高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第07讲函数与方程(练习)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第07讲函数与方程(练习)(原卷版+解析)，共22页。
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）函数在区间上的零点个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）设表示m，n中的较小数．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（2023·江西赣州·统考一模）已知函数，则方程的实根个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数 若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数，若方程在上恰有5个不同实根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·山东·校联考模拟预测）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映祇着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数的图像来刻画，满足关于的方程恰有三个不同的实数根，且（其中），则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知定义域为的函数满足不恒为零，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．的图像关于直线对称D．在[0，10]上有6个零点
10．（多选题）（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
11．（多选题）（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．存在，使得函数为奇函数
C．任意，
D．函数有且仅有2个零点
12．（多选题）（2023·湖北·校联考三模）已知函数和都是偶函数，当时，，则下列正确的结论是（ ）
A．当时，
B．若函数在区间上有两个零点、，则有
C．函数在上的最小值为
D．
13．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知幂函数的图像过点，则函数的零点为________．
14．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）已知 且，方程有且仅有两个不等根，则的取值范围为______
15．（2023·广东深圳·统考一模）定义开区间的长度为．经过估算，函数的零点属于开区间____________（只要求写出一个符合条件，且长度不超过的开区间）．
16．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数，若存在四个不相等的实根，，，，则的最小值是__________．
1．（2020·天津·统考高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则
A．B．
C．D．
3．（2014·山东·高考真题）已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
4．（2018·全国·高考真题）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
5．（2013·湖南·高考真题）函数的图象与函数的图象的交点个数为
A．3B．2C．1D．0
6．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.
7．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
8．（2022·北京·统考高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
第07讲 函数与方程
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）函数在区间上的零点个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】求函数在区间上的零点个数，
转化为方程在区间上的根的个数.
由，得或，
解得：或或，
所以函数在区间上的零点个数为3.
故选：A.
2．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）设表示m，n中的较小数．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得有解，
所以，解得或，
当时，必有，解得；
当时，必有，不等式组无解，
综上所述，，∴的取值范围为.
故选：A
3．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】恰有两个零点,即恰有两个实数根，由于，所以恰有两个实数根等价于恰有两个实数根，
令，则，
当时，，故当此时单调递增，当，此时单调递减，故当时，取极小值也是最小值，且当时，，
当时，，且单调递增，
在直角坐标系中画出的大致图象如图：
要使有两个交点，则，
故选：D
4．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】由，
得，又，所以，
所以或
解得或.
所以函数在的零点个数是2.
故选：A.
5．（2023·江西赣州·统考一模）已知函数，则方程的实根个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】，解得或，
当时，，解得，，解得（舍）；
当时，，解得或（舍），，解得或（舍）；
综上，方程的实根为或或，
即方程的实根个数为3个，
故选：A.
6．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数 若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】画出的图象如下图：
由题意可知，，由图象可知关于直线对称，所以，因此，
当时，，此时，
当时，，此时，
当存在，，，使得时，此时，
故选：C

7．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数，若方程在上恰有5个不同实根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数，
当时，方程可化为，解得
，则当时，，
当时，方程可化为，解得，
则当时，
因为根据方程在上恰有5个不同实根，
所以这5个不同实根为，则，
故选：D.
8．（2023·山东·校联考模拟预测）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映祇着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数的图像来刻画，满足关于的方程恰有三个不同的实数根，且（其中），则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
所以关于对称，所以的根应成对出现，
又因为的方程恰有三个不同的实数根且，
所以该方程的一个根是，得，
所以，
由得，
当，即时，，①
则，②
由①②可求出，所以；
当，即时，，③
，④
由③④得方程组无实数解；
综上，方程组的解为，
所以．
故选：C.
9．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知定义域为的函数满足不恒为零，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．的图像关于直线对称D．在[0，10]上有6个零点
【答案】AB
【解析】选项A：对于，令，得，对于，令，得，所以，则，A正确；
选项B：由得，由得，所以，是奇函数，B正确；
选项C：由，得，所以12是的一个周期，又是奇函数，所以的图像关于点对称，因为不恒为零，所以的图像不关于直线对称，C错误；
选项D：由A知，对于，令，得，所以，由，得，，所以，所以在上的零点为0，2，3，4，6，8，9，10，共8个，D错误．
故选：AB．
10．（多选题）（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】对于A：设，，则，得为奇函数，令，方程无解，即函数不存在零点，A不符合；
对于B：设，则，得为奇函数，令，得，即函数存在零点，B符合；
对于C：设，其为上的偶函数，C不符合；
对于D：设，其为上的奇函数，且存在零点，D符合.
故选：BD.
11．（多选题）（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．存在，使得函数为奇函数
C．任意，
D．函数有且仅有2个零点
【答案】ABC
【解析】对于A：，
因为，所以，，因此，
故，所以在上单调递增，故A正确；
对于B：令，则，令，定义域为，关于原点对称，
且，故为奇函数，B正确；
对于C：时，；时，；
时，；C正确；
对于D：时，，时，，
时，，所以只有1个零点，D错误；
故选：ABC
12．（多选题）（2023·湖北·校联考三模）已知函数和都是偶函数，当时，，则下列正确的结论是（ ）
A．当时，
B．若函数在区间上有两个零点、，则有
C．函数在上的最小值为
D．
【答案】ACD
【解析】因为函数和都是偶函数，则，，
所以，，即，
因此是周期为的周期函数．
对于A，当时，，则，
当时，则，则，
综上所述，当时，，A对；
对于B选项，当时，，则，
不妨设，因为函数在上单调递减，则，
由可得，
所以，，
即，则，B错；
对于C，因为函数在上单调递增，在上单调递减，
由于函数是周期为的周期函数，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，
而函数在上单调递增，所以，，则，
所以，当时，，
所以，函数在上的最小值为，C对；
对于D选项，，
，
，
又函数在上单调递减，，D对.
故选：ACD.
13．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知幂函数的图像过点，则函数的零点为________．
【答案】，，
【解析】设幂函数，因为函数的图像过点，所以，解得
所以，则函数的零点为方程的根，解得或，
所以函数的零点为，，.
故答案为：，，.
14．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）已知 且，方程有且仅有两个不等根，则的取值范围为______
【答案】
【解析】由，得.
令，则，
设函数，得.令，得.
在上单调递增；在上单调递减，
所以，，又当时，恒成立，
所以方程有且仅有两个不等根，
即曲线图象与直线有两个交点的充分必要条件是，
所以的取值范围是.
故答案为：.
15．（2023·广东深圳·统考一模）定义开区间的长度为．经过估算，函数的零点属于开区间____________（只要求写出一个符合条件，且长度不超过的开区间）．
【答案】（不唯一）
【解析】因为都是减函数，
所以是减函数，
又，
即，
所以函数在上有零点，且，
故答案为（不唯一）
16．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数，若存在四个不相等的实根，，，，则的最小值是__________．
【答案】3
【解析】作函数与图象如下：

由图可得，
存在四个不相等的实根，可得，
可得，，即，，
所以，
当且仅当即且等号成立，
则的最小值是.
故答案为：.
1．（2020·天津·统考高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.

【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
2．（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如图：
且，
解得，，．
故选．
3．（2014·山东·高考真题）已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】9．（2014·北京·高考真题）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.
考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
4．（2018·全国·高考真题）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.
画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
5．（2013·湖南·高考真题）函数的图象与函数的图象的交点个数为
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．
6．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
7．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【解析】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
8．（2022·北京·统考高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
【答案】 1
【解析】∵，∴
∴
故答案为：1，