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高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第03讲幂函数与二次函数(练习)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第03讲幂函数与二次函数(练习)(原卷版+解析)，共24页。
1．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·海南·模拟预测）已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·北京海淀·一模）设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·河南新乡·高三校联考开学考试）已知函数若的最小值为6，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
8．（2023·贵州毕节·统考二模）已知，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
9．（多选题）（2023·江苏·校联考模拟预测）若函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（多选题）（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．若，则D．若，则
11．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（ ）
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}
12．（多选题）（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）设二次函数的值域为，下列各值（或式子）中一定大于的有（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023·上海闵行·统考一模）已知二次函数的值域为，则函数的值域为______．
14．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的非常值函数______.
①在上恒成立；②是偶函数；③.
15．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 _______________________．
16．（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知二次函数（a，b为常数）满足，且方程有两等根，在上的最大值为，则的最大值为__________.
17．（2023·高三课时练习）已知是一元二次方程的两个实数根.
(1)是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)求使的值为整数的实数的整数值.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且函数的值域为.
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程有三个不同的实数根，求实数k的取值范围.
19．（2023·高三课时练习）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．
20．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知幂函数的定义域为R.
(1)求实数的值；
(2)若函数在上不单调，求实数的取值范围.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知在区间 上的值域为.
(1)求实数的值；
(2)若不等式 当上恒成立，求实数k的取值范围.
22．（2023·湖南长沙·高三校联考期中）已知函数在区间上有最大值2和最小值1.
(1)求的值；
(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
1．（2013·浙江·高考真题）已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ）
A．a>0，4a＋b＝0B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0D．a<0，2a＋b＝0
2．（2016·浙江·高考真题）已知函数，则“b＜0”是“的最小值与f(x)的最小值相等”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2015·四川·高考真题）如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为
A．16B．18C．25D．
4．（2015·陕西·高考真题）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A．是的零点B．1是的极值点
C．3是的极值D．点在曲线上
5．（2015·湖北·高考真题）为实数，函数在区间上的最大值记为. 当_________时，的值最小.
6．（2015·浙江·高考真题）已知函数，记是在区间上的最大值.
（1）证明：当时，；
（2）当，满足，求的最大值.
7．（2015·浙江·高考真题）设函数.
（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；
（2）已知函数在上存在零点，，求的取值范围.
第03讲 幂函数与二次函数
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以 图像与的图像关于轴对称，
由解析式，作出的图像如图
从而可得图像为B选项.
故选：B.
2．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为函数在区间上单调递增，
所以且在区间上恒成立，
所以，解得或.
故选：B
3．（2023·海南·模拟预测）已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由图象可知：，.
故选：C.
4．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为开口向下的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减；
为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减，且，因此函数在R上单调递减，则，即，
解得或，
所以实数的取值范围是。
故选：D
5．（2023·北京海淀·一模）设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题知，，
所以二次函数的图象不关于轴对称，故排除第一、二个函数图象，
当时，该二次函数的对称轴为，故第四个图象也不满足题意，
当时，该二次函数的对称轴为，开口向下，故第三个函数图象满足题意.
此时函数图象过坐标原点，故，解得，
由于，故.
故选：B
6．（2023·河南新乡·高三校联考开学考试）已知函数若的最小值为6，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为当时，，当且仅当时，等号成立，
所以当时，，当时，的最小值大于或等于6.
当时，在上单调递减，则.
由得；
当时，.
由得.
综合可得.
故选：C．
7．（2023·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】令，，则，
∴为奇函数．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
又∵在R上单调递增，
∴，即．
故选：B．
8．（2023·贵州毕节·统考二模）已知，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，根据指数函数在上单调递减得，
，根据幂函数在上单调递增知，则，
，根据对数函数在上单调递减得，
综上.
故选：D.
9．（多选题）（2023·江苏·校联考模拟预测）若函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】由幂函数的性质知， 在上单调递增.
因为,所以，即，，
所以．故A正确；
令，则，故B错误；
令，则
由函数单调性的性质知，在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，所以，即，于是有，故C正确；
令，则，
所以因为，故D错误．
故选：AC.
10．（多选题）（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【解析】将点代入函数得：，则.
所以，显然在定义域上为减函数，所以A错误；
，所以为偶函数，所以B正确；
当时，，即，所以C错误；
当若时，
假设，整理得
，化简得，，
即证明成立，
利用基本不等式，，因为，故等号不成立，成立；
即成立，所以D正确.
故选：BD.
11．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（ ）
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}
【答案】BCD
【解析】方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是，解得，A错误；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是，解得，B正确；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是，解得，C正确；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的充要条件是，解得，
，故必要条件是m∈{m|m>1}，故D正确.
故选：BCD.
12．（多选题）（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）设二次函数的值域为，下列各值（或式子）中一定大于的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】因为二次函数的值域为，
所以，所以，解得，
所以
，
由于，，当且仅当时取等号，
所以，
对于A：，故A 错误；
对于B：，故B正确；
对于C：令，则，故C错误；
对于D：，
，故D正确；
故选：BD
13．（2023·上海闵行·统考一模）已知二次函数的值域为，则函数的值域为______．
【答案】
【解析】由二次函数的值域为得：
解得：或（舍去）
所以
因为
所以函数的值域为：
故答案为：.
14．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的非常值函数______.
①在上恒成立；②是偶函数；③.
【答案】（答案不唯一，形如均可）
【解析】由②知，函数可以是奇函数，由①知，函数在上可以是减函数，
由③结合①②，令，显然，满足①；是偶函数，满足②；
，满足③，
所以.
故答案为：
15．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 _______________________．
【答案】
【解析】因为，所以，设幂函数，
因为幂函数 的图象经过，
所以，
因此，
故答案为：
16．（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知二次函数（a，b为常数）满足，且方程有两等根，在上的最大值为，则的最大值为__________.
【答案】1
【解析】已知方程有两等根，即有两等根，
，解得；
，得，是函数图象的对称轴.
而此函数图象的对称轴是直线，，
故，
若在上的最大值为，
当时，在上是增函数，，
当时，在上是增函数，在上是减函数，，
综上，的最大值为1.
故答案为：1.
17．（2023·高三课时练习）已知是一元二次方程的两个实数根.
(1)是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)求使的值为整数的实数的整数值.
【解析】（1）假设存在实数，使得成立，
一元二次方程的两个实数根，
，(不要忽略判别式的要求)，
由韦达定理得，
，
但，
不存在实数，使得成立.
（2），
要使其值是整数，只需要能被整除，
故，即，
，
.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且函数的值域为.
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程有三个不同的实数根，求实数k的取值范围.
【解析】（1）由题意知，，即，解得.
（2）由在上恒成立，可化为在恒成立；
令，由，可得，
则在上恒成立.
记，函数在上单调递减，所以.
所以，解得，所以实数m的取值范围是.
（3）方程有三个不同的实数根，
可化为有三个不同根.
令，则.当时，且递减，
当时，且递增，当时，，
当时，且递增.
设有两个不同的实数根且.
原方程有3个不同实数根等价于或.
记，则或
解得.
综上，实数k的取值范围是.
19．（2023·高三课时练习）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．
【解析】因为函数在上是严格减函数，所以，解得．
由m为正整数，则或,
又函数的图像关于y轴对称，得是偶函数，
而当时，，为奇函数，不符题意，
当时，，为偶函数，于是．
因为为奇函数，在与上均为严格减函数，
所以等价于或或，
解得或，即.
20．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知幂函数的定义域为R.
(1)求实数的值；
(2)若函数在上不单调，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意且，解得；
（2）由（1），的对称轴 ，
因为在上不单调，所以，
解得．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知在区间 上的值域为.
(1)求实数的值；
(2)若不等式 当上恒成立，求实数k的取值范围.
【解析】（1）函数 是开口向上，对称轴为 的二次函数，根据 的图像有：
当 时， 在 上的最小值 ，
不符合 ，舍；
当 时， 在 上的最小值 或 （舍），
， ，满足题意；
当 时， 在 上的最小值 （舍），
；
（2）由(1)， ，不等式为 ，
即 ，令 ，则 ， 在 时恒成立，
令 ，是对称轴为 开口向上的抛物线，在 时单调递减，
， ，即k的取值范围是 ；
综上， .
22．（2023·湖南长沙·高三校联考期中）已知函数在区间上有最大值2和最小值1.
(1)求的值；
(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
【解析】（1）由已知可得.
当时，在上为增函数，所以，解得；
当时，在上为减函数，所以，解得.
由于，所以.
（2）由（1）知，
所以在上恒成立，即，
因为，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
又，当且仅当时取等号.
所以，即.
所以求实数的范围为.
（3）方程化为，
化为，且.
令，则方程化为.
作出的函数图象
因为方程有三个不同的实数解，
所以有两个根，
且一个根大于0小于1，一个根大于等于1.
设，
记，
根据二次函数的图象与性质可得
，或，
解得.
所以实数的取值范围为.
1．（2013·浙江·高考真题）已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ）
A．a>0，4a＋b＝0B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0D．a<0，2a＋b＝0
【答案】A
【解析】由f (0)＝f （4），得f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，
又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x)先减后增，于是a>0，
故选：A.
2．（2016·浙江·高考真题）已知函数，则“b＜0”是“的最小值与f(x)的最小值相等”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意知，最小值为．
令，则，
当时，的最小值为，所以“”能推出“的最小值与的最小值相等”；
当时，的最小值为0，的最小值也为0，所以“的最小值与的最小值相等”不能推出“”．故选A．
考点：充分必要条件．
3．（2015·四川·高考真题）如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为
A．16B．18C．25D．
【答案】B
【解析】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B..
4．（2015·陕西·高考真题）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A．是的零点B．1是的极值点
C．3是的极值D．点在曲线上
【答案】A
【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．
5．（2015·湖北·高考真题）为实数，函数在区间上的最大值记为. 当_________时，的值最小.
【答案】．
【解析】因为函数，所以分以下几种情况对其进行讨论：
①当时，函数在区间上单调递增，所以；
②当时，此时
，，而，所以；
③当时，在区间上递增，在上递减．当时，取得最大值；
④当时，在区间上递增，当时，取得最大值，
则在上递减，上递增，即当
时，的值最小．
故答案为：．
6．（2015·浙江·高考真题）已知函数，记是在区间上的最大值.
（1）证明：当时，；
（2）当，满足，求的最大值.
【解析】（1）由，得对称轴为直线，由，得
，故在上单调，∴，当时，由
，得，即，当时，由
，得，即，综上，当时，
；（2）由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为..
7．（2015·浙江·高考真题）设函数.
（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；
（2）已知函数在上存在零点，，求的取值范围.
【解析】（1）当时，，故其对称轴为.
当时，.
当时，.
当时，.
综上，
（2）设为方程的解，且，则.
由于，因此.
当时，，
由于和，
所以.
当时，，
由于和，所以.
综上可知，的取值范围是.
考点：1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.
1．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·海南·模拟预测）已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·北京海淀·一模）设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·河南新乡·高三校联考开学考试）已知函数若的最小值为6，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
8．（2023·贵州毕节·统考二模）已知，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
9．（多选题）（2023·江苏·校联考模拟预测）若函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（多选题）（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．若，则D．若，则
11．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（ ）
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0
12．（多选题）（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）设二次函数的值域为，下列各值（或式子）中一定大于的有（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023·上海闵行·统考一模）已知二次函数的值域为，则函数的值域为______．
14．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的非常值函数______.
①在上恒成立；②是偶函数；③.
15．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 _______________________．
16．（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知二次函数（a，b为常数）满足，且方程有两等根，在上的最大值为，则的最大值为__________.
17．（2023·高三课时练习）已知是一元二次方程的两个实数根.
(1)是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)求使的值为整数的实数的整数值.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且函数的值域为.
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程有三个不同的实数根，求实数k的取值范围.
19．（2023·高三课时练习）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．
20．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知幂函数的定义域为R.
(1)求实数的值；
(2)若函数在上不单调，求实数的取值范围.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知在区间 上的值域为.
(1)求实数的值；
(2)若不等式 当上恒成立，求实数k的取值范围.
22．（2023·湖南长沙·高三校联考期中）已知函数在区间上有最大值2和最小值1.
(1)求的值；
(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
1．（2013·浙江·高考真题）已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ）
A．a>0，4a＋b＝0B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0D．a<0，2a＋b＝0
2．（2016·浙江·高考真题）已知函数，则“b＜0”是“的最小值与f(x)的最小值相等”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2015·四川·高考真题）如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为
A．16B．18C．25D．
4．（2015·陕西·高考真题）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A．是的零点B．1是的极值点
C．3是的极值D．点在曲线上
5．（2015·湖北·高考真题）为实数，函数在区间上的最大值记为. 当_________时，的值最小.
6．（2015·浙江·高考真题）已知函数，记是在区间上的最大值.
（1）证明：当时，；
（2）当，满足，求的最大值.
7．（2015·浙江·高考真题）设函数.
（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；
（2）已知函数在上存在零点，，求的取值范围.
第03讲 幂函数与二次函数
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以 图像与的图像关于轴对称，
由解析式，作出的图像如图
从而可得图像为B选项.
故选：B.
2．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为函数在区间上单调递增，
所以且在区间上恒成立，
所以，解得或.
故选：B
3．（2023·海南·模拟预测）已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由图象可知：，.
故选：C.
4．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为开口向下的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减；
为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减，且，因此函数在R上单调递减，则，即，
解得或，
所以实数的取值范围是。
故选：D
5．（2023·北京海淀·一模）设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题知，，
所以二次函数的图象不关于轴对称，故排除第一、二个函数图象，
当时，该二次函数的对称轴为，故第四个图象也不满足题意，
当时，该二次函数的对称轴为，开口向下，故第三个函数图象满足题意.
此时函数图象过坐标原点，故，解得，
由于，故.
故选：B
6．（2023·河南新乡·高三校联考开学考试）已知函数若的最小值为6，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为当时，，当且仅当时，等号成立，
所以当时，，当时，的最小值大于或等于6.
当时，在上单调递减，则.
由得；
当时，.
由得.
综合可得.
故选：C．
7．（2023·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】令，，则，
∴为奇函数．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
又∵在R上单调递增，
∴，即．
故选：B．
8．（2023·贵州毕节·统考二模）已知，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，根据指数函数在上单调递减得，
，根据幂函数在上单调递增知，则，
，根据对数函数在上单调递减得，
综上.
故选：D.
9．（多选题）（2023·江苏·校联考模拟预测）若函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】由幂函数的性质知， 在上单调递增.
因为,所以，即，，
所以．故A正确；
令，则，故B错误；
令，则
由函数单调性的性质知，在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，所以，即，于是有，故C正确；
令，则，
所以因为，故D错误．
故选：AC.
10．（多选题）（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【解析】将点代入函数得：，则.
所以，显然在定义域上为减函数，所以A错误；
，所以为偶函数，所以B正确；
当时，，即，所以C错误；
当若时，
假设，整理得
，化简得，，
即证明成立，
利用基本不等式，，因为，故等号不成立，成立；
即成立，所以D正确.
故选：BD.
11．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（ ）
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0
【答案】BCD
【解析】方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是，解得，A错误；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是，解得，B正确；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是，解得，C正确；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的充要条件是，解得，
，故必要条件是m∈{m|m>1}，故D正确.
故选：BCD.
12．（多选题）（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）设二次函数的值域为，下列各值（或式子）中一定大于的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】因为二次函数的值域为，
所以，所以，解得，
所以
，
由于，，当且仅当时取等号，
所以，
对于A：，故A 错误；
对于B：，故B正确；
对于C：令，则，故C错误；
对于D：，
，故D正确；
故选：BD
13．（2023·上海闵行·统考一模）已知二次函数的值域为，则函数的值域为______．
【答案】
【解析】由二次函数的值域为得：
解得：或（舍去）
所以
因为
所以函数的值域为：
故答案为：.
14．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的非常值函数______.
①在上恒成立；②是偶函数；③.
【答案】（答案不唯一，形如均可）
【解析】由②知，函数可以是奇函数，由①知，函数在上可以是减函数，
由③结合①②，令，显然，满足①；是偶函数，满足②；
，满足③，
所以.
故答案为：
15．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 _______________________．
【答案】
【解析】因为，所以，设幂函数，
因为幂函数 的图象经过，
所以，
因此，
故答案为：
16．（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知二次函数（a，b为常数）满足，且方程有两等根，在上的最大值为，则的最大值为__________.
【答案】1
【解析】已知方程有两等根，即有两等根，
，解得；
，得，是函数图象的对称轴.
而此函数图象的对称轴是直线，，
故，
若在上的最大值为，
当时，在上是增函数，，
当时，在上是增函数，在上是减函数，，
综上，的最大值为1.
故答案为：1.
17．（2023·高三课时练习）已知是一元二次方程的两个实数根.
(1)是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)求使的值为整数的实数的整数值.
【解析】（1）假设存在实数，使得成立，
一元二次方程的两个实数根，
，(不要忽略判别式的要求)，
由韦达定理得，
，
但，
不存在实数，使得成立.
（2），
要使其值是整数，只需要能被整除，
故，即，
，
.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且函数的值域为.
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程有三个不同的实数根，求实数k的取值范围.
【解析】（1）由题意知，，即，解得.
（2）由在上恒成立，可化为在恒成立；
令，由，可得，
则在上恒成立.
记，函数在上单调递减，所以.
所以，解得，所以实数m的取值范围是.
（3）方程有三个不同的实数根，
可化为有三个不同根.
令，则.当时，且递减，
当时，且递增，当时，，
当时，且递增.
设有两个不同的实数根且.
原方程有3个不同实数根等价于或.
记，则或
解得.
综上，实数k的取值范围是.
19．（2023·高三课时练习）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．
【解析】因为函数在上是严格减函数，所以，解得．
由m为正整数，则或,
又函数的图像关于y轴对称，得是偶函数，
而当时，，为奇函数，不符题意，
当时，，为偶函数，于是．
因为为奇函数，在与上均为严格减函数，
所以等价于或或，
解得或，即.
20．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知幂函数的定义域为R.
(1)求实数的值；
(2)若函数在上不单调，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意且，解得；
（2）由（1），的对称轴 ，
因为在上不单调，所以，
解得．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知在区间 上的值域为.
(1)求实数的值；
(2)若不等式 当上恒成立，求实数k的取值范围.
【解析】（1）函数 是开口向上，对称轴为 的二次函数，根据 的图像有：
当 时， 在 上的最小值 ，
不符合 ，舍；
当 时， 在 上的最小值 或 （舍），
， ，满足题意；
当 时， 在 上的最小值 （舍），
；
（2）由(1)， ，不等式为 ，
即 ，令 ，则 ， 在 时恒成立，
令 ，是对称轴为 开口向上的抛物线，在 时单调递减，
， ，即k的取值范围是 ；
综上， .
22．（2023·湖南长沙·高三校联考期中）已知函数在区间上有最大值2和最小值1.
(1)求的值；
(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
【解析】（1）由已知可得.
当时，在上为增函数，所以，解得；
当时，在上为减函数，所以，解得.
由于，所以.
（2）由（1）知，
所以在上恒成立，即，
因为，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
又，当且仅当时取等号.
所以，即.
所以求实数的范围为.
（3）方程化为，
化为，且.
令，则方程化为.
作出的函数图象
因为方程有三个不同的实数解，
所以有两个根，
且一个根大于0小于1，一个根大于等于1.
设，
记，
根据二次函数的图象与性质可得
，或，
解得.
所以实数的取值范围为.
1．（2013·浙江·高考真题）已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ）
A．a>0，4a＋b＝0B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0D．a<0，2a＋b＝0
【答案】A
【解析】由f (0)＝f （4），得f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，
又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x)先减后增，于是a>0，
故选：A.
2．（2016·浙江·高考真题）已知函数，则“b＜0”是“的最小值与f(x)的最小值相等”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意知，最小值为．
令，则，
当时，的最小值为，所以“”能推出“的最小值与的最小值相等”；
当时，的最小值为0，的最小值也为0，所以“的最小值与的最小值相等”不能推出“”．故选A．
考点：充分必要条件．
3．（2015·四川·高考真题）如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为
A．16B．18C．25D．
【答案】B
【解析】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B..
4．（2015·陕西·高考真题）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A．是的零点B．1是的极值点
C．3是的极值D．点在曲线上
【答案】A
【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．
5．（2015·湖北·高考真题）为实数，函数在区间上的最大值记为. 当_________时，的值最小.
【答案】．
【解析】因为函数，所以分以下几种情况对其进行讨论：
①当时，函数在区间上单调递增，所以；
②当时，此时
，，而，所以；
③当时，在区间上递增，在上递减．当时，取得最大值；
④当时，在区间上递增，当时，取得最大值，
则在上递减，上递增，即当
时，的值最小．
故答案为：．
6．（2015·浙江·高考真题）已知函数，记是在区间上的最大值.
（1）证明：当时，；
（2）当，满足，求的最大值.
【解析】（1）由，得对称轴为直线，由，得
，故在上单调，∴，当时，由
，得，即，当时，由
，得，即，综上，当时，
；（2）由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为..
7．（2015·浙江·高考真题）设函数.
（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；
（2）已知函数在上存在零点，，求的取值范围.
【解析】（1）当时，，故其对称轴为.
当时，.
当时，.
当时，.
综上，
（2）设为方程的解，且，则.
由于，因此.
当时，，
由于和，
所以.
当时，，
由于和，所以.
综上可知，的取值范围是.
考点：1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.
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