2023-2024学年广东省汕头市高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省汕头市高一（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={1,2,3,4,5,6}，B={x|y= x−3|x|−5}，则A∩B=( )
A. {4,6}B. {3,4,6}C. {4,5,6}D. {3,4,5,6}
2.已知一组数据x1，x2，⋯xn的平均数为x−，方差为s2，则数据4x1−3，4x2−3，⋯，4xn−3的平均数和方差分别为( )
A. 4x−−3,4s2−3B. 4x−,16s2−9C. 4x−−3,16s2−9D. 4x−−3,16s2
3.当1A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是( )
A. 若m//α，n//α，则m//n
B. 若m⊂α，m//β，n⊂β，n//α，则α//β
C. 若α⊥β，α∩β=m，n//α，m⊥n，则n⊥β
D. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
5.已知平面内两个粒子A，B从同一发射源C(1,2)射出，在某一时刻，它们的位置分别为A(3,3)，B(2,4)，相应的位移分别为sA,sB，则sA在sB上的投影向量为( )
A. (4 55,8 55)B. (45,85)C. (95,185)D. (4,8)
6.已知α∈(π2,π),β∈(−π2,0),sinα=1213,cs(α+β)=34，则sinβ等于( )
A. −5 7−3652B. 5 7−3652C. −15−12 752D. 15−12 752
7.已知p：f(x)=2(4x+4−x)+(1−6a)⋅(2x−2−x)−3a−4在(−∞,0)有两个零点，q：a<0，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，AP⋅AQ=2|PQ|，则1AP+ 2AQ的最大值为( )
A. 1 B. 52
C. 3 24 D. 3 22
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，设事件A={1,2,7,8}，事件B=“得到的点数为偶数”，事件C=“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是( )
A. 事件B与C互斥B. P(A∪B)=34
C. 事件A与C相互独立D. P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
10.已知函数f(x)=2sin(x+π3)csx，则( )
A. f(x)的最小正周期为π
B. 不等式f(x)≥0的解集为{x|kπ−π3≤x≤kπ+π2,k∈Z}
C. f(x)在区间(π4,3π4)上单调递减
D. 为了得到函数f(x)的图象，只要把函数y=sin2x曲线上所有的点向左平移π3个单位长度，再向上平移 32个单位长度
11.已知y=g(x+2)−1为定义在R上的奇函数，当x∈[2,+∞)时，g(x)=lg 2x−1；将函数f(x)=4sinπx+1和g(x)图象的所有交点从左到右依次记为A1，A2，⋯，An，则( )
A. y=g(x)的图象关于点(2,1)对称
B. 当x1，x2∈(−∞,2]时，g(x1+x22)≥g(x1)+g(x2)2
C. g(lg53)D. 若P点坐标为(0,2)，则|PA1+PA2+⋯+PAn|=11 5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知x是方程x2−2x+5=0在复数范围内的根，则|x|= ______．
13.将一个底面边长为2cm，高为 3cm的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为______cm2．
14.始建于1880年的表角灯塔位于汕头港达濠半岛广澳角，既是粤东沿海干线的重要灯塔，又是进出汕头港外航道的重要助航标志，其射程24海里(射程：在晴天黑夜，观测者能够看到灯塔灯光的最大距离).一艘船以16海里/小时的速度航行，到某点时测得表角灯塔在其西南方向32海里，随后向正南方向航行，在同一气象能见度条件下，大约______min后，这艘船上的船员就能看到灯塔的灯光，并持续时间______min(结果都精确到1min，参考数据： 2≈1.414).
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在等边△ABC中，AB=3，点O在边BC上，且OC=2BO.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N．
(1)设AB=a,AC=b，试用a,b表示BC,AO；
(2)求cs〈OA,OC〉；
(3)设AB=mAM,AC=nAN，求2m+n的值和1m+1n的最小值．
16.(本小题15分)
某中学的学生在劳动实践项目中培育一种植物，现在这批植物中随机抽测了部分植株的高度(单位：cm)，所得数据统计如图．
(1)求a的值，并估计这批植株高度的平均数和第75百分位数；(第75百分位数的结果保留小数点后两位)；
(2)若从高度在[15,17)和[23,25)的植株中采用样本量按比例分配的分层随机抽样抽取6株样本再从该样本中采用不放回简单随机抽样抽取2株，求抽取的2株植株高度均在[23,25)内的概率．
17.(本小题15分)
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上的点且AC=CB=3，M在线段PA上且AM=2MP，N是BM的中点．
(1)若二面角P−BC−A的大小为45°，求直线BM与平面PAC所成角的正弦值；
(2)线段PC上是否存在点Q，使得NQ//平面ABC？若存在，则求PQQC的值；若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.经过反复试验，喝了一定量的酒后，酒精在人体血液中含量的变化规律如下：一开始含量呈线性增长，当其上升到1.2mg/mL时，会以每小时20%的速度减少(函数模型如图)．
(1)求血液中酒精含量y(单位：mg/mL)关于时间x(单位：小时)的函数解析式；
(2)某驾驶员在喝了同等量的酒后，至少要经过几个小时才能合法驾驶？(结果取整数)．
(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
19.(本小题17分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且ccsA+ 3csinA−b−a=0，c=1．
(1)求角C；
(2)若△ABC外接圆的圆心为O，P为圆O上的一动点，求PA⋅PB的取值范围；
(3)若△ABC的面积S∈(0, 38),D为AB边上一点且总存在λ>0使得CD=λ(CA|CA|+CB|CB|)成立，求线段CD长度的取值范围．
答案解析
1.B
【解析】对于y= x−3|x|−5，则x−3≥0|x|−5≠0，解得x≥3且x≠5，
所以B={x|y= x−3|x|−5}=[3,5)∪(5,+∞),
又因为A={1,2,3,4,5,6}，所以A∩B={3,4,6}．
故选：B．
首先求出集合B，再根据交集的定义计算可得．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.D
【解析】解：因为一组数据x1，x2，⋯xn的平均数为x−，方差为s2，
则数据4x1−3，4x2−3，⋯，4xn−3的平均数为4x−−3，方差为42×s2=16s2．
故选：D．
根据期望、方差的性质计算可得．
本题主要考查期望、方差的性质，属于基础题．
3.A
【解析】解：∵k(−2+i)+(4−i)=−2k+4+(k−1)i，且1∴−2k+4>0，k−1>0，
则复数k(−2+i)+(4−i)在复平面上对应的点为(−2k+4,k−1)，位于第一象限．
故选：A．
先化简复数，再根据参数范围分别判断实部和虚部范围进而判断点的象限即可．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
4.C
【解析】解：若m//α，n//α，则m//n或m与n相交或m与n异面，故A错误；
若m⊂α，m//β，n⊂β，n//α，则α/​/β或α与β相交，故B错误；
若α⊥β，α∩β=m，由n//α，可得α内存在直线l与n平行，而m⊥n，则l⊥n，
可得l⊥β，则n⊥β，故C正确；
若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α//β或α与β相交，相交也不一定垂直，故D错误．
故选：C．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
5.B
【解析】解：由题意得：SA=(2,1)，SB=(1,2)，
所以cs=SA⋅SB|SA||SB|=45，则SA在SB上的投影向量为|SA|cs⋅SB|SB|= 5×45×(1,2) 5=(45,85)．
故选：B．
直接利用向量的坐标运算求出向量的投影向量．
本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的投影向量，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
6.A
【解析】解：因为α∈(π2,π)，β∈(−π2,0)，sinα=1213，cs(α+β)=34，
所以α+β∈(0,π)，
所以csα=− 1−sin2α=−513，sin(α+β)= 1−cs2(α+β)= 74，
所以sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα
= 74×(−513)−34×1213=−5 7−3652．
故选：A．
首先利用平方关系求出csα，sin(α+β)，再由sinβ=sin[(α+β)−α]及两角差的正弦公式计算可得．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，考查运算求解能力，属于中档题．
7.A
【解析】解：令t=2x−2−x，易知t为单调递增函数，
所以当x∈(−∞,0)时，t∈(−∞,0)，
所以命题p即为：y=2t2+(1−6a)t−3a在t∈(−∞,0)有两个零点，
所以Δ=(1−6a)2+24a>0t1+t2=6a−12<0t1t2=−3a2>0，解得a<0且a≠−16，
又因为命题q：a<0，
所以p是q的充分不必要条件．
故选：A．
令t=2x−2−x，则命题p即为：y=2t2+(1−6a)t−3a在t∈(−∞,0)有两个零点，从而可得a的取值范围，即可得答案．
本题考查了换元法的应用、二次函数根的分布，属于中档题．
8.B
【解析】解：因为AP⋅AQ=2|PQ|，
所以AP⋅AQ=(AB+BP)⋅(AD+DQ)=2|DQ|+2|BP|=2|PQ|，
即DQ+BP=PQ，
延长QD到E，使DE=BP，
因为AB=AD，∠ABP=∠ADE=90°，
所以△ABP≌△ADE，
所以AP=AE，∠BAP=∠DAE，
因为∠BAP+∠PAD=90°，所以∠DAE+∠PAD=90°，即∠PAE=90°，
因为AQ=AQ，AE=AP，QE=QP，所以△QAP≌△QAE，
所以∠QAP=∠QAE=12∠PAE=45°，
设∠QAD=α，∠BAP=β，
则1AP+ 2AQ=csβ2+ 2csα2=cs(π4−α)2+ 2csα2
=csπ4csα+sinπ4sinα+ 2csα2
=3 22csα+ 22sinα2
= 5sin(α+θ)2，其中sinθ=3 10，csθ=1 10，
因为α∈(0,π4)，θ∈(π4,π2)，
所以当α+θ=π2时，1AP+ 2AQ取得最大值为 52．
故选：B．
由AP⋅AQ=2|PQ|得DQ+BP=PQ，从而可得∠QAP=π4，设∠QAD=α，∠BAP=β，表示出1AP+ 2AQ化简变形后可求出其最大值．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角函数求值问题，是中档题．
9.BCD
【解析】解：根据题意，事件A={1,2,7,8}，P(A)=48=12，
B={2,4,6,8}，P(B)=48=12，
C={2,3,5,7}，P(C)=48=12，
依次分析选项：
对于A，BC={2}，事件B、C不互斥，A错误；
对于B，A∪B={1,2,4,6,7,8}，则P(A∪B)=68=34，B正确；
对于C，AC={2,7}，P(AC)=28=14，P(AC)=P(A)P(C)，事件A与C相互独立，C正确；
对于D，ABC={2}，P(ABC)=18，P(A)=P(B)=P(C)=12，则有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，D正确．
故选：BCD．
根据题意，由古典概型公式求出P(A)、P(B)和P(C)，由此分析选项，综合可得答案．
本题考查相互独立事件、互斥事件的判断，涉及古典概型的计算，属于基础题．
10.AB
【解析】解：f(x)=2sin(x+π3)csx=2(sinx×12+csx× 32)csx=sinxcsx+ 3cs2x=12sin2x+ 32(1+cs2x)=sin(2x+π3)+ 32，
对于A.最小正周期为π，正确；
对于B．sin(2x+π3)+ 32≥0，即sin(2x+π3)≥− 32，2kπ−π3≤2x+π3≤2kπ+4π3，所以解集为{x|kπ−π3≤x≤π+π2,k∈Z}，正确；
对于C.因为x∈(π4,3π4)，即2x+π3∈(π2+π3,3π2+π3),2x+π3∈(5π6,11π6)，f(x)在该区间不单调递减，错误；
对于D.为了得到函数f(x)的图象，只要把函数y=sin2x上所有的点向左平移π6个单位长度，再向上平移 32个单位长度，错误．
故选：AB．
先应用两角和差及辅助角公式化简解析式，再结合周期判断A，再解三角不等式判断B，整体代换判断单调性判断C，根据三角函数图像平移判断D即可
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
11.ACD
【解析】解：选项A，因为y=g(x+2)−1为定义在R上的奇函数，
所以y=g(x+2)−1的图象关于(0,0)对称，
所以g(x)的图象关于(2,1)对称，即选项A正确；
选项B，当x∈[2,+∞)时，g(x)=lg 2x−1，是凸函数，
因为g(x)的图象关于(2,1)对称，
所以函数g(x)在x∈(−∞,2)上是凹函数，
所以当x1，x2∈(−∞,2]时，g(x1+x22)≤g(x1)+g(x2)2，即选项B错误；
选项C，当x∈[2,+∞)时，g(x)=lg 2x−1，是增函数，
因为g(x)的图象关于(2,1)对称，
所以当x∈(−∞,2)时，g(x)也是增函数，
而lg53lg75=lg3⋅lg7(lg5)2<(lg3+lg7)24(lg5)2=14⋅(lg21lg5)2=14⋅(2⋅lg21lg25)2<14⋅4=1，即lg53同理可得lg75所以0所以g(lg53)选项D，由题意知，f(x)=4sinπx+1的图象关于点(2,1)对称，
因为g(x)的图象也关于点(2,1)对称，
在同一坐标系中作出两个函数的图象如下所示，
由图可知，函数f(x)=4sinπx+1和g(x)的图象共有11个交点，且关于点(2,1)对称，即A6(2,1)，
所以PA1+PA11=2PA6，PA2+PA10=2PA6，……，PA5+PA7=2PA6，
所以|PA1+PA2+…+PA11|=|5⋅2PA6+PA6|=11|PA6|=11 (0−2)2+(2−1)2=11 5，即选项D正确．
故选：ACD．
选项A，根据函数的奇偶性，结合函数图象的平移法则，即可得g(x)的对称性；
选项B，根据函数的对称性与凹凸函数的性质，即可作出判断；
选项C，结合函数的单调性与对数的运算性质，求解即可；
选项D，作出两个函数的图象，结合平面向量的线性运算法则，求解即可．
本题考查函数与方程的综合应用，熟练掌握函数的图象与性质，平面向量的线性运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
12. 5
【解析】解：x2−2x+5=0，即(x−1)2=−4，即x=1±2i，
故|x|= 5．
故答案为： 5．
先求出两个根，再结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的模，属于基础题．
13.4π3
【解析】解：由题意可知，当球与正四棱锥的五个面都相切时，球的表面积最大，
因为正四棱锥的底面边长为2cm，高为 3cm
所以正四棱锥的侧面底边上的高为 12+( 3)2=2(cm)，
设球的半径为r，
则正四棱锥的体积为v=13×4× 3=13×(4+12×2×2×4)×r，
解得r= 33(cm)，
所以球的表面积为S=4πr2=4π3(cm2).
故答案为：4π3．
由题意可知，当球与正四棱锥的五个面都相切时，球的表面积最大，根据等体积法求出球的半径，即可求出球的表面积．
本题主要考查了正四棱锥的内切球的表面积，属于中档题．
14.55 60
【解析】解：设船行驶距离为x，由余弦定理得322+x2−242=2×32x⋅cs45°，
解得x1=16 2−8，x2=16 2+8，
由速度16海里/小时，可得行驶的时间t1= 2−12，t2= 2+12，
所以( 2−12)×60≈0.914×60≈55(min)，
[( 2+12)−( 2−12)]×60=60(min)，
即55min后这艘船上的船员就能看到灯塔的灯光，并持续时间60min．
故答案为：55，60．
设船行驶距离为x，利用余弦定理可求出x，即可算出时间．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．
15.解：(1)因为OC=2BO，所以BO=13BC，BC=AC−AB=b−a，
AO=AB+BO=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC=23a+13b；
(2)因为OC=2BO=23BC=23b−23a，AO=23a+13b，
所以OA⋅OC=−(23a+13b)⋅(2b3−2a3)=−29b2−29a⋅b+49a2=−2−1+4=1，
|OA|= (23a+13b)2= 4+2+1= 7，|OC|=2，
所以cs〈OA,OC〉=OA⋅OC|OA||OC|=1 7⋅2= 714；
(3)由题可得：AO=AB+BO=AB+13BC=AB+13(BA+AC)=23AB+13AC=23mAM+13nAN，
因为M，O，N共线，所以23m+13n=1，即2m+n=3，
因为m，n>0，1m+1n=13(1m+1n)(2m+n)=13(3+2mn+nm)≥1+23 2，
当且仅当n= 2m且2m+n=3，即m=3−3 22，n=3 2−3时，1m+1n取到最小值1+23 2．
因此2m+n=3，1m+1n的最小值为1+23 2．
【解析】(1)利用向量的加减法运算得出用a,b表示BC,AO；
(2)利用数量积的定义公式计算cs〈OA,OC〉；
(3)通过向量的表示可得AO=23mAM+13nAN，因为M，O，N共线，得到m，n的等式计算出2m+n，再利用基本不等式计算1m+1n的最小值；
本题考查平面向量的线性运算，基本定理，数量积与夹角，属于中档题．
16.解：(1)根据题意可得(0.05+0.075+a+0.15+0.1)×2=1，∴a=0.125，
估计这批植株高度的平均数为：16×0.1+18×0.15+20×0.25+22×0.3+24×0.2=20.7cm；
估计这批植株高度的第75百分位数为：21+0.75−0.1−0.15−≈22.67cm；
(2)∵高度在[15,17)和[23,25)的比例为0.05：0.1=1：2，
∴在[15,17)和[23,25)中分别抽取2株；4株，
设其分别为a，b；1，2，3，4，
则再从这6株中抽取2株，所得样本空间为：
Ω={(a,b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，其中共有15个样本点，
设事件A=“抽取的2株植株高度均在[23,25)内“，则A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，其中共有6个样本点，
∴抽取的2株植株高度均在[23,25)内的概率为P(A)=615=25．
【解析】(1)根据频率分布直方图的性质，平均数的概念，百分位数的概念，即可求解；
(2)根据分层抽样的概念，古典概型的概率公式，即可求解．
本题考查频率分布直方图的性质，平均数的概念，百分位数的概念，分层抽样的概念，古典概型的概率公式，属中档题．
17.解：(1)∵PA垂直于⊙O所在的平面，又AB是⊙O的直径，
∴BC⊥AC，∴根据三垂线定理可得BC⊥PC，又AC∩PC=C，
∴BC⊥平面PAC，
∴二面角P−BC−A的平面角为∠PCA=45°，且直线BM与平面PAC所成角为∠BMC，
又AC=CB=3，∴PA=3，又AM=2MP，∴AM=2，
∴CM= AM2+AC2= 4+9= 13，∴BM= CM2+CB2= 13+9= 22，
∴cs∠BMC=CBBM=3 22=3 2222，
∴直线BM与平面PAC所成角的正弦值为3 2222；
(2)在线段PC上存在点Q，使得NQ/​/平面ABC，且PQQC=2，理由如下：
取PC的靠近C的三等分点Q，过Q作QE//PA，且QE∩AC=E，
则QE//PA，且QE=13PA，
又N是BM的中点，O为AB中点，∴NO//AM，又AM=2MP，
∴NO//PA，且NO=13PA，
∴QE//NO，且QE=NO，
∴四边形NOEQ为平行四边形，
∴NQ//OE，又NQ⊄平面ABC，OE⊂平面ABC，
∴NQ/​/平面ABC，
故在线段PC上存在点Q，使得NQ/​/平面ABC，且PQQC=2．
【解析】(1)易证BC⊥平面PAC，从而可得二面角P−BC−A的平面角为∠PCA=45°，且直线BM与平面PAC所成角为∠BMC，再解三角形，即可求解；
(2)取PC的靠近C的三等分点Q，过Q作QE//PA，且QE∩AC=E，则易证四边形NOEQ为平行四边形，从而可得NQ//OE，再根据线面平行的判定定理可证明NQ/​/平面ABC，从而得解．
本题考查二面角的概念，线面角的求解，线面平行的证明，化归转化思想，属中档题．
18.解：(1)依题意，得当酒精含量呈直线上升时，设y=kx+b，
∵函数过点(0,0)，(0.25,0.3)，
∴0.3=0.25k+b0=0k+b，
解得k=1.2，b=0，即y=1.2x，
∴当y=1.2时，解得x=1，
又当其上升到1.2mg/mL时，会以每小时20%的速度减少，
∴当x>1时，y=1.2(1−0.2)x−1=1.2×0.8x−1，
∴y=1.2x,0≤x≤11.2×0.8x−1,x>1．
(2)设至少要经过x个小时才能合法驾驶，
根据题意，1.2×0.8x−1<20100，
即0.8x−1<16，即lg0.80．8x−1>lg0.816，
可得x−1>lg0.816，
lg0.816=lg16lg45=−(lg2+lg3)2lg2−(1−lg2)≈−(0.3010+0.4771)2×0.3010−0.6990≈8.02，
∴x>9.02，
∴驾驶员甲至少要经过10个小时才能合法驾驶．
【解析】(1)当0≤x≤1时设y=kx+b，根据函数图象所过点，求出k，b.根据上升到1.2mg/mL时会以每小时20%的速度减少得x>1时的解析式；
(2)设至少要经过x个小时才能合法驾驶，可得1.2×0.8x−1<20100，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得答案．
本题考查函数的实际应用，解题中注意函数性质的应用，属于中档题．
19.解：(1)因为ccsA+ 3csinA−b−a=0，
由正弦定理得sinCcsA+ 3sinCsinA−sinB−sinA=0，
因为B=π−(A+C)，所以sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
所以 3sinCsinA−sinAcsC−sinA=0，
因为A是△ABC的内角，所以sinA≠0，
所以 3sinC−csC=1，
由辅助角公式得：sin(C−π6)=12，即C−π6=π6或5π6，
因为0(2)因为c=1，则由正弦定理，可得△ABC外接圆半径R=c2sinC= 33，
因为圆O为△ABC外接圆，所以∠AOB=2π3，
所以PA⋅PB=(PO+OA)⋅(PO+OB)=PO2+OA⋅OB+PO⋅(OA+OB)
=13+13×(−12)+PO⋅(OA+OB)=16+PO⋅(OA+OB)，
当且仅当PO与OA+OB共线同向时有最大值，
此时PO⋅(OA+OB)=( 33)2=13，
当且仅当PO与OA+OB共线反向时有最小值，
此时PO⋅(OA+OB)=−13，
故PA⋅PB的最大值为16+13=12，PA⋅PB的最小值为16−13=−16，
故PA⋅PB的取值范围是[−16,12]；
(3)设d为线段CD长，由题可知，CD为∠ACB内角平分线，则∠ACD=∠BCD=π6，
由S△ABC=12absinC得，0< 34ab< 38，所以ab∈(0,12)，
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC，即a2+b2−ab=1，
所以a+b= (a+b)2= 3ab+1，
∵S△ABC=12absinC=12adsinπ6+12bdsinπ6=14d(a+b)，
∴d=4×12absinCa+b= 3ab 3ab+1= 3 (1ab+32)2−94，
因为1ab∈(2,+∞)，所以d∈(0, 3010)．
即线段CD长度的取值范围为(0, 3010)．
【解析】(1)先用正弦定理及三角形内角和定理整理化简等式，再利用辅助角公式求解即可；
(2)将PA⋅PB转化为(PO+OA)⋅(PO+OB)计算，不难发现其取值取决于PO⋅(OA+OB)，由平面向量性质可知，共线时取得最值，分别代入PO与OA+OB共线同向时及PO与OA+OB共线反向时两种情况即可得出原式取值范围；
(3)不始设|CD|=d，由CD=λ(CA|CA|+CB|CB|)可知CD为∠ACB内角平分线，通过面积可以列出方程S△ABC=12absinC=12adsinπ6+12bdsinπ6，进一步得出d关于a+b的函数关系式，由△ABC的面积求得ab的取值范围，通过余弦定理得出ab与a+b的关系式，再进行等量代换，最后由二次函数性质即可得出CD的取值范围．
本题考查了解三角形及平面向量数量积计算，考查了转化思想及函数思想，属于中档题．