，，，中，分式有( )个．
A. 7B. 2C. 5D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据分母中是否含有字母即可判断是否为分式．
【详解】，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式，
，，，的分母中含有字母，因此是分式，
则分式共有4个．
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式的概念，判断一个代数式是分式还是整式的方法：如果分母中含有字母，则是分式，如果分母中不含字母，则是整式．
2. 如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（ ）

A.
B.

C.
D.

【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
3. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A. B.
C. D. 以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可．
本题考查了一元二次方程的实际应用及黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得设他至少走x米，则较长线段长为，
则，
故选A．
4. 根据下表确定方程的解的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据表格数据的变化规律，利用“夹逼法”得到一元二次方程的解的取值范围．
【详解】解：根据表格，当和时，，
当和时，，
∴该方程的解的取值范围为或，
故选：A．
【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解，弄清表格中数据变化规律，掌握利用“夹逼法”探究一元二次方程的近似解是解答的关键．
5. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于x的方程的实数根的个数为( )
A. 0个B. 0或1个C. 2个D. 1或2个
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线不经过第二象限，可得，时，关于x的方程是一次方程，时，确定根的判别式即可．
【详解】解：∵直线不经过第二象限，
，
当时，关于x方程是一次方程，即，
，有一个根，
当时，关于x的方程是一元二次方程，
，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的性质和一元二次方程根的判别式，熟练掌握时，方程有两个不相等的实数根，时，方程有两个相等的实数根，时，方程无实数根是解题的关键．
6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A0,3，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按以下步骤作图：
①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F；
②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G；
③作射线，交边AB于点H；
则点H的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，推导出，进而证明是解题的关键.
由， 求得由作图得平分， 则， 由， 得， 所以， 则所以于是得到问题的答案.
【详解】∵，
∴，
∵，
∵四边形是平行四边形，CD在轴上
∴轴，
由作图得平分，
∴，
∵，
∴，
∴，

∵轴

故选： A.
7. 如图，在中，于点D，正方形CDEF的顶点E在线段AD上，G是边EF上一点，连结AG，记面积为，面积为，若，则DE的长为（ ）
A. B. C. 4D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】由等角的余角相等得到，继而证明，再由相似三角形对应边成比例解得，结合正方形的性质、三角形面积公式解得，据此整理解题即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及正方形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，将直线绕点逆时针旋转得到直线，过点作于点，则点的坐标是（ ）

A. -1,1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的性质与判定，根据一次函数的解析式求得的坐标，过点作轴于点，过点作于点，证明，根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
直线分别与轴，轴交于，两点，
当时，，当时，，
∴，
∴，
设，则，
∴
解得：，
∴．
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9. 因式分解：______．
【答案】y（x+2）（x-2）
【解析】
【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可
【详解】解：x2y﹣4y=y（x2﹣4）=y（x﹣2）（x+2）．
故答案为：y（x﹣2）（x+2）．
【点睛】题目主要考查提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
10. 若分式方程有增根，则它的增根是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的增根．熟练掌握增根的意义和产生过程，是解决问题的关键．去分母化分式方程为整式方程，让最简公分母，得到或，然后代入整式方程算出a的值，即可确定增根．
【详解】解：由，
去分母，得，
∵分式方程有增根，
∴，
∴或，
当时，
，
解得；
当时，
，
矛盾，a不存在．
故答案为：．
11. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为．P是第一象限内任意一点，连接．若，则我们把叫做点P的“角坐标”．则点的“角坐标”为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形性质，理解题中“角坐标”的定义是解题的关键．根据题中对“角坐标”的定义即可解决问题．
【详解】解：如图所示，过点作轴的垂线，垂足为，连接，，
则，
所以，．
即点的“角坐标”为．
故答案为：．
12. 如图，在中，，动点P从点A出发沿边以的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿边以的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点P，Q运动的时间为 _____秒．
【答案】1
【解析】
【分析】根据动点P以速度移动，动点Q以的速度移动，运动时间为 ，则，，，根据三角形面积列式解答即可．
本题考查了三角形的面积，解方程，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．
∴，，
∴，
根据题意，得，
整理，得，
解得，
当时，，比大，舍去
故
故答案为：1．
13. 如图，在边长为4的正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，H是的中点，连接，则的最小值为 _______________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，延长，交于点，过H点作于时，此时最小，又H是的中点，结合计算即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定方法，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是能想到连接，进而确定出G点的运动路径，再由点到直线距离垂线段最短求值．
【详解】解：连接，延长，交于点，
∵四边形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
当E点位于C点时，G点位于处，
当E点位于A点时，G点位于C处，
故E点在上运动时，G点在上运动，
故由点到直线的距离垂线段最短可知：
过H点作于时，此时最小，又H是的中点，
∴，
又，
∴，
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14. 先化简：，然后从不等式组的整数解中选一个合适的数作为a的值，代入求值．
【答案】，当时，原式
【解析】
【分析】先根据分式的混合计算法则进行化简，然后解不等式组求出不等式组的整数解，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可．
【详解】解：
，

解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为1，2，3，
∵分式要用意义，
∴，即且，
∴当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，求不等式组的整数解，正确利用分式的混合计算法则化简并求出不等式组的整数解是解题的关键．
15. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表
（1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ；
（2）表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）；
（3）如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率．
【答案】（1），见解析
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，计算甲快递公司在配送速度为9的人数可补全频数直方图，利用圆心角计算公式计算即可．
（2）根据中位数与方差的定义即可求解；
（3）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出A，B，C三家农产品种植户选择同一快递公司的结果数，然后利用概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法，方差、中位数，直方图．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析和求概率．
【小问1详解】
解：根据频数之和等于样本容量，
得甲快递公司在配送速度为9的人数为：（人）
补全频数直方图如下：
根据题意，得．
【小问2详解】
解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10．一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8，
故中位数，
故答案为：．
根据题意，得
．
得
．
，
故答案为：．
【小问3详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果，
∴三家种植户选择同一快递公司的概率为．
16. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接．

（1）求证：四边形为矩形；
（2）若菱形的边长为4，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）利用菱形的性质得到，先判断四边形为平行四边形，再判断矩形；
（2）分别求出和，再利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：四边形为矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了菱形的性质和矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等，解题关键是牢记它们的概念与性质．
17. 如图，在四边形中，，，过点A作于点E，，动点P从点B出发，沿运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，的面积为．
（1）请直接写出与x之间函数关系式以及对应的的取值范围；
（2）请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
（3）若直线的图象如图所示，结合你所画的函数图像，直接写出当时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】（1）
（2）画图见解析，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）
（3）当时的取值范围为：或
【解析】
【分析】（1）当点在上运动时，由，即可求解；当点在上运动时，同理可解；
（2）通过取点描点连线绘制图象即可；再观察函数图象即可求解；
（3）观察函数图象即可求解；
【小问1详解】
解：，，
则，
即，
则四边形为矩形，
在中，，，则，
则矩形为边长为4的正方形，
当点在上运动时，
过点作于点，
则，
当点在上运动时，
同理可得：，
即；
【小问2详解】
当时，，当时，，当时，；
将上述坐标描点连线绘制图象如下：
从图象看，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）；
【小问3详解】
从图象看，当时的取值范围为：或．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的判别和性质、面积的计算等，其中（1），要注意分类求解，避免遗漏．
18. 根据以下素材，完成探索任务．
【答案】（1）；
（2）路面设置的宽度符合要求；
（3）可以，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”，可得出的取值范围；
（2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，可得出的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求；
（3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）的结论，可得出符合题意，假设成立．
【详解】解：（1）横向道路宽度不超过24米，且不小于10米，即
解得：
纵向道路宽度的取值范围为
故答案：；
（2）根据题意可得：
整理得：
解得：，
符合题意
路面设置的宽度符合要求；
故答案为：路面设置的宽度符合要求；
（3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下：
假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，
根据题意得：
整理得：
解得：，
符合题意
假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元．
19. 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在中，，是的角平分线，E，F分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取中点M，连接并延长交于点Q，延长交于点N．若N为的中点，，求邻余线的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）20
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，结合定义解答即可．
（2）根据新定义解答画图即可．
（3）利用等腰三角形的性质，新定义，三角形相似的判定和性质，解答即可．
本题考查了新定义四边形，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握新定义，三角形相似的性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是邻余四边形．
【小问2详解】
解：根据新定义，画图如下：
则四边形即为所求．
【小问3详解】
解：∵ ，是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵ ，中点M，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
解得，
∵ N为的中点，
∴．
20. 如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交直线于点．
（1）当时，
①求证：；
②连结，若，求的值；
（2）当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连结，若，当是等腰三角形，请直接写出的长．
【答案】（1）①证明见解析；②=
（2）为或或
【解析】
【分析】（1）①根据菱形的性质，证明，根据对应边相等可得；
②连接，证明，得出，可得，设，则，勾股定理得到，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解．
（2）连接，证明，则，是等腰三角形有三种情况：①当时，②当时，③当时，根据相似三角形性质与判定进行计算即可求解．
【小问1详解】
①证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②解：连接，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
由①知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图：连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
是等腰三角形有三种情况：
①当时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②当时，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当时，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，为或或．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．…
4
5
6
13
5
…
5
13
项目统计量快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
方差
甲
m
7
乙
8
8
7
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1
某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米．
素材2
该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1
解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．
（1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围．
（2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2
解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用）
（3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．