广东省惠州市惠城区培英学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

这是一份广东省惠州市惠城区培英学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．，，D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．若甲、乙、丙、丁四位同学在八年级第二学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分，方差分别为，，，，则成绩最稳定的同学是（ ）
A．丁B．丙C．乙D．甲
5．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则该函数的表达式为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形B．当时，它是菱形
C．当时，它是正方形D．当时，它是矩形
7．若，则的值等于（ ）
A．4B．C．2D．
8．如图，一个工人拿一个2．5米长的梯子，底端放在距离墙根点0.7米处，另一头点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ）
A．0.4B．0.6C．0.7D．0.8
9．“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”．在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个，则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，菱形中，，，点，分别在边，上，将沿翻折得到，若点恰好为边的中点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．若最简二次根式与是同类二次根式，则________．
12．如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度，则的取值范围是________．
13．已知一组数据：0，2，，4，5的众数是4，那么这组数据的中位数是________．
14．已知，则________．
15．在平面直角坐标系中，直线向左平移2个单位长度得到直线，那么直线与轴的交点坐标是________．
16．如图，在矩形中，，点和点分别从点和点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点和点的速度分别为和，则最快________后，四边形成为矩形．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题7分）
计算：
（1）；
（2）．
18．（本小题7分）
在一次大学生一年级新生训练射击训练中，某小组的成绩如表：
（1）该小组射击数据的众数是________，中位数是________；
（2）求该小组的平均成绩；
（3）若8环（含8环）以上为优秀射手，在1200名新生中有多少人可以评为优秀射手？
19．（本小题7分）
如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．
20．（本小题9分）
如图，在中，于，于，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
21．（本小题9分）
如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交轴于点，交轴于点．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求的面积．
22．（本小题9分）
已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求的值．
23．（本小题12分）
细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
，；，；⋯
，；⋯
（1）请用含有（为正整数）的等式表示上述变化规律：________，________．
（2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
（3）求出的值．
24．（本小题12分）
综合与实践
综合与实践课上，老师带领同学们以“正方形和矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：将正方形纸片依次沿对角线、对折，把纸片展平，折痕的交点为；
操作二：在上取一点，在上取一点，沿折叠，使点落在点处，然后延长交于点，连接．
如图1是经过以上两次操作后得到的图形，则线段和的数量关系是________．
（2）迁移思考
图2是把矩形纸片按照（1）中的操作一和操作二得到的图形．请判断，，三条线段之间有什么数量关系？并仅就图2证明你的判断．
（3）拓展探索
图2中，若点是边的三等分点，直接写出的值．
答案和解析
1．【答案】B
【解析】解：A、∵，∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、设，则，，
∵，∴，解得，
∴，∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵，，∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
2．【答案】D
【解析】解：A．与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．，所以B选项不符合题意；
C．，所以C选项不符合题意；
D．，所以D选项符合题意．
故选：D．
利用二次根式的减法运算对A选项进行判断；利用二次根式的加法运算对B选项进行判断；利用二次根式的乘法法则对C选项进行判断；利用二次根式的除法法则对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
3．【答案】B
【解析】解：当时，方程不是一元二次方程，，
整理得：，是一元一次方程，不是一元二次方程，
是分式方程，不是一元二次方程，
所以一元二次方程有，，共2个，
故选：B．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
4．【答案】B
【解析】解：∵，，，，
∴，∴成绩最稳定的同学是丙．
故选：B．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则它与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5．【答案】B
【解析】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
∴，解得，
∴该函数的表达式为，
故选：B．
根据一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，列方程组计算即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是关键．
6．【答案】C
【解析】解：A、∵四边形是平行四边形，又∵，
∴平行四边形是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，又∵，
∴平行四边形是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，又∵，
∴平行四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，又∵，
∴平行四边形是矩形，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据菱形、矩形、正方形的判定逐个判断即可．
本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键．
7．【答案】C
【解析】解：原方程化为，合并，得
，即，．故选C．
方程左边化成最简二次根式，再解方程．
同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
解无理方程，需要方程两边平方，注意检验算术平方根的结果为非负数．
8．【答案】D
【解析】解：∵米，米，∴（米），
∵梯子的顶部下滑0.4米，∴米，∴米，
∴米．
∴梯子的底部向外滑出（米）．
故选：D．
首先在直角三角形中计算出长，再由题意可得长，再次在直角三角形中计算出长，从而可得的长度．
此题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
9．【答案】C
【解析】解：∵凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠，
∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个，
则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是：
，
故选：C．
根据已知表示出买个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可．
此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键．
10．【答案】B
【解析】解：连接、，如图：
∵四边形是菱形，∴，，
∴是等边三角形，∵点恰好为边的中点，∴，
在中，，，
设，则，
∵沿翻折得到，∴，
∵四边形是菱形，∴，∴，
在中，，∴，解得，
故选：B．
连接、，根据四边形是菱形，可得，，是等边三角形，又点恰好为边的中点，得，在中，，
，设，则在中，有，即可解得．
本题考查菱形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题．
11．【答案】5
【解析】解：由题意得：，解得：或，
当是不满足为最简二次根式，故舍去．
故答案为：5．
根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于的方程，解出即可．
本题考查同类二次根式的知识，难度不大，注意求出之后检验是否满足题意．
12．【答案】
【解析】解：当牙刷与杯底垂直时最大，最大．
当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时最小，
如图，此时，，
则．∴的取值范围是．
故答案为：．
根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．
13．【答案】4
【解析】解：∵数据0，2，，4，5的众数是4，
∴，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：0，2，4，4，5，
则中位数为：4．
故答案为：4．
根据众数为4，可得，然后把这组数据按照从小到大的顺序排列，找出中位数．
本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇
数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
14．【答案】11
【解析】解：∵，
∴
．
故答案为：11．
根据分母有理化得，再利用完全平方公式得，代入计算即可．
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化的方法是关键．
15．【答案】
【解析】解：∵直线向左平移2个单位长度得到直线，
∴直线的解析式为，
∵当时，，解得，
∴直线与轴的交点坐标是．
故答案为：．
首先求出直线的解析式为，然后再计算出当时，的值，进而可得直线与轴的交点坐标．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，关键是掌握直线向左平移个单位，则解析式为．
16．【答案】4
【解析】【分析】
本题考查了矩形的判定与性质，有一个角是直角的平行四边形是矩形．根据矩形的性质，可得与的关系，根据矩形的判定定理，可得，构建一元一次方程，可得答案．
【解答】解：设最快秒，四边形成为矩形，由得．
解得，
故答案为4．
17．【答案】解：（1）原式，
；
（2）
．
【解析】（1）先化简二次根式，后合并同类项即可；
（2）直接根据完全平方公式展开计算．
本题考查了负整数指数幂，零指数和实数的混合运算，掌握相应的运算法则是关键．
18．【答案】77
【解析】解：（1）∵射击7环数的人数有5个，人数最多，∴该小组射击数据的众数是7；
共10人，中位数为第5和第6人的平均数，即，
故答案为：7，7；
（2）该小组的平均成绩为：（环）；
（3）根据题意得：（名），
答：在1200名新生中有480名可以评为优秀射手．
（1）根据众数和中位数的定义即可得出答案；
（2）根据平均数的计算公式进行计算即可；
（3）用1200乘以优秀选手所占的百分比即可得出答案．
此题考查了众数、平均数和用样本估计总体，掌握众数的定义、用样本估计总体和平均数的计算公式是本题的关键．
19．【答案】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
∵，，∴，∴，即；
∴四边形的面积，
，
，
．
【解析】（1）根据勾股定理求出，求出，再根据勾股定理的逆定理得出；求出和的面积，相加即可得出答案．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识点，能求出是解此题的关键．
20．【答案】（1）证明：在平行四边形中，，
又，∴，
∵，．∴，
在和中，，
∴；
（2）解：在中，，，，
∵，∴．
【解析】（1）利用平行四边形的性质得出，，进而利用全等三角形的判定得出即可；
（2）在中根据，得到，然后根据，求得．
考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，得出是解题关键．
21．【答案】解：（1）把，代入得，
，解得．
所以一次函数解析式为；
（2）把代入得，所以点坐标为，
所以的面积
．
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积．解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式．
（1）先把点和点的坐标代入得到关于、的方程组，解方程组得到、的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）先确定点坐标，然后根据三角形面积公式利用的面积进行计算．
22．【答案】（1）证明：∵
，
∴方程总有实数根；
（2）解：由题意知，，，
∵，
∴，整理得，
解得或．
【解析】（1）由判别式，可得答案；
（2）根据根与系数的关系知，，由进行变形直接代入得到，求解可得．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．
23．【答案】；
【解析】解：（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：，，，所以．故：答案为与
（2）当时，有：，解之得：
即：说明它是第32个三角形．
（3）
即：的值为12.5
（1）由勾股定理及直角三角形的面积求解（2）利用（1）的规律代入求出即可．（3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可．
本题考查了勾股定理以及二次根式的应用，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系．
24．【答案】解：（1）．
（2），，三条线段之间的数量关系是：．
证明如下：
∵四边形为矩形，点为对角线，的交点，
∴，，，
∴，
在和中，，
∴，∴，，
由折叠的性质得：，
即：，∴为的垂直平分线，∴，
在中，由勾股定理得：，即：．
（3）或．
【解析】【分析】
本题主要考查了图形的翻折变换及性质，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形的翻折变换及性质．
（1）线段和的数量关系是：．先证和全等得，再由折叠的性质得，据此得为的垂直平分线，进而可得出结论；
（2），，三条线段之间的数量关系是：．先证和全等得，，由折叠的性质得，据此得为的垂直平分线，则，然后在中由勾股定理可得出结论；
（3）的值为或．①当时，设，，则，由（2）可知：，再过点作于点，则，然后可用，表示出的面积和四边形的面积，进而可得出结论；②当时，设，，同理可用，表示出的面积和四边形的面积，进而可得出结论．
【解答】解：（1）线段和的数量关系是：．
理由如下：
∵四边形为正方形，点为对角线，的交点，
∴，，，
在和中，，
∴，∴，
由折叠的性质得：，
即：，∴为的垂直平分线，∴．
（2）见答案．（3）的值为或．
理由如下：
∵点为边的三等分点，∴有以下两种情况，
①当时，
设，，∴，∴，
由（2）可知：，
过点作于点，
则为的中位线，∴，
∴，，
∴．
（2）当时，
设，，∴，∴，
过点作于点，
同理得：，
∴，，
∴．环数
6
7
8
9
人数
1
5
3
1