高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第五章平面向量与复数(测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第五章平面向量与复数(测试)(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知，，若与模相等，则=（ ）.
A．3B．4C．5D．6
2．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知向量，若与共线，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在中，，，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·陕西商洛·统考三模）已知两个单位向量，的夹角为150°，则（ ）
A．7B．3C．D．1
5．（2023·全国·校联考三模）将向量绕坐标原点O顺时针旋转得到，则（ ）
A．0B．C．2D．
6．（2023·全国·校联考三模）已知向量，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．B．C．5D．
7．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知平面向量 ，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若，，则B．若与共线且模长相等，则
C．若且与方向相同，则D．恒成立
10．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知向量，满足且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
12．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在直角梯形中，为中点，分别为线段的两个三等分点，点为线段上任意一点，若，则的值可能是（ ）

A．1B．C．D．3
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知向量，，，若，则______．
14．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在中，，点是的中点.若存在实数使得，则__________（请用数字作答）.
15．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）在中，，，的平分线交BC于点D，若，则______．
16．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知点是以为直径的圆上任意一点，且，则的取值范围是______________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·河南许昌·高三校考期末）已知向量，．
(1)求；
(2)已知，且，求向量与向量的夹角．
18．（12分）
（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，．
(1)若点A，B，C三点共线，求实数x，y满足的关系；
(2)若x=1且为钝角，求实数y的取值范围．
19．（12分）
（2023·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知向量：.
(1)求与的模长.
(2)求与的数量积.
(3)求与的夹角的余弦值.
(4)借助向量和单位圆求证：
20．（12分）
（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求C的大小；
(2)若点D满足，，，求c．
21．（12分）
（2023·四川广元·高一广元中学校考期中）已知H是内的一点，．
(1)若H是的外心，求∠BAC；
(2)若H是的垂心，求∠BAC的余弦值．
22．（12分）
（2023·山东聊城·高一统考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上动点，EF交AD于．已知，且．

(1)求边的长度；
(2)若，求的余弦值；
(3)在（2）的条件下，若，求的取值范围．
第五章 平面向量与复数（测试）
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知，，若与模相等，则=（ ）.
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】因为，所以，
故，而又已知，且，
所以，解得.
故选：C
2．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知向量，若与共线，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】 ，；
故选：D.
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在中，，，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，可知分别为的中点，所以,
故选：B
4．（2023·陕西商洛·统考三模）已知两个单位向量，的夹角为150°，则（ ）
A．7B．3C．D．1
【答案】D
【解析】，
所以．
故选:D.
5．（2023·全国·校联考三模）将向量绕坐标原点O顺时针旋转得到，则（ ）
A．0B．C．2D．
【答案】D
【解析】根据题意可知．
故选：D
6．（2023·全国·校联考三模）已知向量，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．B．C．5D．
【答案】B
【解析】由题知，向量，所以.
又，所以向量在向量方向上的投影为.
故选:B.
7．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知平面向量 ，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，，
∵，解得：，
∴两向量夹角，
∵，
以为坐标原点, ,垂直于所在直线为,轴建立平面直角坐标系, 如图所示,
则, 设, 由, 知,
解得,
∴
又E为的外心，
∴，
∴为等边三角形,
∴，
∴,
∴.
故选：B.
8．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】C
【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则的方向与的角平分线一致，
由，可得，
即，
所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，
故点P的轨迹一定经过的内心.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若，，则B．若与共线且模长相等，则
C．若且与方向相同，则D．恒成立
【答案】ABC
【解析】对于A选项，取，因为，，则、不一定共线，A错；
对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错；
对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；
对于D选项，恒成立，D对.
故选：ABC.
10．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知向量，满足且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】因为，所以；
因为，所以，所以，故C错误，D正确；
因为，所以，A正确；
因为，所以，B错误；
故选：AD.
11．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
【答案】AC
【解析】对于A，因为，，所以，所以，A正确；
对于B，因为，所以，
所以，又，，
所以，所以，B错误；
对于C，由可得，，
所以，所以，由，，
可得，所以，所以，，
所以，C正确；
对于D，由向量与的夹角为锐角，可得，且向量与不共线，
所以，且，所以实数的取值范围是，D错误；
故选：AC.
12．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在直角梯形中，为中点，分别为线段的两个三等分点，点为线段上任意一点，若，则的值可能是（ ）

A．1B．C．D．3
【答案】AB
【解析】

如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设，则，
则
设，则
∵，
∴，
∴整理得，
因为，所以
故选：AB.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知向量，，，若，则______．
【答案】9
【解析】因为，，
所以，解得，
则，．
故答案为：9.
14．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在中，，点是的中点.若存在实数使得，则__________（请用数字作答）.
【答案】
【解析】因为是的中点，所以
因为，所以，
所以，所以，即.
故答案为：.
15．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）在中，，，的平分线交BC于点D，若，则______．
【答案】/
【解析】在中，，，则，又平分，即有，

因此，即有，，整理得，
而，且不共线，于是，
所以.
故答案为：
16．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知点是以为直径的圆上任意一点，且，则的取值范围是______________．
【答案】
【解析】依题意，以为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，如图，

则，
因为点是以为直径的圆上任意一点，故可设，
则，所以，
因为，所以，则，
故，即的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·河南许昌·高三校考期末）已知向量，．
(1)求；
(2)已知，且，求向量与向量的夹角．
【解析】（1）由题知，，
所以，
所以.
（2）由题知，，，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
向量与向量的夹角为.
18．（12分）
（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，．
(1)若点A，B，C三点共线，求实数x，y满足的关系；
(2)若x=1且为钝角，求实数y的取值范围．
【解析】（1）因为A，B，C三点共线，即，
，，所以，
即；
（2）因为为钝角，所以且，不共线，
由（1）得：当，且时，，
因为，不共线，所以，
，，
，
解得：，
所以且.
19．（12分）
（2023·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知向量：.
(1)求与的模长.
(2)求与的数量积.
(3)求与的夹角的余弦值.
(4)借助向量和单位圆求证：
【解析】（1）向量，则.
（2）向量，则.
（3）由（1）（2）知，与的夹角的余弦值.
（4）令角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆分别交于点，

则，即，
存在，使得或
于是，
所以.
20．（12分）
（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求C的大小；
(2)若点D满足，，，求c．
【解析】（1）由正弦定理得，
所以，
展开得，
即．
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）因为，所以A为CD的中点，又，所以．
由题可知，，所以，则，
解得，，所以，即．
21．（12分）
（2023·四川广元·高一广元中学校考期中）已知H是内的一点，．
(1)若H是的外心，求∠BAC；
(2)若H是的垂心，求∠BAC的余弦值．
【解析】（1）设为的中点，为中点，
是的外心，所以，
点H在边和的垂直平分线上，，
，
，
即①，同理，
可得②，
联立①②得，而，则，
，.

（2）是的垂心，，即，
，
化简得，①
同理
，
化简得，②，
联立①②得，则，，
则.

22．（12分）
（2023·山东聊城·高一统考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上动点，EF交AD于．已知，且．

(1)求边的长度；
(2)若，求的余弦值；
(3)在（2）的条件下，若，求的取值范围．
【解析】（1）由已知，
由正弦定理角化边可得，.
由余弦定理角化边可得，，
整理可得，，即.
因为，所以．
（2）因为为中点，所以.
设，的夹角为，
则.
又，
所以，
整理可得，
解得或.
又，所以，，
所以，所以的余弦值为．
（3）由（2）可得，.
由已知可设，，，
所以，，，.
因为，所以.
由可得，，即.
由G，E，F三点共线，得，即.
所以
.
因为，所以，
即，所以，
所以，即，即，
所以，
所以，所以的取值范围为．