东北三省精准教学2024-2025学年高三上学期9月联考数学试卷（解析版）

这是一份东北三省精准教学2024-2025学年高三上学期9月联考数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了 如图，是函数图象上的一点，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由指对数运算分别得出集合,再应用交集定义运算即可.
【详解】由题可知,,
,
因此.
故选：A.
2 已知，则（ ）
A. 10B. 20C. 40D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】结合展开式的通项公式，即可求解.
【详解】因为(2x+1)5展开式通项公式为，
所以的系数.
故选：C
3. 已知是无穷数列，，则“对任意的，都有”是“是等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分性和必要性的判断，直接论证即可.
【详解】对任意的，都有，
令，可以得到，因此是公差为的等差数列；
若，则，，，可得，
故“对任意的，都有”是“是等差数列”的充分不必要条件.
故选：A
4. 攒尖式屋顶是中国古代传统建筑一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为，高为，则该屋顶的面积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中条件求出母线，再运用圆锥侧面积公式求出侧面积，即为屋顶的面积.
【详解】
由题知，圆锥底面圆半径，高，
则母线，
因此圆锥的侧面积为.
即屋顶的面积为，
故选：B.
5. 已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线定义及焦点与准线距离列方程求参数即可.
【详解】
过分别向轴和准线做垂线,垂足分别为，
根据抛物线定义，有，
所以.
故选：A
6. 如图，是函数图象上的一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过点在函数图像上，得到，利用正、余弦的二倍角公式及切化弦即可求解.
【详解】因为是函数图象上的一点，所以，
由图可知
所以，
所以
故选：D
7. 已知函数，对任意的都有，且，则下列说法不正确的是（ ）
A. B. 是奇函数
C. 是上的增函数D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，取即得；对于B，使代入推理即得；对于C，通过推理得到，取反例进行验证即可否定结论；对于D，取，，推理得到是首项为1，公差为1的等差数列即得.
【详解】对于A，在中，
令，得到，因此，所以选项A正确；
对于B，令，得到，即，所以选项B正确；
对于C，由可化为，，
记，则，不妨取函数，显然符合条件，
则，因，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对于D，令，，得，即，
又，所以是首项为1，公差为1的等差数列，，故D正确.
故选：C.
8. 已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出两直线所过定点，确定动点P的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，即可求得答案；
【详解】直线，分别过定点，，且互相垂直，所以点P的轨迹是以为直径的圆（不含点），这个圆的圆心坐标为，半径为.
圆心到直线l距离为，
因此圆上的点到直线l距离最大值为，最小为，取得最小值时圆上点的坐标是，因此取值范围是.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算，即可结合选项逐一求解.
【详解】根据向量的坐标运算，，，
所以选项ACD正确.
故选：ACD
10. 现统计具有线性相关关系的变量X，Y，Z的n组数据，如下表所示：
并对它们进行相关性分析，得到，Z与的相关系数是，，Z与Y的相关系数是，则下列判断正确的是（ ）
附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数.
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】应用平均数定义及回归直线性质判断A,C,D,根据方差性质判断B选项.
【详解】由已知得到选项AC正确,
相关系数相等所以，D正确，
由方差性质可得，B错误.
故选：ACD.
11. 如图，直四棱柱中，底面是菱形，其所在平面为，且，.O是，的交点，P是平面内的动点（图中未画出）.则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则动点P的轨迹长度为
B. 若，则动点P的轨迹是一条直线
C. 若，则动点P的轨迹是一条直线
D. 若动点到直线的距离为1，则为定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，可求，从而可得的轨迹的长度；对于BC，根据空间中线面垂直可得的轨迹，从而可判断BC的正误；对于D，根据题设可得的轨迹为椭圆，计算出的长度后可判断D的正误.
【详解】对于选项A，因为，，故，
故点的轨迹是以C为圆心，半径为的圆，
其轨迹长度是，所以选项A错误；
对于选项B，因为，故总成立，
故点的轨迹是过点且垂直的平面与的交线，所以选项B正确；
对于选项C，因为，
故点的轨迹是过的中点且垂直的平面与的交线，所以选项C正确；
对于选项D，因为
空间中到直线的距离为1的点的轨迹是一个以为轴的圆柱面，
因此点P的轨迹是一个以O为中心的椭圆，短半轴长为1，
长半轴长a满足，从而半焦距，
而底面为菱形，且，故，
因此点A，C为该椭圆的焦点，，所以选项D正确.
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：空间中动点的轨迹，往往转化为空间中两个不同几何对象的交，从而把空间中轨迹问题转化为平面几何问题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数的实部为，且为纯虚数，则复数___________.
【答案】##
【解析】
【分析】解设复数，根据复数定义和纯虚数定义，直接求解参数即可.
【详解】由题设，（，），
则，
所以，，故.
故答案为：
13. 已知双曲线，点N的坐标为，其中，存在过点N的直线与双曲线C相交于A，B两点，且点N为弦的中点，则点N的坐标是___________.（写出一个符合条件的答案即可）
【答案】（或，）
【解析】
【分析】法一：设，，通过点差法得到直线方程，再联立双曲线方程，由，即可求解；
法二：由双曲线渐近线方程，确定在双曲线靠原点的一侧，从而判断A，B一定位于双曲线的两支上，进而得到，即可求解.
【详解】法一：
设，，则，，
两式相减得到，
又，，因此，
所以直线的方程为，
与双曲线联立得，
即，
因此，
整理后得到.
所以点N的坐标可以为，，.
故答案为：（或，）
法二：
由题意易知，双曲线的渐近线为，
因为，所以在双曲线靠原点的一侧，
又因为点N为弦的中点，故A，B一定位于双曲线的两支上，
所以，即.
所以点N的坐标可以为，，.
故答案为：（或，）
14. 已知且时，不等式恒成立，则正数m的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】将a视为主元，利用基本不等式得，当且仅当时取等号，从而得当时，恒成立，再利用导数求解即可.
【详解】解：将a视为主元，设，
则，
当且仅当时取等号，
故当时，恒成立.
设，
则，易知单调递增，且，
①若，即时，则，所以在单调递增，
故只需，即，解得；
②若，即时，
，
即时，恒成立.
综上，m的取值范围是.
故答案为：
【点睛】方法点睛：对于多参元恒成立问题，常将其中一个参数看成主元进行转化，已达到化多参为单参目的.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调递减区间；
（2）若是函数的极小值点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，由求解即可；
（2）求导，由，，分类讨论即可.
【小问1详解】
（1）当时，，
，
由解得，
所以函数的单调递减区间为.
【小问2详解】
，时，或.
①若，
当或时，，
当时，，
因此时，函数取极小值；
②若，
当或时，，
因此不是函数的极值点；
③若，
当或时，，
当时，，
因此时，函数取极大值.
综上，a的取值范围是.
16. 某市为了解车主用车的能源类型与对该市交通拥堵感受的关系，共调查了100名车主，并得到如下的列联表：
（1）将频率估计为概率，从该市燃油车和新能源车车主中随机抽取1名，记“抽取到燃油车车主”为事件，“抽取到新能源车车主”为事件，“抽取到的车主觉得交通拥堵”为事件，“抽取到的车主觉得交通不拥堵”为事件，计算，，比较它们的大小，并说明其意义；
（2）是否有的把握认为该市车主用车的能源类型与对该市交通拥堵的感受有关？将分析结果与（1）中结论进行比较，并作出解释.
附表及公式：
，.
【答案】（1），，，答案见解析
（2）没有，答案见解析
【解析】
【分析】（1）计算条件概率，再比较结合实际说明交通拥堵的比例；
（2）计算，再和边界值比较，最后判断车主用车的能源类型与是否觉得该市交通拥堵的相关性结合（1）给出结论.
【小问1详解】
由题意得
，
，
，
说明从抽样情况来看，燃油车车主觉得交通拥堵的比例比新能源车车主觉得交通拥堵的比例更高
【小问2详解】
，
因此没有的把握认为该市车主用车的能源类型与是否觉得该市交通拥堵有关，
说明调查人数太少，（1）中的结论不具有说服力，需要调查更多车主.
17. 如图，已知斜三棱柱中，侧面侧面，侧面是矩形，侧面是菱形，，，点E是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件可得平面，进而得到，再结合，即可求证；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解.
【小问1详解】
证明：因为侧面是矩形，所以，
又因为侧面侧面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以.
菱形中，，所以是等边三角形，
又E是的中点，所以，得，
又，，平面，
所以平面.
【小问2详解】
解：由（1），如图，以B为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
因为，所以，
因此，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
由，得，
由，得，令，得，
设平面的法向量为，
由，得，
由，得，令，得，
.
所以二面角的余弦值为.
18. 已知直线经过椭圆的右焦点F且被椭圆C截得的弦长为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点的动直线m与椭圆C相交于A，B两点，且直线l上的点M满足，求证：直线过定点，并求该定点的坐标.
【答案】（1）
（2）证明见解析，定点坐标为
【解析】
【分析】（1）根据直线x=2得出焦点坐标，在根据弦长求出直线与椭圆的两个交点结合计算求解即可；
（2）分直线斜率为0及斜率不为0两种情况，设出直线方程，令，即可计算得出得出定点.
【小问1详解】
由题意得，
将代入椭圆方程，可以求到两交点坐标为，
所以，因此，
解得或（舍去），，
即椭圆方程为.
【小问2详解】
当直线m的斜率为0时，直线的方程为，此时；
当直线m的斜率不为0时，可设直线m的方程为，
代入椭圆方程，得到，
由，得到或，因此A，B点不在直线l上，
设点Ax1,y1，Bx2,y2，
则，，
则，
因为，所以，
所以直线的方程为，
令，得到，
所以，
综上，直线过定点.
19. 二进制是在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，在这一系统中，通常用两个不同的符号0，1来表示数.如果十进制中的整数，则这个数在二进制下记为，即.记十进制下的整数n在二进制表示下的各位数字之和为，即.
（1）计算；
（2）证明：；
（3）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）用二进制表示7，可求.
（2）由即二进制的进位制度，探索与的关系.
（3）先求数列的通项公式，再求和.
【小问1详解】
因为，所以
小问2详解】
设，
即，
则，
所以.
【小问3详解】
因为，
所以，
因此数列的前n项和为.
变量
1
2
3
…
n
平均数
方差
X
…
Y
…
Z
…
觉得交通拥堵
觉得交通不拥堵
合计
燃油车车主
30
20
50
新能源车车主
25
25
50
合计
55
45
100
0.100
0.010
0.001
2.706
6.635
10.828