北京市清华大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学调研数学试卷（原卷版）

这是一份北京市清华大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学调研数学试卷（原卷版），共5页。

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，集合，那么等于（ ）
A. B. C. D.
2. 设复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 设，且，下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，则线段的中点的纵坐标为（ ）
A. B. C. 3D. 4
7. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知．则“”是“”（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数据：，）（ ）
A 秒B. 秒C. 秒D. 秒
10. 一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.
11. 已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．
12. 已知平面内四个不同的点满足.，若，则______.
13. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍[chúméng]”的五面体（如下图），四边形ABCD为矩形，棱.若此几何体中，，和都是边长为的等边三角形，则此几何体的体积为______.
14 已知函数，
①当时，的值域为______；
②若关于的方程恰有个不同的实根，则的取值范围是______.
15. 已知数列满足，则
①当时，存在，使得：
②当时，为递增数列，且恒成立；
③存在，使得中既有最大值，又有最小值；
④对任意的，存在，当时，恒成立.
其中，所有正确结论的序号为______.
三、解答题共6道小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
16. 已知函数，其中.请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作已知，使函数存在且唯一确定，并解答下列问题.
条件①：；
条件②：最大值为；
条件③：在区间上单调，且最大值为；
（1）求函数的对称中心；
（2）若方程在区间内有且仅有1个实根，求m取值范围.
17. 在四棱锥中，分别为的中点，平面，.

（1）若平面，求证：；
（2）若，直线与平面所成的角为，求的长.
18. 某学校为提升学生的科学素养，所有学生在学年中完成规定的科普学习任务，并通过科普测试获得相应科普过程性积分.现从该校随机抽取60名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：
用频率估计概率.
（1）从该校全体学生中随机抽取一名学生，估计这名学生科普过程性积分不低于2分的概率；
（2）从该校全体学生中随机抽取三名学生，估计这三名学生的科普过程性积分之和恰好为6分的概率；
（3）从该校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不超过1的概率估计值记为，这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不低于1的概率估计值记为，试判断和的大小（结论不要求证明）.
19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为.上、下顶点分别为，且面积为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上一点（不与顶点重合），直线与x轴交于点M，直线、分别与直线交于点N、D，求证：与的面积相等.
20. 设函数，为曲线在处的切线.
（1）求的方程；
（2）求的极值；
（3）若曲线除了切点之外都在直线的上方，求实数的取值范围.
21. 设，且都是奇数，m行n列的数表满足.对任意的，都有.记，若，则称第i行为“正行”，若，则称第j列为“负列”，记A中正行与负列的数目之和为.
（1）设，直接写出的值：
（2）求证：；
（3）求的最大值.科普测试成绩x
科普过程性积分
人数
3
20
2
10
1
15
0
15