高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第01讲集合的概念与运算(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第01讲集合的概念与运算(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了集合与元素，集合的基本关系，集合的基本运算等内容，欢迎下载使用。

1、集合与元素
(1)集合中元素的三个特性： 、 、 ．
(2)元素与集合的关系是 ．或 ．，用符号 ．或 ．表示．
(3)集合的表示法： 、 、 ．
(4)常见数集的记法
2、集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中 ．都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A ．(或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且 ．A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．
(3)相等：若A⊆B，且 ．，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是 ．的子集， ．的真子集．
3、集合的基本运算
1、【2022年全国甲卷】设集合A={−2,−1,0,1,2},B=x∣0≤x<52，则A∩B=（ ）
A．0,1,2B．{−2,−1,0}C．{0,1}D．{1,2}
2、【2022年全国甲卷】设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B=x∣x2−4x+3=0，则∁U(A∪B)=（ ）
A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}
3、【2022年全国乙卷】集合M=2,4,6,8,10,N=x−1A．{2,4}B．{2,4,6}C．{2,4,6,8}D．{2,4,6,8,10}
4、【2022年全国乙卷】设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM={1,3}，则（ ）
A．2∈MB．3∈MC．4∉MD．5∉M
5、【2022年新高考1卷】若集合M={x∣x<4}, N={x∣3x≥1}，则M∩N=（ ）
A．{x0≤x<2}B．x13≤x<2C．{x3≤x<16}D．x13≤x<16
6、【2022年新高考2卷】已知集合A={−1,1,2,4},B=x|x−1|≤1，则A∩B=（ ）
A．{−1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{−1,4}
1、已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2、（2023·江苏泰州·统考一模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3、（深圳市南山区期末试题）设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
4、 （清远市高三期末试题）已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
5、（深圳市罗湖区期末试题）已知集合，，则的子集个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 无穷多个
考向一 集合的基本概念
例1、已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}．
(1) 当a＝0时，求A∪B，A∩(∁RB)；
(2) 若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
变式1 已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}．若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
变式2、（2022·广东广州·三模）若，则的可能取值有（ ）
A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3
方法总结：1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性
考向二 集合间的基本关系
例2、例2、已知集合A＝{1，3， eq \r(x)}，B＝{2－x，1}．
(1) 记集合M＝{1，4，y}，若集合A＝M，求实数x＋y的值；
(2) 是否存在实数x，使得B⊆A？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
变式1、（2022·河北保定·高三期末）设集合均为非空集合.（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
变式2、（2022·全国·模拟预测（文））如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（ ）
A．B．
C．D．
方法总结：(1)若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.
考向三 集合的运算
例3、（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
变式1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
变式2、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
变式3、（2022·湖南湘潭·三模）已知集合，，若，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
方法总结：集合运算的常用方法
①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；
②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
考向四 集合的新定义问题
例4、（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为
A．77B．49C．45D．30
变式1、（2022·山东青岛·高三期末）定义集合运算：.若集合，则（ ）
A．B．C．D．
变式2、（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
变式3、（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
方法总结：正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口。
1、（深圳市高级中学集团期末试题） 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2、（清远市高三期末试题）已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
3、（惠州市高三期末试题）已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
4、（华南师范大学附属中学高三期末试题）已知集合，则（ ）．
A. {3}B. {1，3}C. {3，4}D. {1，3，4}
5、（东莞市高三期末试题） 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
6、（梅州市大埔县高三期末试题）已知集合A=x|x2−x−2>0，B={x|0A．(−1，3)B．(0，3)C．(1，3)D．(2，3)
7、（江门市高三期末试卷）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（ ）
A．B．C． D．
8、（2023·江苏南通·统考模拟预测）设集合，，若，则实数（ ）
A．0B．C．0或D．1
9、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知集合M，N满足，则（ ）
A．B．C．D．
10、（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
集合
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
并集
所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
．
．
交集
所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
．
补集
全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
．
第01讲 集合的概念与运算
1、集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2、集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3、集合的基本运算
1、【2022年全国甲卷】设集合A={−2,−1,0,1,2},B=x∣0≤x<52，则A∩B=（ ）
A．0,1,2B．{−2,−1,0}C．{0,1}D．{1,2}
【答案】A
【解析】因为A=−2,−1,0,1,2，B=x∣0≤x<52，所以A∩B=0,1,2．
故选：A.
2、【2022年全国甲卷】设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B=x∣x2−4x+3=0，则∁U(A∪B)=（ ）
A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}
【答案】D
【解析】由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},
所以∁U(A∪B)={−2,0}.
故选：D.
3、【2022年全国乙卷】集合M=2,4,6,8,10,N=x−1A．{2,4}B．{2,4,6}C．{2,4,6,8}D．{2,4,6,8,10}
【答案】A
【解析】因为M=2,4,6,8,10，N=x|−1故选：A.
4、【2022年全国乙卷】设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM={1,3}，则（ ）
A．2∈MB．3∈MC．4∉MD．5∉M
【答案】A
【解析】由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误
故选:A
5、【2022年新高考1卷】若集合M={x∣x<4}, N={x∣3x≥1}，则M∩N=（ ）
A．{x0≤x<2}B．x13≤x<2C．{x3≤x<16}D．x13≤x<16
【答案】D
【解析】M={x∣0≤x<16},N={x∣x≥13}，故M∩N={x|13≤x<16}，
故选：D
6、【2022年新高考2卷】已知集合A={−1,1,2,4},B=x|x−1|≤1，则A∩B=（ ）
A．{−1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{−1,4}
【答案】B
【解析】B={x|0≤x≤2}，故A∩B={1,2}，
故选：B.
1、已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知可得，
故选：B.
2、（2023·江苏泰州·统考一模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】.
故选：A.
3、（深圳市南山区期末试题）设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
故选：C.
4、 （清远市高三期末试题）已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，
又，
所以，
所以，故选项A错误，
，故选项B正确，
，故选项C错误，
，故选项D错误，
故选：B.
5、（深圳市罗湖区期末试题）已知集合，，则的子集个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 无穷多个
【答案】C
【解析】
【详解】解：因为集合，，
由可得，
所以，只有一个元素，
所以，的子集个数为2.
故选：C
考向一 集合的基本概念
例1、已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}．
(1) 当a＝0时，求A∪B，A∩(∁RB)；
(2) 若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
【解析】 (1) 当a＝0时，A＝{x|0≤x≤3}＝[0，3].
因为B＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}＝[－3，2]，
所以∁RB＝(－∞，－3)∪(2，＋∞)，
所以A∪B＝[－3，3]，A∩(∁RB)＝(2，3].
(2) A＝[a，a＋3]，B＝[－3，2].
因为A∩B＝A，所以A⊆B，
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥－3，,a＋3≤2，))解得－3≤a≤－1，
所以实数a的取值范围是[－3，－1].
变式1 已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}．若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
【解析】 由题意，得B＝{x|x2＋x－6≤0}＝[－3，2].
因为A∪B＝B，所以A⊆B.
①当A＝∅，即2a>a＋3时，解得a>3；
②当A≠∅，即a≤3时，
有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a≥－3，,a＋3≤2，))解得－ eq \f(3,2)≤a≤－1.
综上，实数a的取值范围是[－ eq \f(3,2)，－1]∪(3，＋∞).
变式2、（2022·广东广州·三模）若，则的可能取值有（ ）
A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3
【答案】C
【解析】，则，符合题设；
时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；
时，则，符合题设；
∴或均可以.
故选：C
方法总结：1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性
考向二 集合间的基本关系
例2、已知集合A＝{1，3， eq \r(x)}，B＝{2－x，1}．
(1) 记集合M＝{1，4，y}，若集合A＝M，求实数x＋y的值；
(2) 是否存在实数x，使得B⊆A？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
【解析】 (1) 因为A＝M，A＝{1，3， eq \r(x)}，M＝{1，4，y}，
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝y，,\r(x)＝4，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝16，,y＝3，))
所以x＋y＝16＋3＝19.
(2) 假设存在实数x，使得B⊆A.
①当2－x＝3，即x＝－1时， eq \r(x)不存在，不符合题意；
②当2－x＝ eq \r(x)时，解得x＝1.
又 eq \r(x)≠1，所以不符合题意．
综上所述，不存在实数x，使得B⊆A.
变式1、（2022·河北保定·高三期末）设集合均为非空集合.（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【解析】对于A,，，当时，结论不成立，则A错误；
对于B, ，当时，结论不成立，，则B错误；
对于C,因为，，所以，又，所以，则,则C正确;
对于D， ，当时，结论不成立,则D错误;
故选:C.
变式2、（2022·全国·模拟预测（文））如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】：如图所示，
A. 对应的是区域1；
B. 对应的是区域2；
C. 对应的是区域3；
D. 对应的是区域4.
故选：B
方法总结：(1)若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.
考向三 集合的运算
例3、（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】集合或
所以
故选：D
变式1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由单调递增，，解得：，所以，单调递增，，解得：，所以，即．
故选：B
变式2、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，，或，
.
故选：A.
变式3、（2022·湖南湘潭·三模）已知集合，，若，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先解出集合，再结合得到关于m的不等式，求解即可.
【详解】
因为，所以，解得.
故选：A.
方法总结：集合运算的常用方法
①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；
②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
考向四 集合的新定义问题
例4、（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为
A．77B．49C．45D．30
【答案】C
【详解】
因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．
变式1、（2022·山东青岛·高三期末）定义集合运算：.若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以当时，，
所以，
所以 ，
故选：D
变式2、（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，，
所以，
故集合中的元素个数为3，
故选：C.
变式3、（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】由集合，，
根据，
所以，
所以中元素的个数是3.
故选：C
方法总结：正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口。
1、（深圳市高级中学集团期末试题） 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以则，
故选：C
2、（清远市高三期末试题）已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由，
又，
所以，
所以，故选项A错误，
，故选项B正确，
，故选项C错误，
，故选项D错误，
故选：B.
3、（惠州市高三期末试题）已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】】，因此．
故选：C．
4、（华南师范大学附属中学高三期末试题）已知集合，则（ ）．
A. {3}B. {1，3}C. {3，4}D. {1，3，4}
【答案】B
【解析】：因为，，
所以，
因为，
所以，
故选：B.
5、（东莞市高三期末试题） 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，
得，得
即，
则
故选：A.
6、（梅州市大埔县高三期末试题）已知集合A=x|x2−x−2>0，B={x|0A．(−1，3)B．(0，3)C．(1，3)D．(2，3)
【答案】D
【解析】因为x2−x−2>0，所以x>2或x<−1，故集合A={x>2或x<−1}，
又因为集合B={x|07、（江门市高三期末试卷）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（ ）
A．B．C． D．
B【详解】因为或，则，
由题意可知，阴影部分所表示的集合为.故选：B.
8、（2023·江苏南通·统考模拟预测）设集合，，若，则实数（ ）
A．0B．C．0或D．1
【答案】B
【解析】，则或.
当时，满足条件.
当时，不满足条件.
故，
故选：B.
9、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知集合M，N满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由可得，故D正确；
当，所以，故ABC不正确
故选：D.
10、（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
由题意可知，，
故选：C．集合
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
并集
所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
交集
所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
补集
全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
{x|x∈U，且x∉A}
∁UA