高考数学第一轮复习(新教材新高考)第03讲导数与函数的极值、最值（核心考点精讲精练）(学生版+解析)

这是一份高考数学第一轮复习(新教材新高考)第03讲导数与函数的极值、最值（核心考点精讲精练）(学生版+解析)，共81页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。

1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
2能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值
3体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习
知识讲解
函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，，而且在点x＝b 附近的左侧，右侧，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
（3）极值与导数的关系
是极值点
是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件
函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
考点一、求函数的极值或极值点
1．（天津·高考真题）已知函数在上满足，当时取得极值.
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明：对任意、，不等式恒成立.
2．（全国·高考真题）已知函数（为自然对数的底数）
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（2）求函数的极值；
（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.
3．（天津·高考真题）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
（Ⅲ）如果，且，证明
4．（山东·高考真题）设函数，其中.
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若成立，求的取值范围.
1．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）已知，函数，.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)设较小的零点为，证明：.
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的极值点个数；
(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整数值.
3．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知函数，．
(1)求函数的极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
4．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）设函数.
(1)求的极值；
(2)已知，有最小值，求的取值范围.
5．（2023·山东青岛·统考二模）已知函数，.
(1)讨论极值点的个数；
(2)若恰有三个零点和两个极值点.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）若，且，证明：.
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）己知函数有三个极值点，其中.
(1)求的取值范围；
(2)求证：；
(3)求证：.
考点二、根据函数极值或极值点求参数值或范围
1．（2023·全国·统考高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
1．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数，若函数在处取得极小值，则的取值范围为 .
2．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是 .
3．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 .
4．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知函数存在两个极值点，，则以下结论正确的为（ ）
A．B．
C．若，则D．
考点三、利用导数求函数最值
1．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)判断函数的零点个数，并证明.
2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数，其中a为实数.
(1)若，求函数在区间上的最小值；
(2)若函数在上存在两个极值点，，且.求证：.
3．（2023·浙江·校联考二模）设，已知函数有个不同零点.
(1)当时，求函数的最小值：
(2)求实数的取值范围；
(3)设函数的三个零点分别为、、，且，证明：存在唯一的实数，使得、、成等差数列.
4．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在上的最小值；
(2)证明：当时，.
5．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知函数，，.
(1)讨论函数在区间上的最大值；
(2)确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有.
6．（2023·江苏·二模）已知函数 ．
(1)当时，求函数的单调递增区间
(2)若函数在的最小值为，求的最大值．
考点四、由函数最值求参数值或范围
1．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
1．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是 ．
2．（2023·广东广州·广州六中校考三模）已知与有相同的最小值.
(1)求实数的值；
(2)已知，函数有两个零点，求证：.
【基础过关】
一、多选题
1．（2023·河北石家庄·统考三模）设函数的定义域为是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．B．是的极大值点
C．是的极小值点D．是的极大值点
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）设函数，则（ ）
A．是奇函数
B．当时，有最小值2
C．在区间上单调递减
D．有两个极值点
二、填空题
3．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知实数成等比数列，且函数，当时取到极大值，则等于 .
三、解答题
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知函数在处取得极值-14.
(1)求a，b的值；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求函数在上的最值.
5．（2023·浙江温州·统考二模）已知函数，.
（1）若在处的切线与也相切，求的值；
（2）若，求函数的最大值.
6．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）设函数．
（1）当时，求函数的最大值；
（2）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．
7．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
8．（2023·辽宁丹东·统考二模）已知为函数的极值点．
(1)求；
(2)证明：当时，．
9．（2023·福建·统考模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间和极值；
(2)若有零点，求的最小值．
10．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
(3)设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由.
【能力提升】
1．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知函数．
(1)讨论的极值；
(2)当时，关于x的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
2．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若在区间上有极小值，求实数的取值范围；
(2)求证：.
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)讨论函数的最值；
(2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围．
4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知函数，其中.
(1)若时，有极值，求的值；
(2)设，讨论的零点个数.
5．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知函数.
(1)若的极大值为3，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
6．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数，其中.
(1)讨论函数极值点的个数；
(2)对任意的，都有，求实数的取值范围.
7．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
8．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)若，证明：；
(2)若函数最大值为，求实数a的值.
9．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数．
(1)当时，求函数在上的极值；
(2)用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．
10．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数和在同一处取得相同的最大值．
(1)求实数a；
(2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为（），证明：．
【真题感知】
一、单选题
1．（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
三、填空题
3．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小值为 .
四、解答题
4．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
6．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
第03讲 导数与函数的极值、最值
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
2能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值
3体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习
知识讲解
函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，，而且在点x＝b 附近的左侧，右侧，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
（3）极值与导数的关系
是极值点
是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件
函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
考点一、求函数的极值或极值点
1．（天津·高考真题）已知函数在上满足，当时取得极值.
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明：对任意、，不等式恒成立.
【答案】（1）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值为；（2）证明见解析.
【分析】（1）由可求得，由题意得出可解出、的值，可得出函数的解析式，然后利用导数可求得函数的单调区间和极大值；
（2）求得函数在区间上的最大值，最小值，由此可得出，进而可证得结论.
【详解】（1），由，得，可得.
，，
由于函数在处取得极值，则，解得，
，
，从而.
当时，，则函数在上是增函数；
在时，，则函数在上是减函数；
当时，，则函数在上是增函数.
所以，函数在处取得极大值，即；
（2）由（1）知，函数在上是减函数，
当时，，.
所以，对任意、，不等式.
【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间和极值，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
2．（全国·高考真题）已知函数（为自然对数的底数）
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（2）求函数的极值；
（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.
【答案】（1）（2）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（3）的最大值为
【分析】（1）求出，由导数的几何意义，解方程即可；（2）解方程，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；（3）题意就是方程无实数解，即关于的方程在上没有实数解．一般是分类讨论，时，无实数解，时，方程变为，因此可通过求函数的值域来求得的范围．
【详解】（1）由,得．
又曲线在点处的切线平行于轴,
得,即,解得．
（2）,
①当时,,为上的增函数,
所以函数无极值．
②当时,令,得,．
,;,．
所以在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,且极小值为,无极大值．
综上,当时,函数无极小值
当,在处取得极小值,无极大值．
（3）当时,
令,
则直线:与曲线没有公共点,
等价于方程在上没有实数解．
假设,此时,,
又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故．
又时,,知方程在上没有实数解．
所以的最大值为．
解法二:
（1）（2）同解法一．
（3）当时,．
直线:与曲线没有公共点,
等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:
（*）
在上没有实数解．
①当时,方程（*）可化为,在上没有实数解．
②当时,方程（*）化为．
令,则有．
令,得,
当变化时,的变化情况如下表:
当时,,同时当趋于时,趋于,
从而的取值范围为．
所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是．
综上,得的最大值为．
考点：导数的几何意义，极值，导数与单调性、值域，方程根的分布．
3．（天津·高考真题）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
（Ⅲ）如果，且，证明
【答案】（Ⅰ）f(x)在()内是增函数，在()内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【详解】（Ⅰ）解：f’
令f’(x)=0,解得x=1
当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数．
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数．
又F(1)=0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
（Ⅲ）证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.
4．（山东·高考真题）设函数，其中.
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若成立，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）的取值范围是.
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求，令
通过对 的取值的讨论，结合二次函数的知识，由导数的符号得到函数 的单调区间；（Ⅱ）根据（1）的结果这一特殊性，通过对参数的讨论确定的取值范围.
试题解析：函数的定义域为
令，
（1）当 时， ， 在上恒成立
所以，函数在上单调递增无极值；
（2）当 时，
①当时， ，
所以，，函数在上单调递增无极值；
②当 时，
设方程的两根为
因为
所以，
由可得：
所以，当时， ，函数单调递增；
当时， ，函数单调递减；
当时， ，函数单调递增；
因此函数有两个极值点．
（3）当 时，
由可得：
当时， ，函数单调递增；
当时， ，函数单调递减；
因此函数有一个极值点．
综上：
当 时，函数在上有唯一极值点；
当时，函数在上无极值点；
当时，函数在上有两个极值点；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
（1）当时，函数在上单调递增，
因为
所以，时， ，符合题意；
（2）当 时，由 ，得
所以，函数在上单调递增，
又，所以，时， ，符合题意；
（3）当 时，由 ，可得
所以 时，函数 单调递减；
又
所以，当时， 不符合题意；
（4）当时，设
因为时，
所以 在 上单调递增，
因此当时，
即：
可得：
当 时，
此时， 不合题意.
综上所述，的取值范围是
考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.
1．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）已知，函数，.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)设较小的零点为，证明：.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值，无极大值
(2)证明见解析
【分析】（1）由导数法求极值及单调区间即可；
（2）先由零点存在定理说明存在两个零点，
法一：由导数法证，，结合函数单调性即可证明；
法二：由导数法证明证明当时，，再令代入不等式化简得证.
【详解】（1）因为，，所以，
当时，；当时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
故有极小值，无极大值；
（2）因为当时，，所以，
所以，
又时，；时，，
所以有两个零点 ；
法1：下面证明，，
设，
则，所以在上递增，
又时，，所以对成立，
所以得证 ，
，
令，则，，，∴.
设，，
则，所以在上递减，
所以，所以，
所以得证 ，
因为函数区间单调递减，
又，，，、、，
所以 ；
法2：下面证明当时，，
设，，
，
所以在上递增，
所以，所以，
再设，，
，
所以在上递增，
所以，所以，
综上，当时， ，
现有，所以，
故得，
故得，
所以 .
【点睛】证明零点所在区间问题：
（1）可结合零点存在定理说明在区间端点处异号及函数单调性证明；
（2）通过将结论不等式变形，构造成题设函数的形式，从而将问题转化为证明不等式成立. 如本题变形成，变形成，则可转化为证；
（3）证明不等关系可通过构造函数，结合导数法证明.
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的极值点个数；
(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整数值.
【答案】(1)极值点个数为1
(2)4
【分析】（1）求出，然后证明只有一个变号零点即可；
（2）条件不等式可转化为，然后求出，分、两种情况得到的单调性，然后可得到成立，然后利用导数可分析出答案.
【详解】（1）已知，
可得
令，则，
函数单调递减，且当时，，故函数先增后减，
当时，，
其中，∴，∴
当时，，
∴函数只有一个零点，∴函数的极值点个数为1.
（2）变形，得，
整理得，
令，则，∵，∴，
若，则恒成立，即在区间上单调递增，
由，∴，∴，∴，此时可取的最大整数为2，
若，令，则，令，则，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在区间上有最小值，，
于是问题转化为成立，求的最大值，
令，则，∵当时，，单调递减，
当时，单调递增，∴在处取得最大值，
∵，∴，∵，，
，此时可取的最大整数为4.
综上，可取的最大整数为4.
3．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知函数，．
(1)求函数的极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)是的极大值点，无极小值点
(2)
【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调区间，再确定函数的极值点；
（2）解法一，首先构造函数，，再根据函数的导数，判断函数的最大值，即可求解；解法二，首先证明，即可得，即，不等式恒成立，转化为，即可求解.
【详解】（1）由已知可得，函数的定义域为，且，
当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以是的极大值点，无极小值点．
（2）解法一：设，，
则，
令，，则对任意恒成立，
所以在上单调递减．
又，，
所以，使得，即，则，即．
因此，当时，，即，则单调递增；
当时，，即，则单调递减，
故，解得，
所以当时，恒成立．
解法二：令，，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即．
因为，所以，当时等号成立，
即，当时等号成立，
所以的最小值为1．
若恒成立，则，
所以当时，恒成立．
4．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）设函数.
(1)求的极值；
(2)已知，有最小值，求的取值范围.
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)
【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，结合极值定义可求得结果；
（2）由可得，令，可将表示为；构造函数，求导后，分别在和的情况下，讨论得到单调性，进而确定符合题意的的取值范围.
【详解】（1）由题意知：定义域为，，
，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
的极大值为，无极小值.
（2）可化为，
为单调递增函数，
由可得：，即，
令，则，，，，
，
令，
，
令，
；
①当时，恒成立，在上单调递增，
，即，在上单调递增，
此时在上不存在最小值，即不存在最小值，不合题意；
②当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增，
又，，又，
存在，使得，且当时，，即；当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增，
，即有最小值；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数极值、多变量问题的求解；求解多变量问题的关键是能够通过引入第三变量，将利用来表示，从而减少变量个数，将问题转化为关于的函数的单调性的讨论问题.
5．（2023·山东青岛·统考二模）已知函数，.
(1)讨论极值点的个数；
(2)若恰有三个零点和两个极值点.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）若，且，证明：.
【答案】(1)当时, 无极值点;当时,所以有两个极值点；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）先求导，对进行讨论，研究单调性可得函数的极值；
（2）(i)由(1)知: ,且,,又得出，即可得证；
(ii)易得，令,可得，要证明:，只需证:，只需证: (显然,易证)，即证明:，又因为,所以，令,,利用导数证明即可.
【详解】（1）由题知:，
设函数,
当时,开口向上,,
所以,在上单调递减,无极值点；
当时, 在上有两个解,
又因为,
所以在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.
所以有两个极值点.
综上:当时, 无极值点;当时,所以有两个极值点.
（2）(i)由(1)知: ,且,
又因为,
所以.
(ii)由(i)知:,,,
所以,所以.
令,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
因为时,>0;时,