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高考数学一轮复习全程复习构想·数学（理）【统考版】第八节 函数与方程（课件）
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这是一份高考数学一轮复习全程复习构想·数学（理）【统考版】第八节 函数与方程（课件），共47页。PPT课件主要包含了必备知识基础落实，关键能力考点突破，微专题，fx＝0，fa·fb，fc＝0，答案B，答案1，答案C，答案－81等内容，欢迎下载使用。
最新考纲结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 考向预测考情分析：本节的常考点有判断函数零点所在区间、确定函数零点个数及利用函数零点解决一些参数问题，其中利用零点解决一些参数问题仍是高考考查的热点，题型多以选择题为主，属中档题．学科素养：通过函数零点的判断与求解考查直观想象、逻辑推理的核心素养．
一、必记2个知识点1．函数的零点(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
2．函数零点存在定理(1)条件：①如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②________<0.(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
二、必明3个常用结论1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．2．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．3．周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点．
三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1，0)和(1，0)．( )(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.( )(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( )(4)若连续不断的函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )
(三)易错易混4．(忽视二次项系数为0的情况)若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是( )A．(－1，1) B．[1，＋∞)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：若函数f(x)＝2ax2－x－1在区间(0，1)内恰有一个零点，则方程2ax2－x－1＝0在区间(0，1)内恰有一个根，若a＝0，则方程2ax2－x－1＝0可化为：－x－1＝0方程的解为－1，不成立；若a<0，则方程2ax2－x－1＝0不可能有正根，故不成立；若a>0，则Δ＝1＋8a>0，且c＝－1<0；故方程有一正一负两个根，故方程2ax2－x－1＝0在区间(0，1)内恰有一个解可化为(2a·02－0－1)(2a·12－1－1)<0；解得，a>1；故实数a的取值范围是(1，＋∞)．
5．(不会用数形结合讨论二次方程根的分布)若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意m＝－x2＋2x在(0，4)上有解，又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴y＝－x2＋2x在(0，4)上的值域为(－8，1]，∴－8
解析：方法一 函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数，即2sin x－sin 2x＝0在区间[0，2π]的根个数，即2sin x＝sin 2x，令h(x)＝2sin x和g(x)＝sin 2x，作出两函数在区间[0，2π]的图象如图所示，由图可知，h(x)＝2sin x和g(x)＝sin 2x在区间[0，2π]的图象的交点个数为3个．故选B.方法二 因为f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x(1－cs x)，x∈[0，2π]，令f(x)＝0，得2sin x(1－cs x)＝0，即sin x＝0或1－cs x＝0，解得x＝0，π，2π. 所以f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为3个．
2．若a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内．
3．已知函数f(x)＝lgax＋x－b(a>0且a≠1)．当2
【对点训练】1．[2023·重庆调研]设函数f(x)＝2|x|＋x2－3，则函数y＝f(x)的零点个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1
解析：易知f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋x2－3，所以x≥0时，f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，所以x＝1是函数y＝f(x)在[0，＋∞)上的唯一零点．根据奇偶性，知x＝－1是y＝f(x)在(－∞，0)内的零点，因此y＝f(x)有两个零点．
解析：f(x)＝2sin x cs x－x2＝sin 2x－x2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1＝sin 2x与y2＝x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1＝sin 2x与y2＝x2的图象如图所示： 由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.
考点三 函数零点的应用 [综合性]角度1 根据函数零点个数求参数[例2] (1)设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a
微专题 11 解嵌套函数的零点问题 函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．
解析：设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点． 设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解；当a<－1时y＝a与y＝f(t)的图象只有一个交点，函数g(x)只有一个零点，不合题意，综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．
最新考纲结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 考向预测考情分析：本节的常考点有判断函数零点所在区间、确定函数零点个数及利用函数零点解决一些参数问题，其中利用零点解决一些参数问题仍是高考考查的热点，题型多以选择题为主，属中档题．学科素养：通过函数零点的判断与求解考查直观想象、逻辑推理的核心素养．
一、必记2个知识点1．函数的零点(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
2．函数零点存在定理(1)条件：①如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②________<0.(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
二、必明3个常用结论1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．2．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．3．周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点．
三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1，0)和(1，0)．( )(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.( )(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( )(4)若连续不断的函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )
(三)易错易混4．(忽视二次项系数为0的情况)若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是( )A．(－1，1) B．[1，＋∞)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：若函数f(x)＝2ax2－x－1在区间(0，1)内恰有一个零点，则方程2ax2－x－1＝0在区间(0，1)内恰有一个根，若a＝0，则方程2ax2－x－1＝0可化为：－x－1＝0方程的解为－1，不成立；若a<0，则方程2ax2－x－1＝0不可能有正根，故不成立；若a>0，则Δ＝1＋8a>0，且c＝－1<0；故方程有一正一负两个根，故方程2ax2－x－1＝0在区间(0，1)内恰有一个解可化为(2a·02－0－1)(2a·12－1－1)<0；解得，a>1；故实数a的取值范围是(1，＋∞)．
5．(不会用数形结合讨论二次方程根的分布)若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意m＝－x2＋2x在(0，4)上有解，又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴y＝－x2＋2x在(0，4)上的值域为(－8，1]，∴－8
解析：方法一 函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数，即2sin x－sin 2x＝0在区间[0，2π]的根个数，即2sin x＝sin 2x，令h(x)＝2sin x和g(x)＝sin 2x，作出两函数在区间[0，2π]的图象如图所示，由图可知，h(x)＝2sin x和g(x)＝sin 2x在区间[0，2π]的图象的交点个数为3个．故选B.方法二 因为f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x(1－cs x)，x∈[0，2π]，令f(x)＝0，得2sin x(1－cs x)＝0，即sin x＝0或1－cs x＝0，解得x＝0，π，2π. 所以f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为3个．
2．若a
3．已知函数f(x)＝lgax＋x－b(a>0且a≠1)．当2
【对点训练】1．[2023·重庆调研]设函数f(x)＝2|x|＋x2－3，则函数y＝f(x)的零点个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1
解析：易知f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋x2－3，所以x≥0时，f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，所以x＝1是函数y＝f(x)在[0，＋∞)上的唯一零点．根据奇偶性，知x＝－1是y＝f(x)在(－∞，0)内的零点，因此y＝f(x)有两个零点．
解析：f(x)＝2sin x cs x－x2＝sin 2x－x2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1＝sin 2x与y2＝x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1＝sin 2x与y2＝x2的图象如图所示： 由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.
考点三 函数零点的应用 [综合性]角度1 根据函数零点个数求参数[例2] (1)设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a
微专题 11 解嵌套函数的零点问题 函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．
解析：设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点． 设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解；当a<－1时y＝a与y＝f(t)的图象只有一个交点，函数g(x)只有一个零点，不合题意，综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．
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