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    高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第02讲等差数列及其前n项和(练习)(原卷版+解析)
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    高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第02讲等差数列及其前n项和(练习)(原卷版+解析)

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    这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第02讲等差数列及其前n项和(练习)(原卷版+解析),共22页。

    1.(2023·河南郑州·统考模拟预测)在等差数列中,已知,且,则当取最大值时,( )
    A.10B.11C.12或13D.13
    2.(2023·江苏南通·统考模拟预测)现有茶壶九只,容积从小到大成等差数列,最小的三只茶壶容积之和为0.5升,最大的三只茶壶容积之和为2.5升,则从小到大第5只茶壶的容积为( )
    A.0.25升B.0.5升C.1升D.1.5升
    3.(2023·河南洛阳·模拟预测)已知等差数列的前项和为,,则 ( )
    A.54B.71C.80D.81
    4.(2023·河南·校联考模拟预测)已知数列是等差数列,其前项和为,则等于( )
    A.63B.C.45D.
    5.(2023·北京海淀·校考三模)已知等差数列的公差为,数列满足,则“”是“为递减数列”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
    6.(2023·河南郑州·统考模拟预测)公差不为零的等差数列中,,则下列各式一定成立的是( )
    A.B.C.D.
    7.(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)设为等差数列的前n项和,且,都有,若,则( )
    A.的最小值是B.的最小值是
    C.的最大值是D.的最大值是
    8.(2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知数列中,,当时,,,成等差数列.若,那么( )
    A.B.C.D.
    9.(多选题)(2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模)已知为等差数列,前项和为,,公差d = −2 ,则( )
    A.=
    B.当n = 6或7时,取得最小值
    C.数列的前10项和为50
    D.当n≤2023时,与数列(m N)共有671项互为相反数.
    10.(多选题)(2023·江苏盐城·统考三模)已知数列对任意的整数,都有,则下列说法中正确的有( )
    A.若,则
    B.若,,则
    C.数列可以是等差数列
    D.数列可以是等比数列
    11.(多选题)(2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测)已知等差数列的公差为,前项和为,且,成等比数列,则( )
    A.B.
    C.当时,是的最大值D.当时,是的最小值
    12.(多选题)(2023·广东佛山·校考模拟预测)已知数列,下列结论正确的有( )
    A.若,,则
    B.若,,则
    C.若,则数列是等比数列
    D.若为等差数列的前项和,则数列为等差数列
    13.(2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模)南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”,在他的专著《详解九章算法·商功》中,杨辉将堆垛与相应立体图形作类比,推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式,例如三角垛指的是如图顶层放1个,第二层放3个,第三层放6个,第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛,则______.

    14.(2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测)设随机变量的分布列如下:
    其中,,…,构成等差数列,则 ___________.
    15.(2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测)已知等差数列的前n项和为,公差d为奇数,且同时满足:①存在最大值;②;③.则数列的一个通项公式可以为______.(写出满足题意的一个通项公式)
    16.(2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模)已知,,将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列,则______.
    17.(2023·湖南·校联考模拟预测)记等差数列的前n项和为,已知,.
    (1)求的通项公式;
    (2)设,数列的前n项和为,若,求m的值.
    18.(2023·江苏·校联考模拟预测)设数列的前n项和为,且满足.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)证明:数列中的任意不同的三项均不能构成等差数列.
    19.(2023·浙江·校联考模拟预测)已知正项等比数列和数列,满足是和的等差中项,.
    (1)证明:数列是等差数列,
    (2)若数列的前项积满足,记,求数列的前20项和.
    20.(2023·安徽·校联考模拟预测)已知数列满足:,,,从第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列.
    (1)求;
    (2)设,若恒成立,求的取值范围.
    1.(2020•新课标Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)
    A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块
    2.(2020•北京)在等差数列中,,.记,2,,则数列
    A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项
    C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项
    3.(2022•上海)已知等差数列的公差不为零,为其前项和,若,则,2,,中不同的数值有 个.
    4.(2022•乙卷(文))记为等差数列的前项和.若,则公差 .
    5.(2021•上海)已知等差数列的首项为3,公差为2,则 .
    6.(2020•上海)已知数列是公差不为零的等差数列,且,则 .
    7.(2020•海南)将数列与的公共项从小到大排列得到数列,则的前项和为 .
    8.(2021•新高考Ⅱ)记是公差不为0的等差数列的前项和,若,.
    (Ⅰ)求数列的通项公式;
    (Ⅱ)求使成立的的最小值.
    9.(2021•甲卷(理))记为数列的前项和,已知,,且数列是等差数列,证明:是等差数列.
    10.(2021•乙卷)记为数列的前项和,为数列的前项积,已知.
    (1)证明:数列是等差数列;
    (2)求的通项公式.
    第02讲 等差数列及其前n项和
    (模拟精练+真题演练)
    1.(2023·河南郑州·统考模拟预测)在等差数列中,已知,且,则当取最大值时,( )
    A.10B.11C.12或13D.13
    【答案】C
    【解析】因为在等差数列中,
    所以

    所以,
    又因为,
    所以可知等差数列为递减数列,且前12项为正,第13项以后均为负,
    所以当取最大值时,或13.
    故选:C.
    2.(2023·江苏南通·统考模拟预测)现有茶壶九只,容积从小到大成等差数列,最小的三只茶壶容积之和为0.5升,最大的三只茶壶容积之和为2.5升,则从小到大第5只茶壶的容积为( )
    A.0.25升B.0.5升C.1升D.1.5升
    【答案】B
    【解析】设九只茶壶按容积从小到大依次记为 ,
    由题意可得,
    所以,
    故选:B
    3.(2023·河南洛阳·模拟预测)已知等差数列的前项和为,,则 ( )
    A.54B.71C.80D.81
    【答案】D
    【解析】设等差数列的公差为,
    因为,可得,解得,
    所以.
    故选:D.
    4.(2023·河南·校联考模拟预测)已知数列是等差数列,其前项和为,则等于( )
    A.63B.C.45D.
    【答案】D
    【解析】因为数列是等差数列,则,可得,
    且,可得,
    所以.
    故选:D.
    5.(2023·北京海淀·校考三模)已知等差数列的公差为,数列满足,则“”是“为递减数列”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】B
    【解析】因为,所以且,则,
    若,不妨令,则,,,,,,
    显然不单调,故充分性不成立,
    若为递减数列,则不是常数数列,所以单调,
    若单调递减,又在,上单调递减,则为递增数列,矛盾;
    所以单调递增,则,且,其中当,时也不能满足为递减数列,故必要性成立,
    故“”是“为递减数列”的必要不充分条件.
    故选:B
    6.(2023·河南郑州·统考模拟预测)公差不为零的等差数列中,,则下列各式一定成立的是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】因为,所以,
    因为公差不为零,,所以,B正确,A错误,
    取,则,此时,C,D均不正确,
    故选:B.
    7.(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)设为等差数列的前n项和,且,都有,若,则( )
    A.的最小值是B.的最小值是
    C.的最大值是D.的最大值是
    【答案】A
    【解析】由,得,即,
    所以数列为递增的等差数列.
    因为,所以,即,
    则,,所以当且时,;
    当且时,.因此,有最小值,且最小值为.
    故选:A.
    8.(2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知数列中,,当时,,,成等差数列.若,那么( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】当时,,,成等差数列,则,
    由于,则,
    故选:D.
    9.(多选题)(2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模)已知为等差数列,前项和为,,公差d = −2 ,则( )
    A.=
    B.当n = 6或7时,取得最小值
    C.数列的前10项和为50
    D.当n≤2023时,与数列(m N)共有671项互为相反数.
    【答案】AC
    【解析】对于A,等差数列中,,公差,则,,故A正确;
    对于B,由A的结论,,则,由d = −2当时,,,当时,,则当或6时,取得最大值,且其最大值为,B错误;
    对于C,
    ,故C正确,
    对于D,由,则,
    则数列中与数列中的项互为相反数的项依次为:,,,,,
    可以组成以为首项,为公差的等差数列,设该数列为,则,
    若,解可得,即两个数列共有670项互为相反数,D错误.
    故选:AC.
    10.(多选题)(2023·江苏盐城·统考三模)已知数列对任意的整数,都有,则下列说法中正确的有( )
    A.若,则
    B.若,,则
    C.数列可以是等差数列
    D.数列可以是等比数列
    【答案】BC
    【解析】若,
    当时,,
    解得,故A错;
    若,,
    当时,,
    解得,
    当时,,
    解得,

    根据递推关系可知,
    当为奇数,即时,
    ,故B正确;
    若,
    则成立,
    故数列可以是等差数列,即C正确;
    若数列是等比数列,假设公比为,
    则由,
    得,
    两式相除得,,
    即,
    解得,不符合题意,
    则假设不成立,故D错.
    故选:BC
    11.(多选题)(2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测)已知等差数列的公差为,前项和为,且,成等比数列,则( )
    A.B.
    C.当时,是的最大值D.当时,是的最小值
    【答案】ACD
    【解析】因为,,成等比数列,所以,即,
    整理得,因为,所以,
    所以,则,故A正确、B错误;
    当时单调递减,此时,
    所以当或时取得最大值,即,故C正确;
    当时单调递增,此时,
    所以当或时取得最小值,即,故D正确;
    故选:ACD
    12.(多选题)(2023·广东佛山·校考模拟预测)已知数列,下列结论正确的有( )
    A.若,,则
    B.若,,则
    C.若,则数列是等比数列
    D.若为等差数列的前项和,则数列为等差数列
    【答案】ABD
    【解析】对于选项A,由,得,
    则,故A项正确;
    对于选项B,由得,
    所以为等比数列,首项为,公比为2,
    所以,所以,故B项正确;
    对于选项C,因为,
    当时,,
    当时,,
    将代入,得,
    所以,所以数列不是等比数列,故C项错误.
    对于选项D,设等差数列的公差为d,
    由等差数列前项和公式可得,
    所以与n无关,
    所以数列为等差数列,故D项正确.
    故选:ABD.
    13.(2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模)南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”,在他的专著《详解九章算法·商功》中,杨辉将堆垛与相应立体图形作类比,推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式,例如三角垛指的是如图顶层放1个,第二层放3个,第三层放6个,第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛,则______.

    【答案】/
    【解析】依题意,在数列中,,
    当时,,满足上式,
    因此,,数列的前项和为,
    则,
    所以.
    故答案为:
    14.(2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测)设随机变量的分布列如下:
    其中,,…,构成等差数列,则 ___________.
    【答案】
    【解析】因为,,…,构成等差数列,
    所以,
    因为,所以,
    故答案为:
    15.(2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测)已知等差数列的前n项和为,公差d为奇数,且同时满足:①存在最大值;②;③.则数列的一个通项公式可以为______.(写出满足题意的一个通项公式)
    【答案】(答案不唯一)
    【解析】由得,即.
    因为数列是等差数列,所以由等差数列的性质可知.
    设等差数列的公差为d,则,.
    因为存在最大值,所以公差,又因为d为奇数且,
    故可取.当时,,;
    当时,,;
    当时,,.
    故答案为:(答案不唯一)
    16.(2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模)已知,,将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列,则______.
    【答案】
    【解析】因为数列是正奇数列,
    对于数列,当为奇数时,设,则为偶数;
    当为偶数时,设,则为奇数,
    所以,则,
    所以.
    故答案为:.
    17.(2023·湖南·校联考模拟预测)记等差数列的前n项和为,已知,.
    (1)求的通项公式;
    (2)设,数列的前n项和为,若,求m的值.
    【解析】(1)设的公差为d,因为,
    所以,解得,
    又,所以.
    所以.
    (2)因为,
    所以

    由,解得,
    所以.
    18.(2023·江苏·校联考模拟预测)设数列的前n项和为,且满足.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)证明:数列中的任意不同的三项均不能构成等差数列.
    【解析】(1)令,得.
    当时,①,
    又②,
    ①②两式相减,得,
    所以.
    所以数列是首项为-3,公比为2的等比数列,
    所以
    (2)假设数列中存在三项数列,,(其中)成等差数列,
    则,
    由(1)得,即,
    两边同时除以,得(*),
    因为(*)式右边为奇数,左边为偶数,
    所以(*)式不成立,假设不成立.
    所以数列中得任意不同的三项均不能构成等差数列.
    19.(2023·浙江·校联考模拟预测)已知正项等比数列和数列,满足是和的等差中项,.
    (1)证明:数列是等差数列,
    (2)若数列的前项积满足,记,求数列的前20项和.
    【解析】(1)由题知,是等比数列,
    设其公比为,
    由,
    可得:当时,,
    两式相减得,,
    故数列是等差数列.
    (2)由知:
    当时,,
    又,所以,
    由(1)设的公差为,
    则,
    由,
    则,,
    所以
    .
    即数列的前20项和为.
    20.(2023·安徽·校联考模拟预测)已知数列满足:,,,从第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列.
    (1)求;
    (2)设,若恒成立,求的取值范围.
    【解析】(1)由题意得,,,…,
    数列是以为首项,公差的等差数列,

    ,,,…,,
    将所有上式累加可得,.
    又也满足上式,.
    (2)由(1)得,,则,
    恒成立,,
    恒成立,,即的取值范围是.
    1.(2020•新课标Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)
    A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块
    【答案】
    【解析】方法一:设每一层有环,由题意可知,从内到外每环上扇面形石板数之间构成等差数列,上层中心的首项为,且公差,
    由等差数列的性质可得,,成等差数列,
    且,
    则,
    则,
    则三层共有扇面形石板块,
    方法二:设第环天心石块数为,第一层共有环,
    则是以9为首项,9为公差的等差数列,,
    设为的前项和,则第一层、第二层、第三层的块数分别为,,,
    下层比中层多729块,


    ,解得,

    故选:.
    2.(2020•北京)在等差数列中,,.记,2,,则数列
    A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项
    C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项
    【答案】
    【解析】设等差数列的公差为,由,,得,

    由,得,而,
    可知数列是单调递增数列,且前5项为负值,自第6项开始为正值.
    可知,,,为最大项,
    自起均小于0,且逐渐减小.
    数列有最大项,无最小项.
    故选:.
    3.(2022•上海)已知等差数列的公差不为零,为其前项和,若,则,2,,中不同的数值有 个.
    【答案】98.
    【解析】等差数列的公差不为零,为其前项和,,
    ,解得,

    ,,1,,中,
    ,,
    其余各项均不相等,
    ,,中不同的数值有:.
    故答案为:98.
    4.(2022•乙卷(文))记为等差数列的前项和.若,则公差 .
    【答案】2.
    【解析】,

    为等差数列,

    ,解得.
    故答案为:2.
    5.(2021•上海)已知等差数列的首项为3,公差为2,则 .
    【答案】21.
    【解析】因为等差数列的首项为3,公差为2,
    则.
    故答案为:21.
    6.(2020•上海)已知数列是公差不为零的等差数列,且,则 .
    【答案】.
    【解析】根据题意,等差数列满足,即,变形可得,
    所以.
    故答案为:.
    7.(2020•海南)将数列与的公共项从小到大排列得到数列,则的前项和为 .
    【答案】.
    【解析】将数列与的公共项从小到大排列得到数列,
    则是以1为首项、以6为公差的等差数列,
    故它的前项和为,
    故答案为:.
    8.(2021•新高考Ⅱ)记是公差不为0的等差数列的前项和,若,.
    (Ⅰ)求数列的通项公式;
    (Ⅱ)求使成立的的最小值.
    【解析】(Ⅰ)数列是公差不为0的等差数列的前项和,若,.
    根据等差数列的性质,,故,
    根据可得,
    整理得,可得不合题意),
    故.
    (Ⅱ),,

    ,即,
    整理可得,
    当或时,成立,
    由于为正整数,
    故的最小正值为7.
    9.(2021•甲卷(理))记为数列的前项和,已知,,且数列是等差数列,证明:是等差数列.
    【解析】证明:设等差数列的公差为,
    由题意得;,
    则,所以,
    所以①;
    当时,有②.
    由①②,得③,
    经检验,当时也满足③.
    所以,,
    当时,,
    所以数列是等差数列.
    10.(2021•乙卷)记为数列的前项和,为数列的前项积,已知.
    (1)证明:数列是等差数列;
    (2)求的通项公式.
    【解析】(1)证明:当时,,
    由,解得,
    当时,,代入,
    消去,可得,所以,
    所以是以为首项,为公差的等差数列.
    (2)由题意,得,
    由(1),可得,
    由,可得,
    当时,,显然不满足该式,
    所以.
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