高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第05讲对数与对数函数(练习)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第05讲对数与对数函数(练习)(原卷版+解析)，共25页。

1．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023·安徽·校联考模拟预测）19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则的值为（）
A．2B．3C．4D．5
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，，有以下命题：①；②；③；④．其中正确命题的序号是（ ）
A．②③B．①③C．①④D．②④
4．（2023·河北石家庄·统考三模）18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当很大时，（常数）.利用以上公式，可以估计的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·安徽黄山·统考三模）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
7．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知函数，若方程有解，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·天津滨海新·统考三模）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．当时，
D．若，则
10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，现有下面四个命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
11．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象如下所示．函数的图象上有两个不同的点，，则（ ）
A．，B．在上是奇函数
C．在上是单调递增函数D．当时，
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设定义在上且，则______．
14．（2023·全国·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；②当时，（为的导函数）；③函数的图象关于点对称．
15．（2023·天津和平·统考二模）设，，，若，，则的最大值为__________．
16．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数，若，且，则实数的取值范围是__________．
17．（2023·全国·高三专题练习）求值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
(5)2lg32－lg3＋lg38－；
(6)(lg2125＋lg425＋lg85)·(lg52＋lg254＋lg1258).
(7)lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1；
(8)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；
(9)(lg32＋lg92)·(lg43＋lg83)；
(10)2lg32－lg3＋lg38－3lg55；
18．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算；
（2）已知，求实数x的值；
（3）若，，用a，b，表示．
19．（2023·四川成都·统考二模）已知函数
(1)当时，求函数的定义域；
(2)当函数的值域为R时，求实数的取值范围.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，有意义时的取值范围为，其中为实数．
(1)求的值；
(2)写出函数的单调区间，并求函数的最大值．
21．（2023·海南省直辖县级单位·校联考一模）已知函数为奇函数．
(1)求常数的值；
(2)当时，判断的单调性；
(3)若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围．
22．（2023·高三课时练习）已知函数的定义域为，值域为，且函数为上的严格减函数，求实数a的取值范围.
1．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
2．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
4．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·天津·统考高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．（2020·全国·统考高考真题）Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
7．（2020·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2020·全国·统考高考真题）设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
9．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．
10．（2020·山东·统考高考真题）若，则实数的值是______.
11．（2020·北京·统考高考真题）函数的定义域是____________．
第05讲 对数与对数函数
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】的解集是，反之不成立.
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B
2．（2023·安徽·校联考模拟预测）19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则的值为（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】依题意，得
，
又，故．
故选：B．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，，有以下命题：①；②；③；④．其中正确命题的序号是（ ）
A．②③B．①③C．①④D．②④
【答案】B
【解析】因为，，
所以，，
所以，即：
所以，故①正确，②错误；
又因为，
所以，
所以，即：，
所以，故③正确，④错误．
故选：B.
4．（2023·河北石家庄·统考三模）18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当很大时，（常数）.利用以上公式，可以估计的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意,
所以,
故选：C．
5．（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，
因为函数在区间存在零点，
所以，即，解得，
所以实数m的取值范围是.
故选：B.
6．（2023·安徽黄山·统考三模）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】令，，
若在上单调递增，
因为是上的增函数，
则需使是上的增函数且，
则且，解得.
因为⫋，故是的必要不充分条件，
故选：C.
7．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知函数，若方程有解，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
（当且仅当，也即时取等号）
∴，
故选：C.
8．（2023·天津滨海新·统考三模）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【解析】由知,
结合，以及换底公式可知，
，
当且仅当，，
即时等号成立，
即时等号成立，
故的最小值为，
故选：B.
9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．当时，
D．若，则
【答案】BC
【解析】，A错；，B正确；
当时，，C正确；
时，，所以，D错．
故选：BC．
10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，现有下面四个命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AB
【解析】当时，由，可得，则，此时，所以A正确；
当时，由，可得，
则，所以B正确.
故选：AB.
11．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象如下所示．函数的图象上有两个不同的点，，则（ ）
A．，B．在上是奇函数
C．在上是单调递增函数D．当时，
【答案】BCD
【解析】对于A，由图像可知，函数（且）在上单调递增，所以，因为经过，所以，所以，，故A错误.
对于B，，定义域关于原点对称，，所以在上是奇函数，故B正确.
对于C，对于，由题意不妨令，则，因为，，所以，即，所以在上是单调递增函数，故C正确.
对于D，，因为，，所以，所以，当且仅当时等号成立，即当时，成立，故D正确.
故选：BCD
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】令、，则、，
在同一坐标系中分别绘出函数、、的图像，
因为函数的零点为，函数的零点为，
所以，，解方程组，
因为函数与互为反函数，
所以由反函数性质知、关于对称，
则，，所以，
当且仅当a=b=1时，等号成立，所以A、D错误，B、C正确.
故选：BC
13．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设定义在上且，则______．
【答案】
【解析】因为，
所以，
，
同理可得.
故答案为：
14．（2023·全国·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；②当时，（为的导函数）；③函数的图象关于点对称．
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为，，
因此满足性质①；
若，则当时，，则，
当时，，有，因此满足性质②；
当时，，则，
当时，，有，
当时，，有，
于是，，即函数的图象关于点对称，
因此函数满足性质③，
所以具有性质①②③的函数可以为．
故答案为：
15．（2023·天津和平·统考二模）设，，，若，，则的最大值为__________．
【答案】3
【解析】因为，所以，.
又，，
所以，.
因为，，根据基本不等式有，
当且仅当，即，时等号成立，
所以.
则，
所以的最大值为.
故答案为：.
16．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数，若，且，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，
且，
所以为偶函数，设，而为奇函数，奇函数偶函数奇函数，
所以函数为奇函数，关于原点对称，
设，则，
因为，
所以即为上的增函数，
故在上单调递增，
因为，所以1，解得，
实数的取值范围为．
故答案为：
17．（2023·全国·高三专题练习）求值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
(5)2lg32－lg3＋lg38－；
(6)(lg2125＋lg425＋lg85)·(lg52＋lg254＋lg1258).
(7)lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1；
(8)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；
(9)(lg32＋lg92)·(lg43＋lg83)；
(10)2lg32－lg3＋lg38－3lg55；
【解析】(1)原式.
(2)
(3)原式=.
(4)原式==.
(5)原式＝2lg32－5lg32＋2＋3lg32－3＝－1.
(6)原式
.
(7)原式＝
(8)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.
(9)(lg32＋lg92)·(lg43＋lg83)＝·＝·
＝·＝.
(10)
2lg32－lg3＋lg38－3lg55＝lg322＋lg3(32×2－5)＋lg323－3＝lg3(22×32×2－5×23)－3
＝lg332－3＝2－3＝－1.
18．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算；
（2）已知，求实数x的值；
（3）若，，用a，b，表示．
【解析】（1）原式=；
（2）因为，所以，所以，所以x=109；
（3）因为，所以，所以
．
19．（2023·四川成都·统考二模）已知函数
(1)当时，求函数的定义域；
(2)当函数的值域为R时，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，令，
即①，或②，或③，
解①得：，解②得：，解③得：，
所以定义域为；
（2）因为的值域为R，
故能取遍所有正数，
由绝对值三角不等式，
故，所以，故实数的取值范围是.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，有意义时的取值范围为，其中为实数．
(1)求的值；
(2)写出函数的单调区间，并求函数的最大值．
【解析】（1）因为有意义时的取值范围为，
所以的解集为，
所以和是方程的两根．
由韦达定理可得，解得．
（2）由（1）知，，
令，
因为为增函数，且在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时 ，取得最大值
21．（2023·海南省直辖县级单位·校联考一模）已知函数为奇函数．
(1)求常数的值；
(2)当时，判断的单调性；
(3)若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围．
【解析】（1）由，即，
所以，故，则，
当时，显然不成立，经验证：符合题意；
所以；
（2）单调递增
由（1）知：，若，
则，
而，即，
所以，故单调递增.
（3）由，令，
所以，由（2）知：在上递增，而在上递减，
所以在上递减，则.
又在区间上无解，故
22．（2023·高三课时练习）已知函数的定义域为，值域为，且函数为上的严格减函数，求实数a的取值范围.
【解析】由题意有 ， 得或，
由且，则，
又∵已知函数的定义域为，∴．
为上的严格减函数，函数 在其定义域上为增函数，
则函数在定义域内为减函数，有；
函数的定义域为，值域为，
则有 且 ，
说明是方程 的两个相异实数根，且，
即方程在区间（3，+∞）内有两相异实根．
设，
则有 ，解得 ，
又因为，
综上可得： ，即实数a的取值范围为.
1．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
2．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
3．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【答案】C
【解析】由，当时，，
则.
故选：C.
4．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
故选：D
5．（2020·天津·统考高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
，
，
所以.
故选：D.
6．（2020·全国·统考高考真题）Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
【答案】C
【解析】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
7．（2020·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得，所以，
所以有，
故选：B.
8．（2020·全国·统考高考真题）设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
9．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．
【答案】 ； ．
【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
10．（2020·山东·统考高考真题）若，则实数的值是______.
【答案】
【解析】，
即，解得：.
故答案为：
11．（2020·北京·统考高考真题）函数的定义域是____________．
【答案】
【解析】由题意得，
故答案为：