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2024年河南省安阳市中考数学二模试卷（含详解）
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这是一份2024年河南省安阳市中考数学二模试卷（含详解），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−2024的绝对值是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.2024年2月26日，我国首个全景式展现商文明的国家重大专题博物馆——殷墟博物馆新馆正式建成开放.殷墟遗址保护区内，新馆和殷墟宫殿宗庙遗址，王陵遗址部分区域面向公众开放，开放区域达40万平方米.数据“40万”用科学记数法表示为( )
A. 4×104B. 4×105C. 4×106D. 4×107
3.甲骨文是汉字的早期形式，最早出土于河南省安阳市殷墟.下列甲骨文经破译，对应的汉字分别为“泉”，“合”，“禾”，“丰”.以下甲骨文中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.化简a+bb2−a−bb2的结果是( )
A. 2aB. 0C. 1bD. 2b
5.若m>3，关于x的一元二次方程x2+mx+1=0根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不确定
6.不等式组2x+6>0x−1≤0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7.根据高考综合改革实施方案，从2022年秋季入学起，河南省高考实行“3+1+2”模式.其中“3”指的是语文、数学、外语三科必考科目，“1”指的是在物理和历史两科中任选一科，“2”指的是在思想政治、地理、生物和化学四科中任选两科.若小明在选定物理的基础上再从思想政治、地理、生物和化学四科中任选两科，则选中地理和化学的概率是( )
A. 14B. 16C. 18D. 110
8.如图，平行于主光轴EF的光线AB和CD经过凸透镜的折射后，折射光线BH，DG交于主光轴EF上一点P.若∠ABH=130°，∠CDG=160°，则∠GPH的度数是( )
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
9.如图，圆O的弦AB的长度为 2，点A，B，C为圆周上三点，若∠C=45°，则圆O半径为( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 3
10.如图1，在△ABC中，CA=CB，点M是线段AB上一动点，从顶点A出发以1cm/s的速度向点B运动，到达点B时停止运动，过点M作直线l垂直AB于点M，交折线A−C−B于点N.设点M移动的时间是x s，△AMN的面积为y cm2，若y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的周长为( )
A. 7cmB. 8cmC. 9cmD. 10cm
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写出一个比 5大且比 17小的整数______．
12.2024年4月21日，安阳马拉松赛燃情开跑.为防止选手个人信息泄露，马拉松参赛选手随身穿戴的计时芯片会把选手参赛号码利用公式加密后上传.某选手参赛号码为1626，如果加密公式为选手参赛号码乘以n再加6，则利用公式加密后上传数据为______．
13.为了考查某种海水稻的长势，从所育稻苗中随机抽取5株，测量这5株稻苗高度所得数据为8，8，9，7，8(单位：cm)，该组数据的方差为______．
14.如图，⊙A的直径为10，⊙B的直径为13，⊙A的圆心恰好在⊙B的圆周上，连接两圆交点所得弦CD的长为______．
15.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，直角边AC的中点为D，点E在斜边上且AE=3，若△ADE为直角三角形，则BC的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：3−27−2−1+|−7+5|；
(2)化简：(3a+b)2−9a(a−b)．
17.(本小题9分)
2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，某学校组织开展主题为“节约用水，爱护资源”的社会实践活动.甲小组同学在A，B两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份的用水量，分别将两个小区的居民用水量x(单位：m3)分为5组，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：
信息一：A小区3月份用水量频数分布表
信息二：A，B两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：
信息三：B小区3月份用水量频数分布直方图
信息四：B小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.4，9.7，9.6，10，10.2，10.4，9.5，9.6，10.6；
根据以上信息，回答问题：
(1)a= ______；
(2)若A小区共有800户居民，B小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数；
(3)请写出一条节约用水的建议．
18.(本小题9分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB(1)请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：作∠ABC的平分线交AD于点E，在线段BC上截取CF，使CF=DE(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)所作的图形中，连接EF，求证：四边形ABFE是菱形．
19.(本小题9分)
如图，菱形OABC的顶点O为坐标原点，点C在y轴上，点A( 2, 2)，点B为反比例函数y=kx(x>0)上一点．
(1)求k的值；
(2)将菱形OABC以点O为旋转中心逆时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴负半轴上，求扇形OCA′圆心角的度数；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
20.(本小题9分)
安阳作为一座会“飞”的城市，未来将努力打造为国内低空经济创新发展基地和无人机应用推广策源地.某校数学社团开展利用无人机测量建筑物高度的实践活动.如图，当无人机飞到位置D时，测得建筑物顶点C和水平地面某点A的俯角∠GDC与∠FDA均为53°，此时无人机垂直高度DE为80m，又测得AB距离为75.9m，试求建筑物BC的高度(结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
21.(本小题9分)
河南是中华文明和黄河文化的发源地之一，其地域广阔，景色奇特.为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包.已知购进4个太阳帽和3个旅行包需要61元，购进7个太阳帽和5个旅行包需要103元．
(1)求每个太阳帽、旅行包的进价；
(2)该景区太阳帽售价为6元，旅行包售价为20元.景区计划购进太阳帽和旅行包共700个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍，景区该如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？
22.(本小题10分)
阅读材料：当平行光线照射到抛物线形状的反射镜面上时，经过反射后能够聚集成一点，即焦点.这种特性使得抛物面反射镜在许多应用中发挥重要作用，例如射电望远镜，雷达天线，远光灯和投影仪等．
如图1，某射电望远镜的天线采用了抛物面的设计，当天线竖直对准天顶时，其主视图可以抽象为图2，天线截面为抛物线的一段，天线中心O为抛物线顶点，天线边缘A，B为抛物线的两端.测得A，B距地面高度为5.35米，天线中心O距地面高度为4米，A，B距离为6米．
(1)如图2，以点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系.求天线截面的抛物线表达式；
(2)距离地面高度4.6米的D，E两个位置安装有支架DF和EF，可恰好将天线接收器固定在抛物面的焦点F处，试求D，E两点之间的水平距离．
23.(本小题10分)
综合与实践课上，老师带领同学们开展以“图形的变化”为主题的数学活动．
(1)观察发现
如图1，将平面直角坐标系中△ABC进行平移后得到△A1B1C1，则线段A1C1与线段AC的位置关系为______，数量关系为______；如图2，将平面直角坐标系中△ABC以点B为旋转中心逆时针旋转90°得到△A1BC1，则线段AC所在直线与线段A1C1所在直线的位置关系为______；
(2)探究迁移
如图3，将平面直角坐标系中△ABC进行平移后得到△A1B1C1，再将△A1B1C1以点B为旋转中心逆时针旋转α(0°<α<90°)得到△A2B1C2，线段A2C2所在直线与线段AC所在直线相交于点P，锐角∠MPA2记为β，请判断α和β的数量关系并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，平面直角坐标系中Rt△ABC，B(1,0)，C(9,0)，∠C=30°，将Rt△ABC在x轴上水平平移得到Rt△A，B，C，平移后以B1为旋转中心将Rt△A1B1C1逆时针旋转60°得到Rt△A2B1C2，线段A2C2所在直线与线段AC所在直线在P点相交，若点B1(m,0)在某个位置可使点P与点A2或点C2重合，请直接写出m的值．
答案解析
1.A
【解析】解：−2024的绝对值是2024．
故选：A．
根据绝对值的意义解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握|a|=a(a>0)0(a=0)−a(a<0)．
2.B
【解析】解：40万=400000=4×105，
故选：B．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.C
【解析】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
C.既不是轴对称图形也不是中心对称图形．故本选项符合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形．故本选项不符合题意．
故选：C．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可．
此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．
4.D
【解析】解：原式=a+b−a+bb2
=2bb2
=2b，
故选：D．
根据分式的加减法运算法则计算即可．
本题考查的是分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
5.A
【解析】解：由题意Δ=m2−4，
当m>3时，Δ>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
判断出判别式的值，可得结论．
本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ<0时，方程无实数根．
6.B
【解析】解：解不等式2x+6>0，得x>−3，
解不等式x−1≤0，得x≤1，
∴不等式组的解集为−3解集在数轴上表示为：
故选：B．
先求解每个不等式的解集，再求得它们的公共部分得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，正确求得不等式组的解集是解答的关键．
7.B
【解析】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中选中地理和化学的结果有：(地理，化学)，(化学，地理)，共2种，
∴选中地理和化学的概率是212=16．
故选：B．
列表可得出所有等可能的结果数以及选中地理和化学的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8.C
【解析】解：∵AB//EF//CD，
∴∠EPB=180°−∠ABP=180°−130°=50°，∠EPD=180°−∠CDP=180°−160°=20°，
∴∠BPD=∠EPB+∠EPD=50°+20°=70°，
∴∠GPH=∠BPD=70°．
故选：C．
先由两直线平行，同旁内角互补得到∠EPB=180°−∠ABP=50°，∠EPD=180°−∠CDP=20°，再根据对顶角的性质求解即可．
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和对顶角的性质是解题的关键．
9.A
【解析】解：∵∠C=45°，
∴∠AOB=2∠C=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵AB= 2，
∴OB=AB⋅sin∠OAB= 2× 22=1．
故选：A．
根据圆周角定理求出∠AOB的度数，根据等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，利用三角函数求出圆O的半径即可．
本题考查圆周角定理等，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质及三角函数是解题的关键．
10.C
【解析】解：当x=2，y=1.5时，点N位于点C处，如图，
∴AM=2，S△AMC=1.5，
∴12AM⋅CM=1.5，
∴MN=1.5，
∴AC= AM2+MN2=52，
∴BC=52，
∵MN⊥AB，
∴BM=AM=2，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=4+52+52=9，
故选：C．
当x=2，y=1.5时，点N位于点C处，求出AM和MN，利用勾股定理求出AC，即BC，根据三线合一定理证明出AM=BM=2，即可求出△ABC的周长．
本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
11.3(答案不唯一)
【解析】解：∵2< 5<3，4< 17<5，
∴所有比 17小且比 5大的整数有3，4，
∴这个整数可以是3，
故答案为：3(答案不唯一)．
先分别求出 5与 17在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案．
本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数的估算的知识，分别求出 5与 17在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键．
12.1626n+6
【解析】解：由题意，利用公式加密后上传数据为1626n+6．
故答案为：1626n+6．
根据“上传数据=选手参赛号码×n+6”列出代数式即可．
本题考查了列代数式，理解题意中的关键字词列出代数式是解决本题的关键．
13.0.4
【解析】解：的平均数为x−=8+8+9+7+85=8，
∴S2=15×[(8−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(7−8)2+(8−8)2]=0.4．
故答案为：0.4．
先计算这组数据的平均数，再计算这组数据的方差即可．
本题考查了方差，掌握方差的计算方法是解决本题的关键．
14.12013
【解析】解：∵弦CD是⊙A和⊙B两圆相交的公共弦，
∴AB⊥CD，
如图，连接AC，BC，
设AM=x，则BM=6.5−x，
由勾股定理得：52−x2=6.52−(6.5−x)2，
解得：x=2513，
∴AM=2513，
由勾股定理得：CM= AC2−AM2= 52−(2513)2=6013，
∵AB⊥CD，
∴CD=2CM=12013，
故答案为：12013．
根据两圆的连心线垂直公共弦可得：AB⊥CD，如图，连接AC，BC，设AM=x，则BM=6.5−x，根据勾股定理可得x的长，计算CM的长可得CD的长．
本题考查了勾股定理，垂径定理，相交两圆的性质，掌握两圆的连心线垂直两圆的公共弦是解本题的关键．
15.3或4
【解析】解：①当∠EDA=90°时，
∵AE=3，∠A=30°，
∴AD=3 32，
∵AC的中点为D，
∴BC=3；
②当∠AED=90°，
∵AE=3，∠A=30°，
∴AD=2 3，
∵Rt△ABC的直角边AC的中点为D，
∴AC=2AD=4 3，
∴BC=4．
故答案为：3或4．
分情况讨论，当∠EDA=90°时，利用中位线的性质即可得到结论，当∠AED=90°时，利用特殊角的锐角三角函数求解，即可得结论．
本题考查锐角三角函数．正确记忆相关知识点是解题关键．
16.解：(1)3−27−2−1+|−7+5|
=−3−12+2
=−32；
(2)(3a+b)2−9a(a−b)
=9a2+6ab+b2−9a2+9ab
=15ab+b2．
【解析】(1)先化简，再算加减即可；
(2)先算完全平方，单项式乘多项式，再合并同类项即可．
本题主要考查实数的运算，完全平方公式，单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17.9.2
【解析】解：(1)将B小区30户居民3月份用水量数据按照从小到大的顺序排列，排在第15和16个的是9，9.4，
∴a=(9+9.4)÷2=9.2．
故答案为：9.2．
(2)样本中，A小区3月份用水量不低于13m3的居民共有3户，B小区3月份用水量不低于13m3的居民共有2户，
800×330+750×230=130(户)，
∴估计两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数约为130户．
(3)建议小区将普通的水龙头更换为节水器(答案不唯一)．
(1)根据中位数的定义可得答案．
(2)根据用样本估计总体，用800乘以样本中A小区3月份用水量不低于13m3的居民户数所占的百分比，再加上750乘以样本中B小区3月份用水量不低于13m3的居民户数所占的百分比，即可得出答案．
(3)答案不唯一，合理即可．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18.(1)解：图形如图所示：
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵DE=CF，
∴AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AE//BF，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴四边形ABFE是菱形．
【解析】(1)根据要求作出图形即可；
(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
本题考查作图−复杂作图，角平分线的定义，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.解：(1)∵点A坐标为( 2, 2)，
∴OA= ( 2)2+( 2)2=2，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB//OC，AB=OA=2，
∴B( 2,2+ 2)，
∵点B为反比例函数y=kx上一点，
∴k= 2×(2+ 2)=2 2+2；
(2)过点A作AH⊥OC于H，
在Rt△AOH中，tan∠AOH=AHOH= 2 2=1，
∴∠AOH=∠AOC=45°，
由旋转的性质得∠A′OC=∠AOC=45°，
∴扇形OCA′圆心角的度数为45°；
(3)∵四边形OABC是菱形，AB=2，AH= 2，
∴菱形OABC的面积=AB⋅AH=2 2，
由旋转的性质得菱形OA′B′C′的面积=菱形OABC的面积=2 2，
∵OB′是菱形OA′B′C′的对角线，
∴△OB′C′的面积=12菱形OA′B′C′的面积= 2，
由(2)知扇形OCA′圆心角的度数为45°，
∴扇形OCA′的面积=45⋅π⋅22360=π2，
∴图中阴影部分面积之和=△OB′C′的面积+扇形OCA′的面积= 2+π2．
【解析】(1)根据勾股定理得到OA= ( 2)2+( 2)2=2，根据菱形的性质得到AB//OC，AB=OA=2，求得B( 2,2+ 2)，于是得到k=2×(2+ 2)=4+2 2；
(2)过点A作AH⊥OC于H，根据三角函数的定义得到∠AOH=∠AOC=45°，由旋转的性质得∠A′OC=∠AOC=45°，于是得到扇形OCA′圆心角的度数为45°；
(3)根据菱形的面积公式得到菱形OABC的面积=AB⋅AH=2 2，由旋转的性质得菱形OA′B′C′的面积=菱形OABC的面积=2 2，根据扇形的面积公式即可得到结论．
本题是反比例函数综合题，考查了勾股定理，菱形的性质，待定系数法求函数的解析式，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关．
20.解：过点C作CM⊥DE于点M，
∴CM=BE，
∵FG⊥DE，
∴∠FDA=∠GDC=53°，
∴∠ADE=∠CDM=37°，
∵DE=80m，
∴在Rt△AED中，AE=DE⋅tan37°≈80×0.75=60(m)，
∴BE=CM=75.9−60=15.9(m)，
在Rt△DCM中，DM=CM⋅tan37°=15.9×0.75≈12(m)．
∴BC=DE−DM=80−12=68(m)．
答：建筑物BC的高度为68米．
【解析】过点C作CM⊥DE于点M，首先求出AE的长度，进而根据AB的长度求出BE的长度，在Rt△DCM中求出DM即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题关键．
21.解：(1)设每个太阳帽的进价是m元，每个旅行包的进价是n元，
根据题意得：4m+3n=617m+5n=103，
解得m=4n=15，
∴每个太阳帽的进价是4元，每个旅行包的进价是15元；
(2)设购进x个太阳帽，所获利润为w元，则购进旅行包(700−x)个，
∵购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍，
∴x≥1.5(700−x)，
解得x≥420，
根据题意得：w=(6−4)x+(20−15)(700−x)=−3x+3500，
∵−3<0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=420时，w取最大值−3×420+3500=2240，
此时700−x=700−420=280，
∴购进420个太阳帽，购进旅行包280个，可使销售所获利润最大，最大利润为2240元．
【解析】(1)设每个太阳帽的进价是m元，每个旅行包的进价是n元，根据购进4个太阳帽和3个旅行包需要61元，购进7个太阳帽和5个旅行包需要103元得：4m+3n=617m+5n=103，即可解得答案；
(2)设购进x个太阳帽，所获利润为w元，由购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍，可得x≥420，而w=(6−4)x+(20−15)(700−x)=−3x+3500，根据二次函数性质可得答案．
本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
22.解：(1)如图，过点A，点B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
由于点A，点B距地面高度为5.35米，天线中心O距地面高度为4米，
∴AM=BN=5.35−4=1.35(米)，
∵点A，B距离为6米．
∴OM=ON=3米，
∴点A(−3,1.35)，点B(3,1.35)，点C(0,0)，
设抛物线的关系式为y=ax2，将点B(3,1.35)代入得，
9a=1.35，
解得a=0.15，
∴抛物线的关系式为y=0.15x2；
(2)如图，过点D，点E分别作x轴的垂线，垂足分别为P，Q，
∵点D，点E距离地面高度为4.6米，
∴EQ=DP=4.6−4=0.6(米)，
当y=0.6时，即0.15x2=0.6，
解得x=2或x=−2，
即OP=OQ=2，
∴PQ=2+2=4，
即D，E两点之间的水平距离为4米．
【解析】(1)根据题意得出点A，点B的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的关系式即可；
(2)根据题意得出点D，点E的纵坐标，再根据抛物线的关系求出其横坐标即可．
本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数的关系式，求出点A，点B的坐标是正确解答的关键．
23.平行 相等 垂直
【解析】解：(1)∵在图1中，△A1 B1C1是由△ABC平移得到的，
∴A1 C1平行且等于AC，
∵在图2中，△A1 BC1是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，
∴∠CBC1=90°，
∵∠A1C1B=∠ACB，
∴∠CPC1=∠CBC1=90°，即AC⊥A1C1，
故答案为：平行，相等，垂直．
(2)α=β.理由如下：
如图，延长C1A1与A2C2所在直线交于点Q，与B1C2交于点D，由三角形平移可知C1Q//CM，
∵C1Q//CM，
∴∠C1QP=∠MPA2=β，
∵△A1 B1C1≌△A2B1C2，
∴∠B1C1A1=∠B1C2A2，
∵∠QDC2和∠B1DC1互为对顶角，
∴∠QDC2=∠B1DC1，
∴∠C1QP=∠DB1C1=α，
∴α=β．
(3)−7或5．
如图a，这是任意情况下的基本图形，题目中要求的重合也是根据基本图进行思考．
在基本图形下我们可以发现随着B1在x轴上运动，图中有些数量关系和位置关系是不变的，
因为问题主要涉及A2和C2两点，所以我们主要找与这两点有关的线段和角不变的关系有：
∠C2B1C=∠ABC=60°，B1C2//AB，B1C2=BC=8，
∠A2B1C1=120°，A2B1=A1B1=AB=12BC=4，
∴我们会发现A2和C2的纵坐标是不变的，
点A2的纵坐标是：4⋅sin60°=2 3，
点C2的纵坐标是：8⋅sin60°=4 3．
∵点P是CA和A2C2所在直线的交点，
∴点P一直在直线AC上．
①当点P与点A2重合时，如图b，A2也会在直线AC上，P、A、A2重合．
此时△ABB1是等边三角形，
∴BB1=AB=4，
∴OB1=5，即m=5．
②当点P与点C2重合时，如图c．
此时B1C=2B1C2=16，
∴OB1=B1C−OC=7，即m=−7．
综上：m的值是−7或5．
(1)由平移的性质可得∴A1 C1平行且等于AC，由8字形倒角可得∠CPC1=∠CBC1=90°；
(2)由内错角得出∠C1QP=∠MPA2=β，由8字形倒角∠C1QP=∠DB1C1=α，所以推出α=β；
(3)这一问的难度在于两个点：其一是题中没有画出图形，其二是点P与点A2或点C2重合的情况想象不出来，归根结底就是不知道点B1在何处时，点P与点A2或点C2重合．所以这一问就先画出草图，再利用平移和旋转的性质去求解即可．
本题主要考查了三角形综合题，熟练掌握平移和旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识是解题关键，其中在没有图形的题目中需要我们自己画出草图积极尝试．用水量x/m3
5≤x<7
7≤x<9
9≤x<11
11≤x<13
13≤x<15
频数(户数)
4
10
9
4
3
A小区
B小区
平均数
9.5
9.0
中位数
9.2
a
思想政治
地理
生物
化学
思想政治
(思想政治，地理)
(思想政治，生物)
(思想政治，化学)
地理
(地理，思想政治)
(地理，生物)
(地理，化学)
生物
(生物，思想政治)
(生物，地理)
(生物，化学)
化学
(化学，思想政治)
(化学，地理)
(化学，生物)
1.−2024的绝对值是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.2024年2月26日，我国首个全景式展现商文明的国家重大专题博物馆——殷墟博物馆新馆正式建成开放.殷墟遗址保护区内，新馆和殷墟宫殿宗庙遗址，王陵遗址部分区域面向公众开放，开放区域达40万平方米.数据“40万”用科学记数法表示为( )
A. 4×104B. 4×105C. 4×106D. 4×107
3.甲骨文是汉字的早期形式，最早出土于河南省安阳市殷墟.下列甲骨文经破译，对应的汉字分别为“泉”，“合”，“禾”，“丰”.以下甲骨文中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.化简a+bb2−a−bb2的结果是( )
A. 2aB. 0C. 1bD. 2b
5.若m>3，关于x的一元二次方程x2+mx+1=0根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不确定
6.不等式组2x+6>0x−1≤0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7.根据高考综合改革实施方案，从2022年秋季入学起，河南省高考实行“3+1+2”模式.其中“3”指的是语文、数学、外语三科必考科目，“1”指的是在物理和历史两科中任选一科，“2”指的是在思想政治、地理、生物和化学四科中任选两科.若小明在选定物理的基础上再从思想政治、地理、生物和化学四科中任选两科，则选中地理和化学的概率是( )
A. 14B. 16C. 18D. 110
8.如图，平行于主光轴EF的光线AB和CD经过凸透镜的折射后，折射光线BH，DG交于主光轴EF上一点P.若∠ABH=130°，∠CDG=160°，则∠GPH的度数是( )
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
9.如图，圆O的弦AB的长度为 2，点A，B，C为圆周上三点，若∠C=45°，则圆O半径为( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 3
10.如图1，在△ABC中，CA=CB，点M是线段AB上一动点，从顶点A出发以1cm/s的速度向点B运动，到达点B时停止运动，过点M作直线l垂直AB于点M，交折线A−C−B于点N.设点M移动的时间是x s，△AMN的面积为y cm2，若y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的周长为( )
A. 7cmB. 8cmC. 9cmD. 10cm
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写出一个比 5大且比 17小的整数______．
12.2024年4月21日，安阳马拉松赛燃情开跑.为防止选手个人信息泄露，马拉松参赛选手随身穿戴的计时芯片会把选手参赛号码利用公式加密后上传.某选手参赛号码为1626，如果加密公式为选手参赛号码乘以n再加6，则利用公式加密后上传数据为______．
13.为了考查某种海水稻的长势，从所育稻苗中随机抽取5株，测量这5株稻苗高度所得数据为8，8，9，7，8(单位：cm)，该组数据的方差为______．
14.如图，⊙A的直径为10，⊙B的直径为13，⊙A的圆心恰好在⊙B的圆周上，连接两圆交点所得弦CD的长为______．
15.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，直角边AC的中点为D，点E在斜边上且AE=3，若△ADE为直角三角形，则BC的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：3−27−2−1+|−7+5|；
(2)化简：(3a+b)2−9a(a−b)．
17.(本小题9分)
2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，某学校组织开展主题为“节约用水，爱护资源”的社会实践活动.甲小组同学在A，B两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份的用水量，分别将两个小区的居民用水量x(单位：m3)分为5组，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：
信息一：A小区3月份用水量频数分布表
信息二：A，B两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：
信息三：B小区3月份用水量频数分布直方图
信息四：B小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.4，9.7，9.6，10，10.2，10.4，9.5，9.6，10.6；
根据以上信息，回答问题：
(1)a= ______；
(2)若A小区共有800户居民，B小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数；
(3)请写出一条节约用水的建议．
18.(本小题9分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB
(2)在(1)所作的图形中，连接EF，求证：四边形ABFE是菱形．
19.(本小题9分)
如图，菱形OABC的顶点O为坐标原点，点C在y轴上，点A( 2, 2)，点B为反比例函数y=kx(x>0)上一点．
(1)求k的值；
(2)将菱形OABC以点O为旋转中心逆时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴负半轴上，求扇形OCA′圆心角的度数；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
20.(本小题9分)
安阳作为一座会“飞”的城市，未来将努力打造为国内低空经济创新发展基地和无人机应用推广策源地.某校数学社团开展利用无人机测量建筑物高度的实践活动.如图，当无人机飞到位置D时，测得建筑物顶点C和水平地面某点A的俯角∠GDC与∠FDA均为53°，此时无人机垂直高度DE为80m，又测得AB距离为75.9m，试求建筑物BC的高度(结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
21.(本小题9分)
河南是中华文明和黄河文化的发源地之一，其地域广阔，景色奇特.为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包.已知购进4个太阳帽和3个旅行包需要61元，购进7个太阳帽和5个旅行包需要103元．
(1)求每个太阳帽、旅行包的进价；
(2)该景区太阳帽售价为6元，旅行包售价为20元.景区计划购进太阳帽和旅行包共700个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍，景区该如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？
22.(本小题10分)
阅读材料：当平行光线照射到抛物线形状的反射镜面上时，经过反射后能够聚集成一点，即焦点.这种特性使得抛物面反射镜在许多应用中发挥重要作用，例如射电望远镜，雷达天线，远光灯和投影仪等．
如图1，某射电望远镜的天线采用了抛物面的设计，当天线竖直对准天顶时，其主视图可以抽象为图2，天线截面为抛物线的一段，天线中心O为抛物线顶点，天线边缘A，B为抛物线的两端.测得A，B距地面高度为5.35米，天线中心O距地面高度为4米，A，B距离为6米．
(1)如图2，以点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系.求天线截面的抛物线表达式；
(2)距离地面高度4.6米的D，E两个位置安装有支架DF和EF，可恰好将天线接收器固定在抛物面的焦点F处，试求D，E两点之间的水平距离．
23.(本小题10分)
综合与实践课上，老师带领同学们开展以“图形的变化”为主题的数学活动．
(1)观察发现
如图1，将平面直角坐标系中△ABC进行平移后得到△A1B1C1，则线段A1C1与线段AC的位置关系为______，数量关系为______；如图2，将平面直角坐标系中△ABC以点B为旋转中心逆时针旋转90°得到△A1BC1，则线段AC所在直线与线段A1C1所在直线的位置关系为______；
(2)探究迁移
如图3，将平面直角坐标系中△ABC进行平移后得到△A1B1C1，再将△A1B1C1以点B为旋转中心逆时针旋转α(0°<α<90°)得到△A2B1C2，线段A2C2所在直线与线段AC所在直线相交于点P，锐角∠MPA2记为β，请判断α和β的数量关系并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，平面直角坐标系中Rt△ABC，B(1,0)，C(9,0)，∠C=30°，将Rt△ABC在x轴上水平平移得到Rt△A，B，C，平移后以B1为旋转中心将Rt△A1B1C1逆时针旋转60°得到Rt△A2B1C2，线段A2C2所在直线与线段AC所在直线在P点相交，若点B1(m,0)在某个位置可使点P与点A2或点C2重合，请直接写出m的值．
答案解析
1.A
【解析】解：−2024的绝对值是2024．
故选：A．
根据绝对值的意义解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握|a|=a(a>0)0(a=0)−a(a<0)．
2.B
【解析】解：40万=400000=4×105，
故选：B．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.C
【解析】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
C.既不是轴对称图形也不是中心对称图形．故本选项符合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形．故本选项不符合题意．
故选：C．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可．
此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．
4.D
【解析】解：原式=a+b−a+bb2
=2bb2
=2b，
故选：D．
根据分式的加减法运算法则计算即可．
本题考查的是分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
5.A
【解析】解：由题意Δ=m2−4，
当m>3时，Δ>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
判断出判别式的值，可得结论．
本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ<0时，方程无实数根．
6.B
【解析】解：解不等式2x+6>0，得x>−3，
解不等式x−1≤0，得x≤1，
∴不等式组的解集为−3
故选：B．
先求解每个不等式的解集，再求得它们的公共部分得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，正确求得不等式组的解集是解答的关键．
7.B
【解析】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中选中地理和化学的结果有：(地理，化学)，(化学，地理)，共2种，
∴选中地理和化学的概率是212=16．
故选：B．
列表可得出所有等可能的结果数以及选中地理和化学的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8.C
【解析】解：∵AB//EF//CD，
∴∠EPB=180°−∠ABP=180°−130°=50°，∠EPD=180°−∠CDP=180°−160°=20°，
∴∠BPD=∠EPB+∠EPD=50°+20°=70°，
∴∠GPH=∠BPD=70°．
故选：C．
先由两直线平行，同旁内角互补得到∠EPB=180°−∠ABP=50°，∠EPD=180°−∠CDP=20°，再根据对顶角的性质求解即可．
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和对顶角的性质是解题的关键．
9.A
【解析】解：∵∠C=45°，
∴∠AOB=2∠C=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵AB= 2，
∴OB=AB⋅sin∠OAB= 2× 22=1．
故选：A．
根据圆周角定理求出∠AOB的度数，根据等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，利用三角函数求出圆O的半径即可．
本题考查圆周角定理等，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质及三角函数是解题的关键．
10.C
【解析】解：当x=2，y=1.5时，点N位于点C处，如图，
∴AM=2，S△AMC=1.5，
∴12AM⋅CM=1.5，
∴MN=1.5，
∴AC= AM2+MN2=52，
∴BC=52，
∵MN⊥AB，
∴BM=AM=2，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=4+52+52=9，
故选：C．
当x=2，y=1.5时，点N位于点C处，求出AM和MN，利用勾股定理求出AC，即BC，根据三线合一定理证明出AM=BM=2，即可求出△ABC的周长．
本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
11.3(答案不唯一)
【解析】解：∵2< 5<3，4< 17<5，
∴所有比 17小且比 5大的整数有3，4，
∴这个整数可以是3，
故答案为：3(答案不唯一)．
先分别求出 5与 17在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案．
本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数的估算的知识，分别求出 5与 17在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键．
12.1626n+6
【解析】解：由题意，利用公式加密后上传数据为1626n+6．
故答案为：1626n+6．
根据“上传数据=选手参赛号码×n+6”列出代数式即可．
本题考查了列代数式，理解题意中的关键字词列出代数式是解决本题的关键．
13.0.4
【解析】解：的平均数为x−=8+8+9+7+85=8，
∴S2=15×[(8−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(7−8)2+(8−8)2]=0.4．
故答案为：0.4．
先计算这组数据的平均数，再计算这组数据的方差即可．
本题考查了方差，掌握方差的计算方法是解决本题的关键．
14.12013
【解析】解：∵弦CD是⊙A和⊙B两圆相交的公共弦，
∴AB⊥CD，
如图，连接AC，BC，
设AM=x，则BM=6.5−x，
由勾股定理得：52−x2=6.52−(6.5−x)2，
解得：x=2513，
∴AM=2513，
由勾股定理得：CM= AC2−AM2= 52−(2513)2=6013，
∵AB⊥CD，
∴CD=2CM=12013，
故答案为：12013．
根据两圆的连心线垂直公共弦可得：AB⊥CD，如图，连接AC，BC，设AM=x，则BM=6.5−x，根据勾股定理可得x的长，计算CM的长可得CD的长．
本题考查了勾股定理，垂径定理，相交两圆的性质，掌握两圆的连心线垂直两圆的公共弦是解本题的关键．
15.3或4
【解析】解：①当∠EDA=90°时，
∵AE=3，∠A=30°，
∴AD=3 32，
∵AC的中点为D，
∴BC=3；
②当∠AED=90°，
∵AE=3，∠A=30°，
∴AD=2 3，
∵Rt△ABC的直角边AC的中点为D，
∴AC=2AD=4 3，
∴BC=4．
故答案为：3或4．
分情况讨论，当∠EDA=90°时，利用中位线的性质即可得到结论，当∠AED=90°时，利用特殊角的锐角三角函数求解，即可得结论．
本题考查锐角三角函数．正确记忆相关知识点是解题关键．
16.解：(1)3−27−2−1+|−7+5|
=−3−12+2
=−32；
(2)(3a+b)2−9a(a−b)
=9a2+6ab+b2−9a2+9ab
=15ab+b2．
【解析】(1)先化简，再算加减即可；
(2)先算完全平方，单项式乘多项式，再合并同类项即可．
本题主要考查实数的运算，完全平方公式，单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17.9.2
【解析】解：(1)将B小区30户居民3月份用水量数据按照从小到大的顺序排列，排在第15和16个的是9，9.4，
∴a=(9+9.4)÷2=9.2．
故答案为：9.2．
(2)样本中，A小区3月份用水量不低于13m3的居民共有3户，B小区3月份用水量不低于13m3的居民共有2户，
800×330+750×230=130(户)，
∴估计两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数约为130户．
(3)建议小区将普通的水龙头更换为节水器(答案不唯一)．
(1)根据中位数的定义可得答案．
(2)根据用样本估计总体，用800乘以样本中A小区3月份用水量不低于13m3的居民户数所占的百分比，再加上750乘以样本中B小区3月份用水量不低于13m3的居民户数所占的百分比，即可得出答案．
(3)答案不唯一，合理即可．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18.(1)解：图形如图所示：
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵DE=CF，
∴AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AE//BF，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴四边形ABFE是菱形．
【解析】(1)根据要求作出图形即可；
(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
本题考查作图−复杂作图，角平分线的定义，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.解：(1)∵点A坐标为( 2, 2)，
∴OA= ( 2)2+( 2)2=2，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB//OC，AB=OA=2，
∴B( 2,2+ 2)，
∵点B为反比例函数y=kx上一点，
∴k= 2×(2+ 2)=2 2+2；
(2)过点A作AH⊥OC于H，
在Rt△AOH中，tan∠AOH=AHOH= 2 2=1，
∴∠AOH=∠AOC=45°，
由旋转的性质得∠A′OC=∠AOC=45°，
∴扇形OCA′圆心角的度数为45°；
(3)∵四边形OABC是菱形，AB=2，AH= 2，
∴菱形OABC的面积=AB⋅AH=2 2，
由旋转的性质得菱形OA′B′C′的面积=菱形OABC的面积=2 2，
∵OB′是菱形OA′B′C′的对角线，
∴△OB′C′的面积=12菱形OA′B′C′的面积= 2，
由(2)知扇形OCA′圆心角的度数为45°，
∴扇形OCA′的面积=45⋅π⋅22360=π2，
∴图中阴影部分面积之和=△OB′C′的面积+扇形OCA′的面积= 2+π2．
【解析】(1)根据勾股定理得到OA= ( 2)2+( 2)2=2，根据菱形的性质得到AB//OC，AB=OA=2，求得B( 2,2+ 2)，于是得到k=2×(2+ 2)=4+2 2；
(2)过点A作AH⊥OC于H，根据三角函数的定义得到∠AOH=∠AOC=45°，由旋转的性质得∠A′OC=∠AOC=45°，于是得到扇形OCA′圆心角的度数为45°；
(3)根据菱形的面积公式得到菱形OABC的面积=AB⋅AH=2 2，由旋转的性质得菱形OA′B′C′的面积=菱形OABC的面积=2 2，根据扇形的面积公式即可得到结论．
本题是反比例函数综合题，考查了勾股定理，菱形的性质，待定系数法求函数的解析式，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关．
20.解：过点C作CM⊥DE于点M，
∴CM=BE，
∵FG⊥DE，
∴∠FDA=∠GDC=53°，
∴∠ADE=∠CDM=37°，
∵DE=80m，
∴在Rt△AED中，AE=DE⋅tan37°≈80×0.75=60(m)，
∴BE=CM=75.9−60=15.9(m)，
在Rt△DCM中，DM=CM⋅tan37°=15.9×0.75≈12(m)．
∴BC=DE−DM=80−12=68(m)．
答：建筑物BC的高度为68米．
【解析】过点C作CM⊥DE于点M，首先求出AE的长度，进而根据AB的长度求出BE的长度，在Rt△DCM中求出DM即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题关键．
21.解：(1)设每个太阳帽的进价是m元，每个旅行包的进价是n元，
根据题意得：4m+3n=617m+5n=103，
解得m=4n=15，
∴每个太阳帽的进价是4元，每个旅行包的进价是15元；
(2)设购进x个太阳帽，所获利润为w元，则购进旅行包(700−x)个，
∵购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍，
∴x≥1.5(700−x)，
解得x≥420，
根据题意得：w=(6−4)x+(20−15)(700−x)=−3x+3500，
∵−3<0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=420时，w取最大值−3×420+3500=2240，
此时700−x=700−420=280，
∴购进420个太阳帽，购进旅行包280个，可使销售所获利润最大，最大利润为2240元．
【解析】(1)设每个太阳帽的进价是m元，每个旅行包的进价是n元，根据购进4个太阳帽和3个旅行包需要61元，购进7个太阳帽和5个旅行包需要103元得：4m+3n=617m+5n=103，即可解得答案；
(2)设购进x个太阳帽，所获利润为w元，由购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍，可得x≥420，而w=(6−4)x+(20−15)(700−x)=−3x+3500，根据二次函数性质可得答案．
本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
22.解：(1)如图，过点A，点B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
由于点A，点B距地面高度为5.35米，天线中心O距地面高度为4米，
∴AM=BN=5.35−4=1.35(米)，
∵点A，B距离为6米．
∴OM=ON=3米，
∴点A(−3,1.35)，点B(3,1.35)，点C(0,0)，
设抛物线的关系式为y=ax2，将点B(3,1.35)代入得，
9a=1.35，
解得a=0.15，
∴抛物线的关系式为y=0.15x2；
(2)如图，过点D，点E分别作x轴的垂线，垂足分别为P，Q，
∵点D，点E距离地面高度为4.6米，
∴EQ=DP=4.6−4=0.6(米)，
当y=0.6时，即0.15x2=0.6，
解得x=2或x=−2，
即OP=OQ=2，
∴PQ=2+2=4，
即D，E两点之间的水平距离为4米．
【解析】(1)根据题意得出点A，点B的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的关系式即可；
(2)根据题意得出点D，点E的纵坐标，再根据抛物线的关系求出其横坐标即可．
本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数的关系式，求出点A，点B的坐标是正确解答的关键．
23.平行 相等 垂直
【解析】解：(1)∵在图1中，△A1 B1C1是由△ABC平移得到的，
∴A1 C1平行且等于AC，
∵在图2中，△A1 BC1是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，
∴∠CBC1=90°，
∵∠A1C1B=∠ACB，
∴∠CPC1=∠CBC1=90°，即AC⊥A1C1，
故答案为：平行，相等，垂直．
(2)α=β.理由如下：
如图，延长C1A1与A2C2所在直线交于点Q，与B1C2交于点D，由三角形平移可知C1Q//CM，
∵C1Q//CM，
∴∠C1QP=∠MPA2=β，
∵△A1 B1C1≌△A2B1C2，
∴∠B1C1A1=∠B1C2A2，
∵∠QDC2和∠B1DC1互为对顶角，
∴∠QDC2=∠B1DC1，
∴∠C1QP=∠DB1C1=α，
∴α=β．
(3)−7或5．
如图a，这是任意情况下的基本图形，题目中要求的重合也是根据基本图进行思考．
在基本图形下我们可以发现随着B1在x轴上运动，图中有些数量关系和位置关系是不变的，
因为问题主要涉及A2和C2两点，所以我们主要找与这两点有关的线段和角不变的关系有：
∠C2B1C=∠ABC=60°，B1C2//AB，B1C2=BC=8，
∠A2B1C1=120°，A2B1=A1B1=AB=12BC=4，
∴我们会发现A2和C2的纵坐标是不变的，
点A2的纵坐标是：4⋅sin60°=2 3，
点C2的纵坐标是：8⋅sin60°=4 3．
∵点P是CA和A2C2所在直线的交点，
∴点P一直在直线AC上．
①当点P与点A2重合时，如图b，A2也会在直线AC上，P、A、A2重合．
此时△ABB1是等边三角形，
∴BB1=AB=4，
∴OB1=5，即m=5．
②当点P与点C2重合时，如图c．
此时B1C=2B1C2=16，
∴OB1=B1C−OC=7，即m=−7．
综上：m的值是−7或5．
(1)由平移的性质可得∴A1 C1平行且等于AC，由8字形倒角可得∠CPC1=∠CBC1=90°；
(2)由内错角得出∠C1QP=∠MPA2=β，由8字形倒角∠C1QP=∠DB1C1=α，所以推出α=β；
(3)这一问的难度在于两个点：其一是题中没有画出图形，其二是点P与点A2或点C2重合的情况想象不出来，归根结底就是不知道点B1在何处时，点P与点A2或点C2重合．所以这一问就先画出草图，再利用平移和旋转的性质去求解即可．
本题主要考查了三角形综合题，熟练掌握平移和旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识是解题关键，其中在没有图形的题目中需要我们自己画出草图积极尝试．用水量x/m3
5≤x<7
7≤x<9
9≤x<11
11≤x<13
13≤x<15
频数(户数)
4
10
9
4
3
A小区
B小区
平均数
9.5
9.0
中位数
9.2
a
思想政治
地理
生物
化学
思想政治
(思想政治，地理)
(思想政治，生物)
(思想政治，化学)
地理
(地理，思想政治)
(地理，生物)
(地理，化学)
生物
(生物，思想政治)
(生物，地理)
(生物，化学)
化学
(化学，思想政治)
(化学，地理)
(化学，生物)
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