北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题（解析版）

这是一份北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐项判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、中含有分数，故不是最简二次根式，不符合题意；
C、中含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
2. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键．
根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于每一个确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可．
【详解】解：A、的值与的值一一对应，是函数，符合题意；
B、部分的值对应多个的值，不是函数，不符合题意；
C、部分的值对应多个的值，不是函数，不符合题意；
D、部分的值对应多个的值，不是函数，不符合题意．
故选A．
3. 在中， 的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴，即，故A不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∴，故C不符合题意；
D、∵，
∴，
∴，即，故D不符合题意；
故选：C。
4. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
方程移项，配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程，
整理得：，
配方得：，即．
故选：B．
5. 已知三点都在二次函数图象上，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解．
【详解】∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵三点都在二次函数的图象上，
∴到对称轴的距离最远，在对称轴上，
∴．
故选：B．
6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作于点H，连接OH，若，，则菱形ABCD的面积为（ ）
A. 8B. 16C. 24D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】由Rt△BHD中，点O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH=2，则，BD=4，由菱形对角线的性质可得AC=8，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∴BD=2OH，
∵OH=2，
∴BD=4，
∵OA=4，
∴AC=8，
∴菱形ABCD的面积= AC•BD= ×8×4=16．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键．
7. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）.
A. （32﹣2x）（20﹣x）=570B. 32x+2×20x=32×20﹣570
C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570D. 32x+2×20x﹣2x2=570
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可.
【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得：
(32−2x)(20−x)=570，
故选：A
【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键.
8. 如图，四边形是正方形， 点分别在的延长线上， 且，设． 给出下面三个结论：①；②；③上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明，结合三角形的三边关系判断①；完全平方公式结合勾股定理判定②；勾股定理判断③．
【详解】解：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；故①正确；
∵，即：，
∴，
∴；故②正确；
∵，且为动点，
∴无法确定和的关系，故③错误；
故选A．
二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义，即被开方数为非负数，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴
∴
故答案为：
10. 已知函数，y随x增大而增大，则实数k的取值范围是 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质．根据一次函数的性质，可得答案．
【详解】解：∵函数，y随x的增大而增大，
∴，
∴，
故答案为：．
11. 如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点，连接，若，则的长为 _____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟记平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．根据平行四边形的性质得出，再结合点E是的中点得出是的中位线，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：6．
12. 直线一定经过一个定点，这个定点的坐标是_________ ．
【答案】
【解析】
【分析】、
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征；变形为，既然过定点，则与k值无关，此时只有即可，由此可求得定点坐标．
【详解】解：变形，
直线过定点，则与k值无关，
，
即，
，
即定点坐标为；
故答案为：．
13. 2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58万元增长至7.96万元．设人均可支配年收入的平均增长率为x，根据题意列出方程得 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58万元增长至7.96万元”列方程求解．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，E为上一点，将矩形的一角沿向上折叠，点B的对应点F恰好落在边上．若的周长为12，的周长为24，则的长为________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，找出线段之间的数量关系是解题关键．由矩形和折叠的性质可知，，，，再根据三角形周长，求得，，然后利用勾股定理，求出的长，即可得到答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
由折叠的性质可知，，，
的周长为12，的周长为24，
，，
，
，
，，
在中，，
，
解得：，
，
，
故答案为：4．
15. 在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方差计算公式：
，并由公式得出以下信息：①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是4，⑤样本的方差是0.5，那么上述信息中正确的是 ________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据方差的概念，得到这组数据为：3，3，4，6，再根据极差，中位数，众数，平均数的概念，得到其大小，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
，
∴样本的容量是4，故①说法正确；
这组数据为：3，3，4，6，
则中位数为：，故②说法错误；
样本的众数为：3，故③说法正确；
样本平均数为：，故④说法正确；
方差为：，故⑤说法错误；
则上述信息正确的是①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了方差，中位数，众数，算术平均数以及总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握相关概念是解答本题的关键．
16. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④．其中正确的是 _______（填序号）．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点，可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点右侧，则当x=-1时，，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=1时，二次函数有最大值，可对③进行判断；由于直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得时，一次函数值比二次函数值大，即，然后把代入解a的不等式，则可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点左侧，
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点右侧，
∴当x=-1时， ，
∴，所以②错误；
∵x=1时，二次函数有最大值，
∴m为任意实数时， ，
∴，即，所以③正确；
∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴时，一次函数值比二次函数值大，
即，
而，
∴，解得，所以④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
三、解答题（共10小题，第17题12分，第18，19，20，21，22题每题6分，第23题5分，第24，25，26题每题7分，共68分）
17. 用适当的方法解关于x的一元二次方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）方程没有实数根 （4）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）根据直接开平方法解一元二次方程即可；
（3）根据公式法解一元二次方程即可；
（4）根据因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：
∴，
∴
【小问2详解】
，
，
，
∴
【小问3详解】
∵，
∴原方程没有实数根；
【小问4详解】
，
∴，
∴，，
∴，．
18. 已知：如图，在中，．
求作：以为对角线的矩形．
作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D；
②以点 A 为圆心，的长为半径画弧；再以点C 为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E；
③连接．
四边形 为所求的矩形．
（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)；
（2）完成以下证明．
证明：∵，
∴四边形为平行四边形( )．(填推理的依据)
由作图可知，平分，
又∵，
∴ ( )．(填推理的依据)
∴．
∴平行四边形是矩形( )．(填推理的依据)
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定，角平分线的尺规作图，等腰三角形三线合一：
（1）根据题意作图即可；
（2）根据矩形的判定定理和等腰三角形三线合一定理证明即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
证明：∵，
∴四边形为平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
由作图可知，平分，
又∵，
∴ (三线合一定理)．
∴．
∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
19. 如图，中，，E，F分别是，的中点
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，，求四边形的面积．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，由中点的性质可得，可证四边形为平行四边形，由直角三角形的性质可得，即可得结论；
（2）由勾股定理可求的长，可求，即可求四边形的面积．
【小问1详解】
证明：在中，
，，
又，分别是边，的中点，
，，
，且
四边形为平行四边形．
在中，，是边中点，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：，，，
，
，
点是的中点，
，
四边形是菱形，
四边形的面积
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，熟练运用菱形的判定是本题的关键．
20. 已知二次函数．
（1）在平面直角坐标系中，用五点法画出该二次函数的图象；
（2）根据图象回答下列问题：
①当时，x的取值范围是 ；
②当时，y的取值范围是 ．
【答案】（1）见解析 （2）①或；②．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，作出函数图象并利用图象是解题关键．
（1）先列表，再描点连线即可；
（2）观察图象即可得出结论．
【小问1详解】
解：列表：
描点、连线：
【小问2详解】
解：观察图象，①当时，x的取值范围是或；
②当时，y的取值范围是；
故答案为：或；．
21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点．
（1）求该函数的解析式及点的坐标；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解．
（2）根据题意结合解出不等式即可求解．
【小问1详解】
解：将，代入函数解析式得，
，解得，
∴函数的解析式为：，
当时，得，
∴点A的坐标为．
【小问2详解】
由题意得，
，即，
又由，得，
解得，
∴的取值范围为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关键．
22. 某专卖店销售山核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可出售．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天可销售可增加．若该专卖店销售这种山核桃要想平均每天获利2240元，且尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【答案】该店应按原售价的9折出售
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设该店应按原售价x折出售，则每千克的销售利润为元，平均每天可售出千克，根据该专卖店销售这种山核桃要想平均每天获利2240元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】解：设该店应按原售价的x折出售，则每千克的销售利润为元，平均每天可售出千克，
根据题意得： ，
整理得，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该店应按原售价的9折出售．
23. 为增强居民的反诈骗意识，A，B两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的有奖问答活动．现从A，B小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：，）；
b．A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据在这一组的是：
84 85 85 86 86 88 89
c．B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据如表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全a中频数分布直方图；
（2）A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是 ；B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是 ；
（3）为鼓励居民继续关注反诈骗宣传，对在这次有奖问答活动中成绩大于或等于90分的居民颁发小奖品．已知A，B两个小区各有2000名居民参加这次活动，估计这两个小区的居委会一共需要准备多少份小奖品．
【答案】（1）见解析 （2）88.5；94；
（3）估计这两个小区的居委会大约一共需要准备1900份小奖品
【解析】
【分析】本题考查的是频数分布直方图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
（1）用样本容量减去其他四组的频数，可得“”的频数，进而补全a中频数分布直方图；
（2）根据中位数和众数的定义解答即可；
（3）用2000分别乘样本中A，B两个小区大于或等于90分所占比例即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，A小区“”的频数为：，
补全a中频数分布直方图如下：
【小问2详解】
A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是：；
B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是94．
故答案为：88.5；94；
【小问3详解】
（份），
答：估计这两个小区的居委会大约一共需要准备1900份小奖品．
24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C．
（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D．若m＞0，CD＝8，求m的值；
（3）已知A（2k，0），B（0，k），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点时，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）抛物线的顶点坐标为（m，﹣1）；（2）m＝2；（3）k或k＞3．
【解析】
【分析】（1）化成顶点式即可求得；
（2）根据题意求得OC＝3，即可得到m2−1＝3，从而求得m＝2；
（3）将点A（2k，0），B（0，k），代入抛物线，此时时抛物线与线段刚相交的时候，k在此范围内即可使抛物线与线段AB有且只有一个公共点．
【详解】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（m，﹣1）；
（2）由对称性可知，点C到直线y＝﹣1的距离为4，
∴OC＝3，
∴m2﹣1＝3，
∵m＞0，
∴m＝2；
（3）∵m＝2，
∴抛物线为y＝x2﹣4x+3，
当抛物线经过点A（2k，0）时，k或k；
当抛物线经过点B（0，k）时，k＝3；
∵线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点，
∴k或k＞3．
【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合解题是解决本题的关键．
25. 如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接．
（1）计算的度数；
（2）如图2，过点A作，垂足为G，连接．用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）先证明，再利用等腰直角三角形的性质得出结论；
（2）连接，先证明，得出，取的中点M，连接，证明，从而得出结论．
【小问1详解】
解：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形
；
【小问2详解】
．
理由：如图，取的中点，连接，，

是等腰直角三角形，，
是的中点，
，
同理，在中，，
，
，，
，
，
，
；
∵，
为的中位线，
，，
，
在中，，
为等腰三角形，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，作出合适的辅助线是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，对于线段和点Q，给出如下定义：若在直线上存在点P，使得四边形为平行四边形，则称点Q为线段的“相随点”．
（1）已知，点，．
①在点，，，中，线段的“相随点”是 ；
②若点Q为线段的“相随点”，连接，，直接写出的最小值及此时点Q的坐标；
（2）已知点，点，正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出 t 的取值范围．
【答案】（1）①，；②；
（2）或
【解析】
【分析】（1）①首先求出，然后根据平行四边形的性质得到，，然后设，然后分别验证求解即可；
②首先判断出点Q在直线上运动，连接，，作点O关于直线的对称点，连接，，得到，当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后求出，最后利用勾股定理求解即可；
（2）首先得出正方形左上角的顶点坐标为，右下角的顶点坐标为，设，然后分种情况讨论，分别根据平行四边形的性质求解即可．
【小问1详解】
①∵点，．
∴
∵四边形为平行四边形
∴，
∵点P在直线上
∴设
∴若，且
∴，
∴
∴符合题意，
∴是线段的“相随点”；
∴若，且
∴，
∴
∴，此时点P，Q和点A，B共线，围不成平行四边形，不符合题意；
∴若，且
∴，
∴
∴符合题意，
∴是线段的“相随点”；
∴若，且
∴，
∴，，矛盾，不符合题意；
综上所述，线段的“相随点”是，；
②∵点Q为线段的“相随点”，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴设，
∴
∴
∴点Q直线上运动
如图所示，连接，，作点O关于直线的对称点，连接，
∴
∴
∴当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度
∵点O和点关于直线对称
∴
∵
∴
∴的最小值为；
【小问2详解】
∵正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，
∴正方形左上角的顶点坐标，右上角的顶点坐标，左下角的顶点坐标，右下角的顶点坐标，
∵点，点，设
设所在直线表达式为，
∴，解得
∴所在直线表达式为，
若与等长，如图所示，当正方形左上角的顶点为线段的“相随点”时，
∴，
∴，解得
当点F在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，
∴点在上
∴
解得
∴；
若与等长，如图所示，当正方形右下角的顶点为线段的“相随点”时，
∴，解得
当点D在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，
∴点在上
∴
解得
∴；
综上所述， t 的取值范围或．
【点睛】此题考查了一次函数与四边形综合题，新定义问题，平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确分析题目，掌握以上知识点．
x
…

…
y
…
…
x
…
0
1
…
y
…
0
3
4
3
0
…
分数
73
81
82
85
88
91
92
94
96
100
人数
1
3
2
3
1
3
1
4
1
1