2024年湖南省长沙市湘珺未来中考全真模拟数学试题（解析版）

这是一份2024年湖南省长沙市湘珺未来中考全真模拟数学试题（解析版），共24页。

1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共三道大题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键；
根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可．
【详解】解：
的倒数是，
故选：C．
2. 中国城市轨道交通持续稳步发展，线网规模和客流规模继续稳居全球第一，下列城市轨道交通标志是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义．根据定义对图形一一比较，即可选出本题答案．
【详解】解：A．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意；
B．是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；
C．既是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意；
D．不是中心对称图但是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式，根据相关运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A，，计算错误；
B，，计算错误；
C，，计算正确；
D，，计算错误；
故选C．
4. 正六边形的一个内角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】多边形的内角和可以表示成(6-2)•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，可设这个正六边形的每一个内角的度数为x，故又可表示成6x，列方程可求解．
【详解】解：设这个正六边形的每一个内角的度数为x，
则6x=(6-2)•180°，
解得x=120°．
故这个正六边形的每一个内角的度数为120°．
故选：B．
【点睛】本题考查了根据多边形的内角和计算公式求多边形的内角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
5. 根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求数据15000000000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】数据150 0000 0000用科学记数法表示为1.5×1010．
故选C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6. 如图，直线，则度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根据平行线的性质求角的度数，根据“两直线平行，同位角相等”可得，进而求出，最后根据即可求解．
【详解】解：如图，
∵直线，
，
，
，
，
故选：A．
7. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别解出不等式组中的每一个不等式，再根据求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”即得出其解集．最后在数轴上表示即可．
【详解】解不等式2x-1≥5，得：x≥3，
解不等式8-4x＜0，得：x＞2，
∴不等式组的解集为x≥3，
在数轴上表示为：
故选C．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．掌握求不等式组解集的口诀是解题关键．
8. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式，顶点坐标是，对称轴是已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
【详解】解：是抛物线的顶点式，
根据顶点式坐标特点可知，顶点坐标为．
故选A．
【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，关键是要牢记抛物线的顶点式的特点．
9. 如图，已知在中，半径垂直于弦，，，那么（ ）
A. 12B. C. 13D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．根据垂径定理得出，设设，则，，再利用勾股定理求解，即可解题．
【详解】解：半径垂直于弦，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
．
故选：C．
10. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，刹车距离与时间的关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（ ）．
A. 13B. 14C. 15D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意，熟练对函数式变形，从而取得最值．由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴当时，s最大．
∴后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用提公因式法提出公因式xy，再利用平方差公式法进行变形即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法（平方差公式）进行的因式分解的知识，解决本题的关键是牢记因式分解的特点和基本步骤，分解的结果是几个整式的积的形式，结果应分解到不能再分解为止，即分解要彻底，本题易错点是很多学生提公因式后以为分解就结束了，因此要对结果进行检查．
12. 方程的解为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程化为整式，然后计算即可，正确计算是解题的关键．
【详解】解：，
各项同乘可得：，
去括号可得：，
解得：，
经验证，是该方程的解，
故答案为：．
13. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求关于轴对称的点的坐标，根据关于轴对称点的坐标特点“横坐标不变，纵坐标互为相反数”，得出答案即可，熟练掌握关于轴对称点的坐标特点是解题的关键．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
14. 如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为_______．
【答案】13
【解析】
【详解】解：DE是AB垂直平分线，
所以EA=EB，
所以△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，
故答案为：13．
15. 某校为开展“阳光体育”活动，组织调查了该校50名学生各自最喜爱的一项体育活动，制成了如图所示的扇形统计图．全校共有3000名学生，估计该学校选择篮球的学生有________名．
【答案】300
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图、用样本估计整体等知识点，掌握用样本估计整体成为解题的关键．
用篮球占扇形统计图的百分数乘以总人数即可．
【详解】解：（名），
故答案为：300．
16. 如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则图中阴影部分的面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形面积公式、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质等，先证明是等边三角形，根据求出半径，进而利用勾股定理求出，再根据即可求解．
【详解】解：如图，连接，
，，
，，即，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，先计算负整数次幂、特殊角三角函数、绝对值、立方根，再进行加减运算．
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，约分化简，最后将代入求值即可．
【详解】解：
，
将代入，得：
原式．
19. 如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，
【答案】（1）30°；（2）9m．
【解析】
【分析】（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
【详解】解：延长PQ交直线AB于点E，
（1）∠BPQ=90°-60°=30°；
（2）设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE=PE=x米，
∵AB=AE-BE=6米，
则x-x=6，
解得：x=9+3．
则BE=（3+3）米．
在直角△BEQ中，QE=BE=（3+3）=（3+）米．
∴PQ=PE-QE=9+3-（3+）=6+2≈9（米）．
答：电线杆PQ的高度约9米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
20. 为了培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习潜能，学校准备开展“爱数学、用数学”夏令营活动．学校对各班参加夏令营的学生人数情况进行了统计．已知全校共1000名学生，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图：
（1）该校一共有_____形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是_____；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选两名学生参加活动总结会，请用列表或画树状图的方法求所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率
【答案】（1）20，
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，求扇形统计图圆心角度数，补全条形统计图，画树状图求概率等．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）利用有4名学生参加夏令营的班级个数除以其所占比，再利用乘以参加夏令营的学生人数为5名的班级所占比，即可解题；
（2）利用总数算出参加夏令营的学生人数为2名的班级个数，根据数据补全条形统计图即可；
（3）把参加夏令营的学生人数为2名的一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D，根据题意画出树状图，得到共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，最后利用概率公式求解，即可解题．
【小问1详解】
解：该校一共有的班级个数为：（个），
在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是： ，
故答案为：20，；
【小问2详解】
解：参加夏令营的学生人数为2名的班级个数为：（个），
将条形统计图补充完整如下：
【小问3详解】
解：把参加夏令营的学生人数为2名的一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，
所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率为．
21. 如图，在和中，，，，且点D在线段上
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
（1）由可得，再结合，即可解题；
（2）根据，，可得，从而求得的值，再根据可得到，从而求得的度数．
【小问1详解】
证明：，
，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：，，
和均为等腰直角三角形，
，
，
，
由（1）可知：，
，
．
22. 年月日是第个“世界野生动植物日”，某中学组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿者活动．学校准备为同学们购进两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫贵元，购进件款文化衫和件款文化衫共需要元．
（1）求款文化衫和款文化衫每件各多少元；
（2）已知一共需购进件文化衫，在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，款七折优惠，款每件让利元，学校计划文化衫费用不超过元且款文化衫不少于款文化衫数量的一半，请你帮学校确定购买方案．
【答案】（1）款文化衫每件元，款文化衫每件元；
（2）购进款文化衫件，款文化衫件．
【解析】
【分析】（）设款文化衫每件元，款文化衫每件元，根据题意，列出二元一次方程组解答即可求解；
（）设购进款文化衫件，则购进款文化衫件，根据题意，列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意，正确 列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键．
【小问1详解】
解：设款文化衫每件元，款文化衫每件元，
由题意得，，
解得，
答：款文化衫每件元，款文化衫每件元；
【小问2详解】
解：设购进款文化衫件，则购进款文化衫件，
由题意得，，
解得，
∴，
∴，
答：购进款文化衫件，款文化衫件．
23. 如图，已知四边形和四边形为正方形，点E在线段上，D，G在同一直线上，且，，连接，，并延长交于点H．
（1）求证：．
（2）求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用正方形性质证明，得到，结合三角形内角和（“8”字形）得到，即可证明；
（2）利用勾股定理和全等三角形性质得到，最后利用等面积法即可求得．
【小问1详解】
解：四边形和四边形为正方形，
在和中，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
，，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形性质，三角形内角和定理，勾股定理，全等三角形性质和判定，等面积法，熟练掌握相关性质是解题的关键．
24. 如图，过圆外一点P作圆O的切线交圆与A，在圆上一点B（不与A重合），，点D在优弧上运动，连接与圆的另一个交点为C．
（1）证明：是圆O的切线；
（2）若点D是优弧的中点，且，求；
（3）记，，求y关于x的解析式．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，由切线的定义可得．证明，推出，即可证明是圆O的切线；
（2）先证垂直平分，经过圆心，通过证明得出，通过证明得出，设，，利用勾股定理解可得，进而解出，最后根据可得答案；
（3）由得出，由得出，进而可得，即，推出，再证，推出，结合，可得．
【小问1详解】
证明：连接，如图，
∵为圆O的切线，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵为圆O的半径，
∴是圆O的切线；
【小问2详解】
解：∵D是优弧的中点，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，且经过圆心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
如图，连接，
∵是圆O的切线
∴，
∵经过圆心，即为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
设，，
∴，，
∵，
∴在中，，
即，
整理得，
两边同时除以得：，
解得(负值舍去），
∴．
【小问3详解】
解：由（2）知，
∴，
同理可证，
∴，
，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即y关于x的解析式是．
【点睛】本题考查属于圆的综合题，考查切线的性质与判定，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，解一元二次方程等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是利用圆的性质找出相似三角形．
25. 我们称关于x的二次函数为一次函数和反比例函数的“共同体”函数．一次函数和反比例函数的交点称为二次函数的“共赢点”．
（1）二次函数是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”；
（2）已知二次函数与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且，求a的值；
（3）若一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，其中实数，．令，求L的取值范围．
【答案】（1）二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，“共赢点”是，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“共同体”函数和“共赢点”的定义即可求解；
（2）对于二次函数，令，则，得到交点M，N的横坐标满足，，根据两点间距离公式有．二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，由得，则两个“共赢点”A，B的横坐标满足，，纵坐标满足，，根据两点间距离公式有，由，即可求出a的值；
（3）由，得到，，，，从而，由题意可得，，从而，根据二次函数的增减性并结合，可求出L的取值范围．
【小问1详解】
根据题意，二次函数中，，，，
∴二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，
解方程组得，，
经检验，，都是方程组的解，
∴一次函数与反比例函数图象的交点为，，
即二次函数的“共赢点”是，；
【小问2详解】
∵二次函数与x轴的交点为M，N，
∴令，则，
∴交点M，N的横坐标满足，，
∴，
∵二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，有A，B两个“共赢点”，
∴由得，
∴，
∴A，B两个“共赢点”的横坐标满足，，
纵坐标，，
∴，
，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵二次函数与x轴有两个交点M，N，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
∵，，
∴，，，，
∴，
∵一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，
∴，是方程，即的两个根，
∴，，
∵
，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，两点间距离公式，完全平方公式的应用．熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．