2024年山西省初中学业水平考试定心卷数学试题（解析版）

这是一份2024年山西省初中学业水平考试定心卷数学试题（解析版），共26页。
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查有理数的乘法．有理数的乘法法则为：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
【详解】解：．
故选：A．
2. 下列消防安全标识中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故该选项是错误的；
B、该图形不是中心对称图形，故该选项是错误的；
C、该图形不是中心对称图形，故该选项是错误的；
D、该图形是中心对称图形，故该选项是正确的；
故选：D．
3. 山西省2024年政府工作报告中指出，2024年我省将着力构建新型电力系统，加快5个在建煤电项目建设，完成煤电机组“三改联动”630万千瓦．其中“630万千瓦”用科学记数法表示为（ ）
A. 千瓦B. 千瓦
C. 千瓦D. 千瓦
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：“630万千瓦”用科学记数法表示为千瓦．
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了乘法公式，幂的运算，整式的减法，熟练掌握知识点是解题的关键．
分别利用幂的乘方、积的乘方，完全平方公式，合并同类项法则，以及平方差公式判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：D．
5. 不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键．
先求出每一个不等式的解集，再取解集的公共部分即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：,
∴原不等式组的解集为：，
故选：C．
6. 如图，小辰准备在妈妈生日当天订购鲜花送给她，在付款时忘了支付密码的后三位数，只记得密码后三位数是由“2，3，5”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这个三位数，一次就能支付成功的概率为（ ）
A. B. C. 15D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查列举法求概率；由题意可知有235、253、325、352、523、532，共6种可能，然后问题可求解．
【详解】解：现随机输入这三个数，有235、253、325、352、523、532，共6种可能，那么一次就能支付成功的概率为；
故选：B．
7. 已知反比例函数的图象经过两点，当时，则k的值可能为（ ）
A. B. C. 0D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质．根据，且，判定函数图象在这个象限内，y随x的增大而减小，继而得到，解答即可．
【详解】解：根据，且，
∴函数图象在这个象限内，y随x的增大而减小，
∴，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
8. 下面是老师给出的一道尺规作图题．如图，已知，求作：，使．作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F；（2）以☆为圆心，的长为半径画弧，交于点C；（3）作射线，即为所求作的角，则下列结论正确的是（ ）
A. B. ☆表示点E
C. D. 是等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，三角形的不等关系，等腰三角形的判定．根据题干中的作图步骤即可判断各选项．
【详解】解：作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F；（2）以F为圆心，的长为半径画弧，交于点C；（3）作射线，即为所求作的角，
由作法知：，
由三角形三边关系得，选项A不符合题意；
☆表示点F，选项B不符合题意；
由作法知，点在圆O上，则，
∴是等腰三角形，选项D符合题意；
不能证明，选项C不符合题意；
故选：D．
9. 排水量一般指的是物体漂浮在水中时排开的水的质量，设物体在水中的体积为v，水的密度为ρ，则该物体的排水量，如图，分别将甲、乙两个铁块（甲的体积>乙的体积）按照同样的速度匀速浸入装满水的烧杯中，则从铁块底面接触水到水完全浸没铁块这一段时间里，两个铁块各自的排水量M随时间t变化的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象．根据题意可以分别得到甲、乙两个铁块（甲的体积>乙的体积）按照同样的速度匀速浸入装满水的烧杯中，则从铁块底面接触水到水完全浸没铁块这一段时间里，两个铁块各自的排水量M随时间t变化的图象，从而解答本题．
【详解】解：根据题意甲、乙两个铁块，在没有浸入装满水的烧杯时，都是0，即在原点，故排除选项A和B，
因为甲的体积>乙的体积，且同样的速度匀速浸入装满水的烧杯，
所以甲的排水量>乙的排水量，
故选：C．
10. 半圆的直径在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且，连接，取的中点D，连接，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，扇形面积公式，弧长公式，邻补角等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
取的中点O，连接，，由题意得，，可知为的中位线，则，，根据，得到，再根据扇形面积公式即可求解．
【详解】解：取的中点O，连接，，
由题意得，，
∴，
∵点D为中点，
∴，
∴，
∴
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
第II卷非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 化简的结果是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了异分母的分式的减法运算，数量掌握知识点是解题的关键．
先通分，再进行分子加减，最后要化为最简分式．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
12. 俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以O为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块向左移动2个格子，再向下移动6个格子，点A恰好落在点处，则上方的方块移动前点A所在位置的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标平移的性质：上下平移只改变点的纵坐标，上加下减；左右平移只改变点的横坐标，左减右加，据此求解即可．
【详解】解：∵将点A向左移动2个格子，再向下移动6个格子恰好落在点处，
即将点向右移动2个格子，再向上移动6个格子得到点A，
∴，即，
故答案为：．
13. 如图，是的直径，C，D为上两点，且平分，连接，，若则的度数为________．
【答案】29
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理和角平分线的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理，，，，可得，又平分，可得，由此求得．
【详解】解： ，
，
为的直径，
，
，
平分，
，
，
．
故答案为：．
14. 榫卯被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，是中国传统木艺的灵魂．下图结构为固定榫槽的连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当连接结构数分别有1个和2个时，总长度如图所示，则当有n个连接结构时，总长度为________．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
当连接结构数为1时，总长度为，当连接结构数为2时，总长度为，则每增加1个连接结构，总长度增加，结合图可知，每个连接结构的长度为，因此得到当连接结构数为n时，总长度为．
【详解】解：当连接结构数为1时，总长度为，当连接结构数为2时，总长度为，则每增加1个连接结构，总长度增加，结合图可知，每个连接结构的长度为，
∴当连接结构数为1时，总长度为，
当连接结构数为2时，总长度为，
当连接结构数为n时，总长度为，
故答案为：．
15. 如图，在边长为4的菱形中，，对角线交于点O，点E是的中点，点F是的中点，连接交于点G，则线段的长为________．
【答案】##
【解析】
【分析】过点F作于点H，可证明为等边三角形，则，则，由勾股定理得，可得，求得，，而，则，在中，由勾股定理得，，由，得，则．
详解】解：过点F作于点H，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点E为中点，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）8；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先计算负整数指数幂，化简绝对值，计算立方根，再进行加减运算；
（2）利用加减消元计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：，
得，，
解得，
将代入②得：，
解得，
∴原方程组的解为：．
17. 平遥牛肉已有2000多年的传统加工技艺，是中国国家地理标志产品．为提高分装效率，平遥某牛肉加工厂计划增购一台包装机，现推荐有A，B两台不同型号的包装机可供选择．试用时，从A，B两台包装机已包装好的产品中各随机抽取10袋测得每袋的实际质量（单位：g），设定每袋的标准质量为500g，与之相差大于2g为不合格，将所得数据进行收集整理，部分信息如下：
信息一：A，B两台包装机包装的牛肉每袋的实际质量折线统计图
信息二：A，B两台包装机包装的牛肉每袋的实际质量统计表
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a，b的值；
（2）由统计图可知， 型号包装机包装的牛肉每袋的质量比较稳定（填“A”或“B”）；
（3）综合以上信息，你认为哪种型号包装机包装牛肉的情况较好？请说明理由．
【答案】（1）
（2）B （3）见详解
【解析】
【分析】本题考查了折线统计图，中位数，众数，正确理解题意是解题的关键．
（1）将A型号中的数据排列，然后即可求出中位数，B型号中的数据出现了5次且最多，即可求出众数；
（2）由统计图可知，B型号包装机包装的牛肉每袋的质量比较稳定；
（3）答案不唯一，视角不同，结果不同，从稳定角度看，B种更好，从平均数角度看，A型号更好．
【小问1详解】
解：A型号中的数据排列为：，
故中位数；
B型号中的数据出现了5次且最多，故众数；
【小问2详解】
解：由统计图可知，B型号包装机包装的牛肉每袋的质量比较稳定，
故答案为：B；
【小问3详解】
解：（答案不唯一，合理即可）
①B型号包装机包装牛肉的情况较好，理由如下：
从折线统计图可以看出，B型号包装机包装的牛肉每袋的实际质量波动小于A型号包装机，则B型号包装机包装的牛肉每袋的质量更稳定，
∴B型号包装机包装的牛肉的情况较好；
②A型号包装机包装牛肉的情况较好，理由如下：
从平均数来看，可计算A型号包装机包装的牛肉每袋的实际质量的平均数为，可计算B型号包装机包装的牛肉每袋的实际质量的平均数为，
∵设定每袋的标准质量为，
∴A型号包装机包装的牛肉平均每袋的质量更接近标准质量，
∴A型号包装机包装牛肉的情况较好．
18. 为了提高道路的通行效率，阳泉市对大连街五渡口至保晋路口实行了灯控路口智能化改造，优化了交通信号灯配时，驾驶员只要控制好车速，便能达到“一路绿灯”的效果．据了解，该路段总长约4.2公里，改造后通过该路段的车辆的平均行驶速度提高了，平均行驶时间减少了3分钟，求改造前通过该路段车辆的平均速度．
【答案】改造前通过该路段车辆平均速度是千米∕小时．
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用．设改造前通过该路段车辆的平均速度x千米/小时，则改造后通过该路段车辆的平均速度是千米/小时，根据“行驶4.2千米，平均行驶时间减少了3分钟”列出方程并解答．
【详解】解：设改造前通过该路段车辆的平均速度x千米/小时，则改造后通过该路段车辆的平均速度是千米/小时，
由题意，得．
解得：．
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
答：改造前通过该路段车辆平均速度是千米∕小时．
19. 太原解放纪念碑位于太原市杏花岭区牛驼寨，始建于1988年，向世人展示了永垂不朽的革命精神．某班学生利用课余时间完成了“测量太原解放纪念碑的高度”的实践活动．如图，小组成员从纪念碑的底部（台阶下）出发，向前走到点F处，用测角仪测得A处的仰角，继续向前走到达点E处，再测得点A的仰角该成员眼睛到地面的距离且点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，点E，F，G在同一条直线上，请根据所给数据计算太原解放纪念碑（含台阶部分）的高度（结果精确到，参考数据：）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
设，解得到，解得到，可得，解方程，再由即可求解．
【详解】解：由题意得，，
设，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
答：太原解放纪念碑（含台阶部分）的高度约为．
20. 如图，抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点A，作直线．
（1）求点B的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
（2）若点C为抛物线的顶点，求四边形的面积．
【答案】（1），直线的表达式为
（2）
【解析】
【分析】（1）分别令，求出点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先求顶点，根据勾股定理逆定理得到，则，则，而，由即可求解．
【小问1详解】
解：当，则，
解得：或，
∴，
当，，
∴C0,-3，
设直线的表达式为：，
则，
解得：，
∴直线的表达式为；
【小问2详解】
解：如图：
，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
而，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数与面积的相关问题，待定系数法求一次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题，勾股定理逆定理，已知两点求距离等知识，熟练掌握知识点是解题的关键．
21. 阅读与思考
下面是小颖的一篇数学探究活动日记，请仔细阅读并完成相应任务．
平移的巧妙运用
平移是初中常见的几种几何变换之一，它可以在不改变线段或角的大小的情况下，将线段或角平移到一个新的位置，使得复杂问题简单化，从而快速解决数学问题．例如下面的结论及证明过程：
结论：如图①，在正方形中，点E，F，G分别在边上，且．则
该结论的一种证明过程如下：
如图①，过点A作交于点H，交于点P，
∵四边形是正方形，
，
（依据），
…
任务：
（1）请写出上述证明过程中括号内“依据”的内容： ；
（2）请将该探究活动日记中结论的证明过程补充完整；
（3）如图，在由边长均为1的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，且线段AB与CD交于点O，请根据材料中的思路，求的度数．
【答案】（1）
（2）见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）上述证明过程中括号内“依据”的内容为：；
（2）根据全等三角形的性质得到，可证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可求证；
（3）将线段沿向右平移两个格点得到线段，连接，由平移可得，则，由勾股定理得，，故，则是等腰直角三角形，则，故．
【小问1详解】
解：上述证明过程中括号内“依据”的内容为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：证明过程补充如下：
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：将线段沿向右平移两个格点得到线段，连接，如图：
由平移可得，
∴，
∵正方形网格中每个小正方形的边长均为1，
∴由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定与性质，平移的性质等，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
22. 学科实践
问题情境：
某学校举办了校园科技节活动，培养学生的科学探究精神，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在校园科技节主题活动当天进行投石试验展示．
试验步骤：
第一步：如图，在操场上放置一块截面为的木板，该木板的水平宽度（米，竖直高度米，将投石机固定在点O处，紧贴木板的矩形厚木板表示城墙；
第二步：利用投石机将石块(石块大小忽略不计）从点A处抛出，石块飞行到达最高点后开始下降，最终落地，其中点A到地面的高度米，测得米．
试验数据：
科学小组的同学借助仪器得到石块飞行过程中的一组数据：石块飞到最高点P时离地面的高度为1.5米，飞行的水平距离为4米．
问题解决：
已知石块的飞行轨迹是抛物线的一部分，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求石块飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式；
（2）在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度的取值范围；
拓展应用：
（3）如图，在进行第二次试验前，小组同学准备在上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木杆用于瞄准，为确保木杆不会被石块击中，则这支木杆的最大长度是多少？
【答案】（1）（2）（3）1米
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，二次函数的线段综合，一次函数的性质以及解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合已知条件，设抛物线为顶点式，代入，则，即可作答．
（2）结合已知条件，找出，再设，然后米，把代入，解得，即可作答．
（3）先求出线段的解析式为，得，其中，设抛物线到点W的距离为，则，因为，开口向下，取大值，把代入，得出，此时这支木杆有最大长度，即有最大值，即．
【详解】解：（1）依题意，∵石块飞到最高点P时离地面的高度为1.5米，飞行的水平距离为4米．且
∴设该抛物线的函数表达式，
把代入，
∴，
解得，
∴；
（2）∵测得米，，米，且紧贴木板的矩形厚木板表示城墙，
∴轴，（米），
∴，
把代入，
得出，
设，
∵石块越过了城墙后落地，且紧贴木板的矩形厚木板表示城墙，
∴米，则，
∴把代入，
得，
∴，
解得或者（舍去），
∴在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度的取值范围为；
（3）∵该木板的水平宽度（米，竖直高度米），
∴，
设线段的解析式为，
把代入，
得，
∴，
∴线段的解析式为，
∵在上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木杆用于瞄准，
设这支木杆的长度为，
如图：设木杆的顶端为W，
∴，其中，
设抛物线到点W的距离为，
则，
∵，开口向下，
∴取大值，
∵，
∴把代入，
得出，此时这支木杆有最大长度，即有最大值，
即．
23. 综合与实践
问题背景：
在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，O是和的中点，将绕点O顺时针旋转．
猜想证明：
（1）如图①，在旋转的过程中，当点E恰好在的延长线上时，交于点H，试判断的形状，并说明理由；
（2）如图②，在旋转的过程中，当点E恰好落在边上时，连接，试猜想线段与线段的数量关系，并加以证明；
（3）如图③，若，连接，设所在直线与所在直线交于点M，在旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时的长．
【答案】（1）为等腰三角形，理由见详解
（2），证明见详解
（3）1或2
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质以及外角定理得到，则，即可求证；
（2）连接，证明，则，即；
（3）如图①，当点在同一直线上，连接，先证明 ，继而得到，则，则，可得，故，即可求解；如图②，当点O为中点时，，在中，由勾股定理得，则，而此时三点共线，故点B和点E重合，由点M是直线与直线的交点，得到三点重合，故此时的长为的长．
【小问1详解】
解：为等腰三角形，
理由：∵为等边三角形，
∴，，
∵O是的中点
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
【小问2详解】
解：，
证明如下：连接，
∵均是等边三角形，
∴，
∵点O为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：情况一，
如图①，当点在同一直线上，连接，
∵点O为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点M为的中点，点O为中点，
∴，
∴，
即，
解得：；
情况二：∵为等边三角形，
∴，
∵点O为中点，，
∴，，
如图②，当点O为中点时，，
∵等边边长为2，
∴在中，，
∴，
∵此时三点共线，
∴点B和点E重合，
又∵点M是直线与直线的交点，
∴三点重合，
∴此时的长为的长，
即，
综上所述，此时长为1或2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键．型号
统计量
平均数
中位数
众数
A型
500.1
a
502
B型
500.4
500.5
b