福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期开学质检考试数学试题（原卷版）

这是一份福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期开学质检考试数学试题（原卷版），共4页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（完卷120分钟 满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足，且，则（ ）
A. B. C. 2D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知向量，，满足，，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数在1,2上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
5 已知α，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 设四棱台上、下底面积分别为，，侧面积为，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则（ ）
A. B.
C D.
7. 如图，将绘有函数（，）部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知数列、，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则为递减数列
B. 若数列的前n项和，则为等差数列
C. 若数列，都是等差数列，则为等差数列
D. 若数列，都是等比数列，则为等比数列
10. 抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的方程为：
B. 抛物线的准线方程为：
C. 当直线过焦点时，以AF为直径的圆与轴相切
D.
11. 已知函数，的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为
D. 若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量，，且，，则________．
13. 已知椭圆方程为，双曲线方程为，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为______．
14. 已知是定义在R上奇函数，，且对任意，均有，则________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）若函数单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若函数只有一个极值点，求实数a的取值范围．
16. 已知的三个内角的对边分别为，．
（1）求a；
（2）若，求面积的取值范围．
17. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面平面，．

（1）求四棱锥体积的最大值；
（2）若二面角为，设平面与平面的交线为，为上的点，且，，求与平面所成角的正弦值．
18. 已知双曲线C：的中心为O，离心率，点A在x轴上，，点P是C上一定点，P到x轴的距离为1，且．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求C上任一点和A的距离的最小值；
（3）若C上的点M，N满足，求证：在C上存在定点Q（异于P）使得P，M，N，Q在同一个圆上．
19. 有2n朵花围绕在一个圆形花圃周围，现要将其两两配对绑上缎带作为装饰，缎带之间互不交叉，例如：时，共有4朵花，以1、2、3、4表示，绑上缎带的两朵用一条线连接，共有2种方式，如图1、2所示．
（1）当时，求满足要求的绑缎带方法总数；
（2）已知满足要求的每一种绑法出现的概率都相等，如时，出现图1和图2所示方法的概率均为．记一次绑法中，共有Y对相邻的两朵花绑在一起，
（i）当时，求Y分布列和期望；
（ii）已知：对任意随机变量（，2，…，m，），有．记满足条件的绑缎带方法总数为，Y的期望为．求（用n和表示）．