高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)重难点突破02向量中的隐圆问题(四大题型)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)重难点突破02向量中的隐圆问题(四大题型)(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了已知点，，直线等内容，欢迎下载使用。


技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆
乘积型：
定理：平面内，若为定点，且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆
证明：由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆．
技巧二．极化恒等式和型：
定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。
证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆．
技巧三．定幂方和型
若为定点，，则的轨迹为圆．
证明：
．
技巧四．与向量模相关构成隐圆
坐标法妙解
题型一：数量积隐圆
例1．（2023·上海松江·校考模拟预测）在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：
①的最小值为；②的最小值为；
③的最大值为；④的最大值为8.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
例2．（2023·全国·高三专题练习）若正的边长为4，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2023·山东菏泽·高一统考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为所在平面内的动点，且PC＝2，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知是边长为的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若，则的最小值是
A．B．C．D．
变式2．（2023·北京·高三专题练习）为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______.
题型二：平方和隐圆
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知是单位向量，满足，则的最大值为________．
例5．（2023·上海·高三专题练习）已知平面向量、满足，，设，则________.
例6．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
变式4．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知直线与点，若直线上存在点满足（为坐标原点），则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式5．（2023·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考阶段练习）设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
变式6．（2023·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点，若圆C上存在点M，满足，则点M的纵坐标的取值范围是___________.
题型三：定幂方和隐圆
例7．（2023·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）已知点，，直线：上存在点，使得成立，则实数的取值范围是______.
例8．（2023·浙江·高三期末）已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例9．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量，的夹角为60°，向量满足，若对任意的，记的最小值为M，则M的最大值为
A．B．C．D．
变式7．（2023·江苏·高三专题练习）已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
变式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）已知、、是平面向量，是单位向量． 若，， 则的最大值为_______．
变式9．（2023·四川达州·高二四川省大竹中学校考期中）已知，，是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是_______．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、、，满足，，，，若，则的最大值是_________.
变式11．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是__________.
题型四：与向量模相关构成隐圆
例10．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是__________．
例11．（2023·上海·高三专题练习）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为____________．
例12．（2023·上海金山·统考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为__________.
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为__________.
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，，B在直线上，，动点M满足，则的最小值为__________.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________.
变式15．（2023·新疆·高三新疆兵团第二师华山中学校考阶段练习）已知是、是单位向量，，若向量满足，则的最大值为______
变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足，则的最大值是_________．
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：与的夹角为，记是的最大值，则的最小值是__________．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则的最大值为___________.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，则的最大值为________．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）设，为单位向量，则的最大值是________
重难点突破02 向量中的隐圆问题
目录
技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆
乘积型：
定理：平面内，若为定点，且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆
证明：由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆．
技巧二．极化恒等式和型：
定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。
证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆．
技巧三．定幂方和型
若为定点，，则的轨迹为圆．
证明：
．
技巧四．与向量模相关构成隐圆
坐标法妙解
题型一：数量积隐圆
例1．（2023·上海松江·校考模拟预测）在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：
①的最小值为；②的最小值为；
③的最大值为；④的最大值为8.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，
因为，所以设，则
，，
所以，
所以，即（为任意角），
所以
（其中），
所以的最大值为，最小值为，
所以①③错误，
因为，
所以
（其中）
因为，
所以，
所以，
所以的最小值为，最大值为14，
所以②正确，④错误，
故选：A
例2．（2023·全国·高三专题练习）若正的边长为4，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题知，
以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图，

则，，
由题意设，
则，
，
，
，
，
可得.
故选：D
例3．（2023·山东菏泽·高一统考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为所在平面内的动点，且PC＝2，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在中，以直角顶点为原点，射线分别为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图，

令角的始边为射线，终边经过点，由，得，而，
于是，
因此
，其中锐角由确定，
显然，则，
所以的取值范围是.
故选：D
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知是边长为的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若，则的最小值是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】作出图像如下图所示，取的中点为D，则，因为，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，
则.又为圆O上的点P到D的距离，则，
∴的最小值为.
故选：A.
变式2．（2023·北京·高三专题练习）为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】因为是边长为的等边三角形，且，则为的中点，故，
以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，设点，
，，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______.
【答案】/
【解析】解法1：如图，因为，所以，故四边形为矩形，
设的中点为S，连接，则，
所以，
又为直角三角形，所以，故①，
设，则由①可得，
整理得：，
从而点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
显然点P在该圆内部，所以，
因为，所以 ；
解法2：如图，因为,所以，
故四边形为矩形，由矩形性质，，
所以，从而，
故Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，
显然点P在该圆内，所以.
故答案为： .
题型二：平方和隐圆
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知是单位向量，满足，则的最大值为________．
【答案】
【解析】依题意，可为与x轴、y轴同向的单位向量，设
化简得：
运用辅助角公式得：
，
即得：，
故；
故答案为：
例5．（2023·上海·高三专题练习）已知平面向量、满足，，设，则________.
【答案】
【解析】因为且，所以；
又因为，所以；
由，所以；
根据可知：，
左端取等号时：三点共线且在线段外且靠近点；右端取等号时，三点共线且在线段外且靠近点，
所以，所以.
故答案为：.
例6．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】先求出动点M的轨迹是圆D,再根据圆D和圆C相交或相切，得到a的取值范围.设，则，
所以，
所以点M的轨迹是一个圆D,
由题得圆C和圆D相交或相切，
所以，
所以.
故选：B
变式4．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知直线与点，若直线上存在点满足（为坐标原点），则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设 ，
∵直线与点，直线上存在点满足，
∴，
整理,得 ①，
∵直线 上存在点M,满足，
∴方程①有解，
∴，
解得： ，
故选D.
变式5．（2023·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考阶段练习）设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，
，
，即．
点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．
若直线上存在点Q使得，
则PQ为圆的切线时最大，
，即．
圆心到直线的距离，
或．
故选：C．
变式6．（2023·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点，若圆C上存在点M，满足，则点M的纵坐标的取值范围是___________.
【答案】
【解析】解析：设，
因为，所以，
化简得，
则圆C：与圆：有公共点，
将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为
代入可得，
故答案为：.
题型三：定幂方和隐圆
例7．（2023·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）已知点，，直线：上存在点，使得成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意得：直线，
因此直线经过定点；
设点坐标为，；，
化简得：，
因此点为与直线的交点．
所以应当满足圆心到直线的距离小于等于半径
解得：
故答案为
例8．（2023·浙江·高三期末）已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如下图所示，作，，，取的中点，连接，
以点为圆心，为半径作圆，
，，，
所以，为等边三角形，
为的中点，，所以，的底边上的高为，
，，
所以，，
所以，
，
由圆的几何性质可知，当、、三点共线且为线段上的点时，
的面积取得最大值，此时，的底边上的高取最大值，即，则，
因此，的最大值为.
故选：B.
例9．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量，的夹角为60°，向量满足，若对任意的，记的最小值为M，则M的最大值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由推出，所以，如图，终点的轨迹是以为半径的圆，设，，，，所以表示的距离，显然当时最小，M的最大值为圆心到的距离加半径，即，
故选：A
变式7．（2023·江苏·高三专题练习）已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】C
【解析】由平面向量数量积的性质及其运算得，设，
则，则点C在以AB为直径的圆O周上运动，由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|，设，利用三角函数求的最值．由得：，即，
设，
则，
则点C在以AB为直径的圆O上运动，
由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|，
设，
则，
所以当时，|DC|取最大值，
故选：C．
变式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）已知、、是平面向量，是单位向量． 若，， 则的最大值为_______．
【答案】
【解析】因为，则，即，
因为，即，
作，，，，则，
，则，
固定点，则为的中点，则点在以线段为直径的圆上，
点在以点为圆心，为半径的圆上，如下图所示：
，
设，则，
因为，，
故
，
当时，等号成立，即的最大值为.
故答案为：.
变式9．（2023·四川达州·高二四川省大竹中学校考期中）已知，，是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】由得，，
故，或或，
设，，以O为原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示坐标系，
则，令，则，，
由，或或，
得B点在以为圆心，为半径的圆上，
又非零向量与的夹角为，则设的起点为原点，则终点在不含端点的两条射线，上，
则的几何意义等价于圆上的点到射线上的点的距离，则其最小值为圆心到直线的距离减去半径，不妨以为例，
则的最小值为
故答案为：
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、、，满足，，，，若，则的最大值是_________.
【答案】
【解析】因为，即，可得，
设，，则，则，
设，则，
因为，，则或，
因为，则或，
令，则或，
根据对称性，可只考虑，
由，
记点、、，则，，
所以，，
当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立，
所以，
.
故答案为：.
变式11．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是__________.
【答案】/
【解析】设，则由得，可得，
由得，
因此，表示圆上的点到直线上的点的距离；
故其最小值为圆心到直线的距离减去半径1，即.
故答案为：
题型四：与向量模相关构成隐圆
例10．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】均为单位向量且，不妨设，，且，
，，
，
的几何意义表示的是点到和两点的距离之和的2倍，
点在单位圆内，点在单位圆外，
则点到和两点的距离之和的最小值即为和两点间距离，
所求最小值为.
故答案为：.
例11．（2023·上海·高三专题练习）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】
作图，，则，，
因为，所以起点在原点，终点在以B为圆心，1为半径的圆上；
同理，，所以起点在原点，终点在以C为圆心，1为半径的圆上，
所以的最小值则为，
因为，，当，，三点共线时，，所以.
故答案为：.
例12．（2023·上海金山·统考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为__________.
【答案】/
【解析】如图，设，，，，，
则点在以为圆心，以为半径的圆上，点在以为圆心，以为半径的圆上，
，所以点在射线上，
所以，
作点关于射线对称的点，则，且，
所以（当且仅当点三点共线时取等号）
所以的最小值为，
故答案为：.
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】如图，为直线上的任意一点，
过圆心作，连接，由，
可得，
由，当共线时取等号，
又是的中点，所以，
所以.
则此时，
的最小值为.
故答案为：
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，，B在直线上，，动点M满足，则的最小值为__________.
【答案】/
【解析】设，
因为，所以，
因为，所以，
，
整理得，
可得点在以为圆心，半径为的圆上，
，当时，
可得，即
圆心在在直线上，
过做的垂线，当垂足为圆心点时，长度最小，的长度也最小，
且长度最小值为，此时的最小值为.
故答案为：.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________.
【答案】/
【解析】法一 由，得.
如图所示，分别作,作，
由于是单位向量,则四边形OACB是边长为1的正方形，所以,
作，则,
所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.
由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，||取得最大值,
故||的最大值是,
故答案为：
法二 由，得，
建立如图所示的平面直角坐标系，则，
设 ，由，
得 ，
所以点C在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上.
所以
故答案为：
变式15．（2023·新疆·高三新疆兵团第二师华山中学校考阶段练习）已知是、是单位向量，，若向量满足，则的最大值为______
【答案】/
【解析】由、是单位向量，且，则可设，，，
所以，
向量满足，
，
即，
它表示圆心为，半径为的圆，
又表示圆上的点到坐标原点的距离，因为，
所以．
故答案为：．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足，则的最大值是_________．
【答案】
【解析】因为是平面内两个互相垂直的单位向量，
故不妨设，设，
由得：，
即，即，
则的终点在以为圆心，半径为的圆上，
故的最大值为，
故答案为：
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：与的夹角为，记是的最大值，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】如图，
设为AB中点，令，
则 ①，
因为，
故有，
②，
由①②得，从而，
因为，所以，即点C在以AB为直径的圆E上.
，
，
当且仅当时，即时等号成立.
故答案为：
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则的最大值为___________.
【答案】5
【解析】令，
，
，
，
令，
设，则
，，
令，
若函数存在极值点，则是函数的唯一极值点，
显然，函数在取得最值，
，
故答案为：5.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，则的最大值为________．
【答案】
【解析】设，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，
∵
则A(4,0)，B(2,2)，设C(x,y)，
∵，∴，
即，∴点C在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，
表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离，
∵圆心到A的距离为，
∴的最大值为.
故答案为：.
变式20．（2023·全国·高三专题练习）设，为单位向量，则的最大值是________
【答案】
【解析】依题意，为单位向量，设，
则
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：