2024-2025学年山西省晋中市榆次一中高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山西省晋中市榆次一中高二（上）开学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设z=1−i1+i+2i，则|z|=( )
A. 0B. 12C. 1D. 2
2.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A. b+c，b，b−cB. a，a+b，a−b
C. a+b，a−b，cD. a+b，a+b+c，c
3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b−c)csA=acsC，b=2 3，若边BC的中线等于3，则△ABC的面积为( )
A. 9 3B. 9 32C. 3 3D. 3 32
4.河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意.冠部以及冠部下方均可视为正四棱台.已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为1：4，高为2，体积为563，则该“方斗”的侧面积为( )
A. 24
B. 12
C. 24 5
D. 12 5
5.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )
A. 15B. 25C. 12D. 45
6.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°、45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为( )
A. (30+30 3)mB. (30+15 3)mC. (15+30 3)mD. (15+15 3) m
7.已知10个数据：4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，则这组数据第40百分位数是( )
A. 8.5B. 8C. 7.5D. 7
8.已知向量m=(2cs2x, 3)，n=(1,sin2x)，设函数f(x)=m⋅n，则下列关于函数y=f(x)的性质的描述正确的是( )
A. 关于直线x=π12对称B. 关于点(5π12,0)对称
C. 周期为2πD. y=f(x)在(−π3,0)上是增函数
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点M(2,2)和N(5,−2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标( )
A. (1,0)B. (4,0)C. (2,0)D. (6,0)
10.如图，在△ABC中，BC=12，D，E是BC的三等分点，则( )
A. AE=13AB+23AC
B. 若AB⋅AC=0，则AE在AB上的投影向量为23AB
C. 若AB⋅AC=9，则AD⋅AE=40
D. 若AD⋅AE=4,AB2+AC2=88
11.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AB=2，E，F分别为PD，PB的中点，则( )
A. EF⊥平面PAC
B. 四棱锥P−ABCD的外接球的表面积为48π
C. CF与平面ABCD所成角的正弦值为 66
D. 点A到平面EFC的距离为4 1111
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.经过A(0,2)，B(−1,0)两点的直线的方向向量为(1,k)，则实数k的值为______．
13.过两点A(m2+2,m2−3)，B(3−m−m2,2m)的直线L的倾斜角为45°，则m= ______．
14.如图，若斜边长为2 2的等腰直角△A′B′C′(B′与O′重合)是水平
放置的△ABC的直观图，则△ABC的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
利用空间向量知识完成本题．

(1)如图15−1，在长方体ABCD−A1B1C1D1中AB=4，BC=3，CC1=2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P平行于平面ACD1？
(2)如图15−2，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，求证直线A1C垂直于平面BDD1B1．
(3)如图15−3，在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．
①求点B到直线AC1的距离；
②求直线FC到平面AEC1的距离．
16.(本小题15分)
判断下列各对直线是否平行或垂直：
(1)经过A(2,3)，B(−1,0)两点的直线l1，与经过P(1,0)且斜率为1的直线l2；
(2)经过C(3,1)，D(−2,0)两点的直线l3，与经过点M(1,−4)且斜率为−5的直线l4．
(3)试确定m的值，使过A(m,1)，B(−1,m)两点的直线与过P(1,2)，Q(−5,0)两点的直线：
(Ⅰ)平行；
(Ⅱ)垂直．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且csA=13．
(Ⅰ)求sin2B+C2+cs2A的值；
(Ⅱ)若a= 3，求bc的最大值．
18.(本小题17分)
甲乙二人有4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)写出甲乙抽到牌的所有情况．
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？
19.(本小题17分)
如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点．
(1)证明：OA⊥CD；
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E−BC−D的大小为45°，求三棱锥A−BCD的体积．
答案解析
1.C
【解析】解：∵z=1−i1+i+2i，
∴z=(1−i)(1−i)(1−i)(1+i)+2i=−i+2i=i，
则|z|=1．
故选C．
2.C
【解析】解：由空间向量基本定理得：
对于A选项，因为b=12(b+c)+12(b−c)，所以b+c，b，b−c三个向量共面，不符合题意；
对于B选项，因为a=12(a+b)+12(a−b)，所以a，a+b，a−b三个向量共面，不符合题意；
对于C选项，假设a+b，a−b，c共面，则c=xa+b+ya−b=x+ya+x−yb，从而可知a，b，c共面，这与已知矛盾，故a+b，a−b，c不共面，符合题意；
对于D选项，a+b+c=(a+b)+(c)，所以三个向量共面，不符合题意；
故选：C．
3.C
【解析】解：由题意得，(2b−c)csA=acsC，
根据正弦定理得，(2sinB−sinC)csA=sinAcsC，
2sinBcsA=sinAcsC+csAsinC，
2sinBcsA=sin(A+C)，①
因为A+B+C=180°，所以A+C=180°−B，则sinB=sin(A+C)，
代入①得，csA=12，
由0°