高考数学第一轮复习(新教材新高考)第09讲解三角形中的最值及范围问题（核心考点精讲精练）(学生版+解析)

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命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较中等偏上，分值为10-12分
【备考策略】1会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题
2会利用正余弦定理及面积公式解决三角形的综合问题
【命题预测】本节内容一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。
知识讲解
解三角形最值及范围问题中常用到的关联知识点
1. 基本不等式
，当且仅当时取等号，其中叫做正数，的算术平均数，
叫做正数，的几何平均数，通常表达为：（积定和最小），应用条件：“一正，二定，三相等”
2. 辅助角公式及三角函数值域
形如，，其中，
对于，类函数，叫做振幅，决定函数的值域，值域为，有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围
3. 三角形中的边角关系
（1）构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
（2）在三角形中，大边对大角，小边对小角
（3）在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系:
即
注意：在锐角中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如。
事实上，由，即得。由此对任意锐角，总有。
考点一、面积类最值及范围问题
1．（2023·福建漳州·统考模拟预测）在平面四边形中，，，，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围.

2．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且．
(1)求角的值；
(2)求面积的取值范围．
1．（2023·全国·模拟预测）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)求的取值范围；
(2)若是边上的一点，且，，求面积的最大值．
2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知中，角，，所对边分别为，，，若满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
考点二、周长类最值及范围问题
1．（2023·江西赣州·统考模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的周长的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·云南·校联考模拟预测）的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
1．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若为锐角三角形，，求周长范围．
2．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
考点三、边长和差类最值及范围问题
1．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)设BC的中点为D，且，求的取值范围．
2．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）如图，在平面凸四边形ABCD中，，，，．
(1)若，求；
(2)求的取值范围．
1．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在中，内角，，所对的边分别为，，，．
(1)若，求出的值；
(2)若为锐角三角形，，求边长的取值范围．
2．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）在中，，为边上的中线且，则的取值范围是 ．
考点四、边长积商类最值及范围问题
1．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）（多选）在锐角中，角所对的边为，若，且，则的可能取值为（ ）
A．B．2C．D．
2．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线BD交AC于点．
(1)从下面三个条件中任选一个作为已知条件，求的大小．
①；②；③．
(2)若，求的取值范围．
1．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知，，其中，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.
2．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A的值；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围．
考点五、中线及高线类最值及范围问题
1．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在锐角中，，，则中线的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·贵州毕节·统考一模）已知的内角，，的对边分别为，，．若．
(1)求角；
(2)若，求边上的高的取值范围．
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）在锐角中，设边所对的角分别为，且．
(1)求角的取值范围；
(2)若，求中边上的高的取值范围．
2．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，，．
(1)求．
(2)求边上的高的取值范围．
3．（2023·重庆·校联考三模）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
4．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求边中线的取值范围．
考点六、外接圆及内切圆半径类最值及范围问题
1．（2023·河北·校联考二模）在中，角的对边分别为，已知，且.
(1)求的外接圆半径；
(2)求内切圆半径的取值范围.
2．（2023·山东烟台·统考二模）已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，．
(1)求角B的大小；
(2)若为钝角三角形，且，求外接圆半径的取值范围．
1．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）如图，平面四边形中，，，．的内角的对边分别为，且满足．
(1)判断四边形是否有外接圆？若有，求其半径；若无，说明理由；
(2)求内切圆半径的取值范围．
2．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
考点七、角度类最值及范围问题
1．（2023·海南海口·校考模拟预测）在中，角、、所对的边长分别为，若成等比数列，则角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
1．（2023春·上海宝山·高一校考期中）如果的三边、、满足，则角的取值范围为 ．
考点八、正余弦类最值及范围问题
1．（2023·甘肃武威·统考一模）在中，，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知分别为锐角ABC内角的对边，．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
3．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考三模）在中，三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
4．（2023·安徽宿州·统考一模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范围.
5．（2023·陕西榆林·统考三模）已知分别为的内角所对的边，，且．
(1)求；
(2)求的取值范围．
1．（2023·广东·统考一模）在中，角的对边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
2．（2023·广东广州·广州六中校考三模）记的内角的对边分别为，已知为钝角，.
(1)若，求；
(2)求的取值范围.
3．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知的三个角所对的边分别为，，.
(1)若，，，求；
(2)若为锐角三角形，且三个角依次成等差数列，求的取值范围.
4．（2023·浙江金华·统考模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
考点九、向量类最值及范围问题
1．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）在中，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）已知点为锐角的外接圆上任意一点，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江金华·模拟预测）在中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．已知的面积，其外接圆半径，且．
(1)求；
(2)若A为钝角，P为外接圆上的一点，求的取值范围．
A
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）周长为4的，若分别是的对边，且，则的取值范围为 ．
2．（2023·江苏盐城·统考三模）在中，，，，则的取值范围是 .
3．（2023·安徽黄山·统考三模）记的内角的对边分别为，已知，.
(1)求角的大小和边的取值范围；
(2)如图，若是的外心，求的最大值.
考点十、参数类最值及范围问题
1．（2023·陕西榆林·统考一模）的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知在中，角所对的边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，且，求实数的取值范围.
1．（2023·河北张家口·统考二模）在锐角中，角所对的边分别为，若.
(1)求；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
2．（2023·山西大同·统考模拟预测）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)证明：；
(2)若AD是BC边上的高，且，求的取值范围．
【基础过关】
一、单选题
1．（2022·上海黄浦·统考模拟预测）已知锐角，其外接圆半径为，，边上的高的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
二、填空题
2．（2023·青海西宁·统考一模）在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为 ．
三、解答题
3．（2022·山东烟台·统考三模）在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的取值范围.
4．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知锐角三角形ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求B；
(2)若，求c的取值范围.
5．（2023·甘肃张掖·统考模拟预测）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角C的大小；
(2)若，求c的取值范围．
6．（2023·广东汕头·统考三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求证：；
(2)若的角平分线交BC于，且，求面积的取值范围．
7．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
(1)求角A；
(2)若，求△ABC周长的取值范围.
8．（2023·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小．
(2)若，求的周长的取值范围．
9．（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）已知内角所对的边长分别为.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
10．（2023·广东佛山·统考二模）已知为锐角三角形，且．
(1)若，求；
(2)已知点在边上，且，求的取值范围．
【能力提升】
1．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围.
2．（2023·河北·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)已知的外接圆半径为4，若有最大值，求实数的取值范围.
3．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）在中，角所对的边分别为，满足，.
(1)证明：外接圆的半径为；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
4．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列.
(1)若，的面积为2，求的周长；
(2)求的取值范围.
5．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，角的对边分别为且，
(1)求；
(2)求边上中线长的取值范围．
7．（2023·浙江·校联考模拟预测）记锐角内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
8．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知在中，角，，的对边分别是，，，面积为，且_____．
在①，②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题．
(1)求；
(2)若，点是边的中点，求线段长的取值范围．
9．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求；
(2)已知的角平分线交于点，求的取值范围．
10．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求证：△ABC是等边三角形；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.
11．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求角B的大小；
(2)求的取值范围．
12．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且．
(1)求证：；
(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围．
【真题感知】
一、单选题
1．（四川·高考真题）在ABC中，．则的取值范围是（ ）
A．（0，]B．[，）C．（0，]D．[，）
二、双空题
2．（北京·高考真题）若的面积为,且∠C为钝角，则∠B= ；的取值范围是 .
三、解答题
3．（全国·高考真题）设锐角三角形的内角，，的对边分别为
（1）求B的大小；
（2）求 的取值范围.
4．（全国·统考高考真题）的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
5．（江西·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
6．（浙江·统考高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求csA+csB+csC的取值范围．
第09讲 解三角形中的最值及范围问题
（核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较中等偏上，分值为10-12分
【备考策略】1会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题
2会利用正余弦定理及面积公式解决三角形的综合问题
【命题预测】本节内容一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。
知识讲解
解三角形最值及范围问题中常用到的关联知识点
1. 基本不等式
，当且仅当时取等号，其中叫做正数，的算术平均数，
叫做正数，的几何平均数，通常表达为：（积定和最小），应用条件：“一正，二定，三相等”
2. 辅助角公式及三角函数值域
形如，，其中，
对于，类函数，叫做振幅，决定函数的值域，值域为，有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围
3. 三角形中的边角关系
（1）构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
（2）在三角形中，大边对大角，小边对小角
（3）在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系:
即
注意：在锐角中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如。
事实上，由，即得。由此对任意锐角，总有。
考点一、面积类最值及范围问题
1．（2023·福建漳州·统考模拟预测）在平面四边形中，，，，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，由正弦定理可得，从而求得.
（2）解法一：由（1）求得，
，从而，再利用，即可求得面积的取值范围；解法二：作于，作于，交于，求得，，，分别求出，，利用即可求得范围.
【详解】（1）在中，
由正弦定理可得，
所以，
又，
所以.
（2）解法一：由（1）可知，
，
因为为锐角，
所以，
所以
，
在中，由正弦定理得，
所以
，
，
因为，
且为锐角三角形，
所以，
所以，
所以
，
所以，
所以，
即，
所以的面积的取值范围为.

解法二：由（1）可知，
，
因为为锐角，所以，，
如图，作于，作于，交于，

所以，
，
所以，
又，
所以.
由图可知，
仅当在线段上（不含端点）时，为锐角三角形，
所以，即.
所以面积的取值范围为.
2．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且．
(1)求角的值；
(2)求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，用正弦定理进行化简，再结合余弦定理即可得到结果；
（2）由正弦定理，结合三角形的面积公式可得，再结合三角函数的性质即可得到结果.
【详解】（1）由条件，可得，
由正弦定理，得，所以，
所以，因为，所以．
（2）由正弦定理，可知，
，
∵，∴，∴.
1．（2023·全国·模拟预测）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)求的取值范围；
(2)若是边上的一点，且，，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正余弦定理对已知等式化简可得，则可求出角，再利用三角函数恒等变换公式可得，然后求出角的范围，再利用余弦函数的性质可得结果；
（2）根据题意可得，两边平方化简后再利用基本不等式可求出的最大值，从而可求出面积的最大值．
【详解】（1）因为，
故，
整理得到：即，
故，而为三角形内角，故，
所以，
故，而为锐角三角形内角，故.
，
因为三角形为锐角三角形，故，故，
故，故，
故.
（2）由题设可得，故，
整理得到：，
故，即，
整理得到：，
当且仅当时等号成立，故.
故三角形面积的最大值为.
2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知中，角，，所对边分别为，，，若满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换化简等式，可以得到角.
（2）根据勾股定理，由基本不等式得到两直角边积的最值即可.
【详解】（1）由正弦定理知，，
∵，∴，
∴，
化简得，
，（其中舍去），即．
（2）由（1）知，则，
那么的面积（当且仅当时等号成立），
则面积的取值范围为．
考点二、周长类最值及范围问题
1．（2023·江西赣州·统考模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的周长的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将表示为角的形式，结合三角恒等变换以及三角函数的值域等知识确定正确答案.
【详解】，
由正弦定理得，
，
由于，
所以，
所以，
由于，所以，所以，
所以，则，
函数的开口向上，对称轴为，
所以.
故选：A
2．（2023·云南·校联考模拟预测）的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式结合正弦定理得，再根据的范围即可得到答案；
（2）利用正弦定理得，再利用三角恒等变换得，再根据的范围，结合三角函数的值域即可得到范围.
【详解】（1）因为，可得，
所以由正弦定理可得，
又为三角形内角，，
所以，
因为，
所以，可得，所以.
（2）由（1）知，又，
由正弦定理得，
则，
，
1．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若为锐角三角形，，求周长范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用正弦定理及余弦定理解三角形即可；
（2）先应用正弦定理用角表示边长，再根据锐角三角形求角的范围，最后求三角函数的值域即得.
【详解】（1）在中，由射影定理得，
则题述条件化简为，
由余弦定理得．
可得
所以.
（2）在中，
由正弦定理得，
则周长，
因为，则，
因为为锐角三角形，，
则得，
故．
2．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知及正弦定理角化边，再利用余弦定理，可求出，由已知条件得出角的范围，
进而求出角即可以求出的值.
（2）由，的值，利用正弦定理求出，进而表示出三角函数的周长，利用三角形的内角和
定理及两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质确定出周长的取值范围.
【详解】（1）由及正弦定理，
得即.
所以，由为锐角， 得，
所以.
（2）由得.
∴得周长.
，
因为，，
所以，，
所以，
即.
所以周长的取值范围为.
考点三、边长和差类最值及范围问题
1．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)设BC的中点为D，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知等式，由正弦定理和两角和的正弦公式化简，可求角C；
（2）设，由正弦定理，把表示成的三角函数，利用三角函数的性质求取值范围.
【详解】（1）中，，由正弦定理得．
所以，
即，
所以；
又，则，所以，
则有，又因为，则，即；
（2）设，则中，由可知，
由正弦定理及可得，
所以，，
所以，
由可知，，，
所以．
即的取值范围.
2．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）如图，在平面凸四边形ABCD中，，，，．
(1)若，求；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先利用余弦定理得到，根据边的关系得到AB⊥DB，进而得出∠ABC=120°，再利用余弦定理即可求解；
(2) 设∠ADB=θ，利用余弦定理分别求出,相加后整理变形得到关于角的三角函数，利用正弦函数的图象和性质即可求解.
【详解】（1）在△ABD中，因为，DA=2，∠DAB=60°，由余弦定理得，解得，由，得AB⊥DB，此时Rt△CDB≌Rt△ABD，可得∠ABC=120°．
在△ABC中，AB=1，BC=2，由余弦定理得，解得，所以．
（2）设∠ADB=θ，由题意可知，
在△ABD中，由余弦定理得，在△ACD中，，由余弦定理得，在中，因为，所以，
所以，
因为，所以，，
所以的取值范围是．
1．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在中，内角，，所对的边分别为，，，．
(1)若，求出的值；
(2)若为锐角三角形，，求边长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由立方差公式及余弦定理求出，由将弦化切，利用两角和的正弦公式求出，从而求出，最后根据两角差的余弦公式计算可得；
（2）由正弦定理得到，再转化为角的三角函数，结合正切函数的性质求出的取值范围.
【详解】（1）因为由正弦定理可得，
即，因为，所以，
所以，因为，所以，
由，所以，
所以，所以，
即，所以，所以，
因为，所以，
所以
.
（2）因为为锐角三角形，且，所以，
所以，解得，
又，由正弦定理，
所以
，
因为，所以，所以，所以，
即边长的取值范围为.
2．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）在中，，为边上的中线且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意利用可得，结合数量积的运算律整理得，设，代入结合一元二次方程求的取值范围.
【详解】设，
因为为边上的中线，则，
可得，
即，整理得，
设，则，
可得，整理得，
关于的方程有正根，则有：
①当，即时，则，解得；
②当，即时，则，解得或（舍去），符合题意；
③当，即时，则，解得；
综上所述：，即的取值范围是.
故答案为：
【点睛】方法点睛：有关三角形中线长度问题的求解，可考虑利用向量运算来建立关系式.有关三角形边长的和、差的取值范围，可考虑余弦定理（或正弦定理），结合基本不等式（或三角函数的取值范围）等知识来求解.
考点四、边长积商类最值及范围问题
1．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）（多选）在锐角中，角所对的边为，若，且，则的可能取值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】ACD
【分析】由面积公式及余弦定理求出，再由正、余弦定理将角化边，即可求出，再由正弦定理及三角恒等变换公式将转化为关于的三角函数，最后由三角函数的性质计算可得.
【详解】在锐角中，由余弦定理及三角形面积定理得：
，
即有，而，则，
又，
由正弦定理、余弦定理得，，化简得：，
由正弦定理有：，即，，
又是锐角三角形且，有，，解得，
因此，
由得：，，
所以，
结合选项，的可能取值为，，.
故选：ACD
2．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线BD交AC于点．
(1)从下面三个条件中任选一个作为已知条件，求的大小．
①；②；③．
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)三个条件任选其一都有
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再对等式进行化简，进而根据的取值范围求出其大小．
（2）运用角平分线的条件求出，然后利用面积公式求出的取值范围．
【详解】（1）选①，
因为，所以．
由正弦定理得．
即，
故 ，
因为，，所以，
所以，所以．
选②，
由及正弦定理，得
，
即，
，
所以．
因为，所以，
所以，即．
又，所以，所以．
选③，
由及正弦定理，得
，
即．
因为，所以，所以．
又，所以．
（2）因为BD平分，所以，
在中，，即，
在中，，即，
因为，所以，
所以，所以，故．
因为，，，
所以，
又，
所以．
又，所以，
所以，
所以，，
即的取值范围为．
1．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知，，其中，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，
(2)
【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示可知，由最小正周期为可得，即可知，再利用三角函数单调性即可求得的单调递增区间为，；
（2）根据三角形形状可得，再由正弦定理得，又，所以.
【详解】（1）因为，，
则，
，
故，
因为最小正周期为，所以，所以，故，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为，.
（2）由（1）及，即，又，
所以，解得，
又为锐角三角形，即，即，
解得；
由正弦定理得，又，则，
所以.
2．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A的值；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数关系得出，再应用两角和差公式计算求解即可；
（2）先应用正弦定理边角互化，再结合二倍角公式及辅助角公式化简，最后根据余弦型函数求值域可得.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
所以或（舍去）．
所以，结合，得．
（2）由（1）得:
．
因为是锐角三角形，所以B，C均为锐角，
即，，所以，
所以，，
所以的取值范围是．
考点五、中线及高线类最值及范围问题
1．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在锐角中，，，则中线的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理边化角，结合已知求出边b长的取值范围，再借助平面向量用b表示出中线的长，求出函数值域作答.
【详解】令的内角所对边分别为，由正弦定理及得，即，
锐角中，，即，同理，
于是，解得，又线段为边上的中线，
则，又，于是，
因此，当时，，，
所以中线的取值范围是.
故选：D
2．（2023·贵州毕节·统考一模）已知的内角，，的对边分别为，，．若．
(1)求角；
(2)若，求边上的高的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦求解作答.
（2）由（1）可得，再利用三角形面积公式计算作答.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，得，
即有，而，，即，，
因此，，
所以．
（2）令边上的高为，
由，得，
由（1）知，，即，则，
所以边上的高的取值范围是.
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）在锐角中，设边所对的角分别为，且．
(1)求角的取值范围；
(2)若，求中边上的高的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据正余弦定理及三角恒等变换结合条件可得，然后根据三角形为锐角三角形进而即得；
（2）根据三角形面积公式及正弦定理可得，然后根据三角恒等变换及正切函数的性质结合条件即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，，又，
所以，整理可得，
所以或(舍去)，
所以，又为锐角三角形，
所以，
所以；
（2）由题可知，即，
又，
所以，
所以，
由，可得，
所以，
所以，
即中边上的高的取值范围是.
2．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，，．
(1)求．
(2)求边上的高的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的内角和定理结合正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）设边上的高为，则，再利用正弦定理及三角函数求出的范围，即可得解，注意三角形为锐角三角形.
【详解】（1）设的内角，，的对边分别为，，，
因为，，
所以，
由正弦定理，得，整理得，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）设边上的高为，则，
由正弦定理，得，
由为锐角三角形，
得，得，则，
所以，从而，
故边上的高的取值范围是．
3．（2023·重庆·校联考三模）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由正弦定理化角为边得，再利用余弦定理可得结果；
（2）由余弦定理结合数量积运算得，由正弦定理可得，，所以，结合角的范围，利用三角函数性质可求得的范围，即可得出答案.
【详解】（1）已知，
由正弦定理可得，即，
所以，
因为，所以．
（2）由余弦定理可得，
又，
则，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
由题意得，解得，则，
所以，所以，
所以，所以中线CD长的取值范围为．
4．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求边中线的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理求解即可得角；
（2）根据中线性质可得，在左右两侧平方，应用向量的数量积公式求值即可.
【详解】（1）由已知可得，
由余弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得，又，
所以．
（2）因为M为的中点，所以，
则，
即．
因为，所以．
所以，
所以．
考点六、外接圆及内切圆半径类最值及范围问题
1．（2023·河北·校联考二模）在中，角的对边分别为，已知，且.
(1)求的外接圆半径；
(2)求内切圆半径的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；
（2）由正弦定理求的范围，再用求得后即可求的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理，，可得
再由余弦定理，，又，所以.
因为，所以.
（2）由（1）可知：，则.
则.
在中，由正弦定理，
，所以，
则
，
又，所以，
所以，
，所以.
2．（2023·山东烟台·统考二模）已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，．
(1)求角B的大小；
(2)若为钝角三角形，且，求外接圆半径的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合条件，进行边角转化即可得出结果；
（2）利用正弦定理，将边转角，再结合条件得到，再利用角的范围即可得出结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
得到，又，所以，
故，即，所以，
又，所以，得到.
（2）由正弦定理，得到，，
所以
，所以，
又因为为钝角三角形，且，又由（1）知，所以，
所以，由的图像与性质知，所以
1．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）如图，平面四边形中，，，．的内角的对边分别为，且满足．
(1)判断四边形是否有外接圆？若有，求其半径；若无，说明理由；
(2)求内切圆半径的取值范围．
【答案】(1)有，
(2)
【分析】(1)先由余弦定理求，再由正弦定理结合条件得，所以，，所以四点共圆，则四边形的外接圆半径就等于外接圆的半径．由正弦定理即可求出；
(2)由三角形面积公式得到，则，由正弦定理得，，化简得，因为，所以，即可得到的取值范围，从而得到半径的取值范围．
【详解】（1）在中，，
所以，
由正弦定理，，可得，
再由余弦定理，，又，所以．
因为，所以，所以四点共圆，
则四边形的外接圆半径就等于外接圆的半径．
又，所以．
（2）由（1）可知：，则，
，
则．
在中，由正弦定理，，
所以，，
则
，
又，所以，
所以，，即，
因为，所以．
2．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦边角关系可得，应用余弦定理即可求，进而确定其大小；
（2）由正弦定理有，，根据余弦定理有，结合（1）及，应用三角恒等变换有，由三角形内角性质、正弦函数性质求范围即可.
【详解】（1）因为，由正弦边角关系得，即，
由余弦定理，得，又，所以，
由，则.
（2）由正弦定理得，所以，，
由余弦定理，得，所以，
利用等面积法可得，
则
，
∵，∴，故，则，
所以，故.
考点七、角度类最值及范围问题
1．（2023·海南海口·校考模拟预测）在中，角、、所对的边长分别为，若成等比数列，则角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由成等比数列，可得，然后利用余弦定理表示出，进行化简后利用基本不等式求出的最小值，根据的范围以及余弦函数的单调性，即可求解.
【详解】因为成等比数列，可得，
则，（当且仅当时取等号），
由于在三角形中，且在上为减函数，
所以角的取值范围是：.
故选：B.
1．（2023春·上海宝山·高一校考期中）如果的三边、、满足，则角的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由余弦定理和重要不等式可求的范围，进而可求角的取值范围.
【详解】因为，所以
由余弦定理得，
当且仅当时取等号，又，
所以.
故答案为：
考点八、正余弦类最值及范围问题
1．（2023·甘肃武威·统考一模）在中，，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由余弦定理可得表达式，结合可得答案.
【详解】，因为，所以.
又，所以的范围是.
故选：B
2．（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知分别为锐角ABC内角的对边，．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角恒等变换解决即可；
（2）由条件求的范围，结合正弦函数性质求的范围，利用三角恒等变换得，由此可求其范围.
【详解】（1）∵．
∴，
∴，
因为为锐角三角形内角，所以，，
所以，
所以，即；
（2）由题意得，解得，
所以，
由正弦定理得，
因为函数在上单调递减，
所以当时，，
所以当时，，
所以，
∴的取值范围为．
3．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考三模）在中，三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理化简已知条件，结合三角恒等变换的知识证得.
（2）转化为只含的三角函数的形式，利用换元法、构造函数法，结合导数求得的取值范围
【详解】（1）依题意，由余弦定理得，
，由正弦定理得，
，，
，由于，所以，则
由于，所以，则，
所以或（舍去），
所以.
（2）由于，所以为锐角，即，
而，即.
，
令，，
，
所以在区间上，递增；
在区间上递减.
，
所以，
所以的取值范围是.
4．（2023·安徽宿州·统考一模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，将角化边，再根据余弦定理，求解即可.
（2）由（1）可知，，则，根据正弦型三角函数的图象和性质，求解即可.
【详解】（1）由正弦定理可得，即，
由余弦定理的变形得，
又，所以.
（2）由得，且，
所以，
所以，
因为，从而，
所以，从而.
即的取值范围为.
5．（2023·陕西榆林·统考三模）已知分别为的内角所对的边，，且．
(1)求；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的数量积的定义及正弦定理的边角化即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形的内角和定理，利用诱导公式、两角和的正弦公式及降幂公式，结合辅助角公式及三角函数的性质即可解.
【详解】（1），
由及正弦定理，得，
得，代入得，
又因为，
所以．
（2）由（1）知，
所以.
所以
，
因为,
所以，
所以，
所以，
故的取值范围是.
1．（2023·广东·统考一模）在中，角的对边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理的得到，进而由余弦定理得到，求出；
（2）由三角函数和差公式求出，由求出取值范围.
【详解】（1）因为，
所以，
整理得，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为，所以.
（2）
在中，因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以的取值范围为.
2．（2023·广东广州·广州六中校考三模）记的内角的对边分别为，已知为钝角，.
(1)若，求；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意及正弦定理得到，即，结合角的范围可得，又，即可求得；
（2），令，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由，根据正弦定理得：，
由于，可知，即，
因为为钝角，则为锐角，即，
则，则.
由，得.
（2）
.
因为为锐角，所以，即，则，
设，则，
.
因为，则，从而.
由此可知，的取值范围是.
3．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知的三个角所对的边分别为，，.
(1)若，，，求；
(2)若为锐角三角形，且三个角依次成等差数列，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理求，进而可求及三角形面积.
（2）根据题意可得，结合锐角三角形可得角的取值范围，利用正弦定理和三角恒等变换整理得，结合正切函数运算求解即可.
【详解】（1）由余弦定理可得：，
可知角为锐角，则,
所以的面积.
（2）因为角依次成等差数列，则，
则，可得，
又因为为锐角三角形，则，解得，
则
，
因为，则，可得，
所以，
故的取值范围为.
4．（2023·浙江金华·统考模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由和差角公式化简得，由正弦定理边角化即可求解，
（2）由锐角三角形满足，根据基本不等式即可求解.
【详解】（1），
，
，由正弦定理得：.
（2）锐角，
，
当且仅当时等号成立，
当时，，当时，，
所以.
考点九、向量类最值及范围问题
1．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）在中，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，利用余弦定理可求得，根据向量数量积定义可得，利用三角形三边关系可求得的范围，结合二次函数性质可求得结果.
【详解】设，则，
由余弦定理得：，
；
，，，
即的取值范围为.
故选：D.
2．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）已知点为锐角的外接圆上任意一点，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设的外接圆的半径为，根据向量线性运算和数量积运算公式化简可得，根据正弦定理可求，再求出的范围，结合三角函数性质可求的范围.
【详解】因为，
所以
所以，
设的外接圆的半径为，则
所以，
所以，
在中，由正弦定理可得，
又，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，
所以，
所以，
又，所以，故，
所以，所以，
又在上都为增函数，
所以，故，
又，，，
，故，
所以，
其中当时，即点与点重合时左侧等号成立，
所以的取值范围为.
故选：B.
3．（2023·浙江金华·模拟预测）在中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．已知的面积，其外接圆半径，且．
(1)求；
(2)若A为钝角，P为外接圆上的一点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由三角形面积公式求得，已知等式由正弦定理边化角，化简得，可解得；
（2）由（1）得，则，建立平面直角坐标系，设，利用向量的坐标运算求，由三角函数的值域求取值范围.
【详解】（1）由，得，
，
由正弦定理，，
则，
由，
得，
化简得，由，，
解得，因此.
（2）由（1）得，若A为钝角，则，则，如图建立平面直角坐标系，
则，设．
则，，，
有，，，
则．
由，则，
所以的取值范围为.
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）周长为4的，若分别是的对边，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用平面向量的数量积公式结合余弦定理可得，再根据三角形两边之和大于第三边结合基本不等式求出，然后利用二次函数的性质求解即可.
【详解】因为周长为4的，分别是的对边，且，
所以
，
令，
∴，
∴，解得，
又∵，∴，∴
故，又在上递减，
∴，
故答案为：.
2．（2023·江苏盐城·统考三模）在中，，，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用正弦定理和向量数量积的定义得，再根据的范围和正切函数的值域即可求出其范围.
【详解】根据正弦定理得，即，
，
，
，
即的取值范围.
故答案为：.
3．（2023·安徽黄山·统考三模）记的内角的对边分别为，已知，.
(1)求角的大小和边的取值范围；
(2)如图，若是的外心，求的最大值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据正弦定理求边的取值范围；
（2）解法一：根据数量积结合圆的性质整理可得，进而可求取值范围；解法二：根据数量积结合余弦定理整理可得，进而可求取值范围.
【详解】（1）在中，由结合正弦定理可得：
，
因为，则，
化简得，即，
又因为，则，
所以，解得，
由正弦定理，化简得，
因为，所以，所以.
（2）解法1：由正弦定理得，且，
因为
，
当点O不在外部时（如图），
；
当点O在外部时（如图），，
；
由（1）可知，
即当时，则的最大值为.
解法2：由题可知：，
如图，分别取线段的中点，
由于O是的外心，则，
则
，
所以，
由余弦定理得，即，
整理得，
所以，
由（1）可知，
即当时，则的最大值为.
考点十、参数类最值及范围问题
1．（2023·陕西榆林·统考一模）的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正弦、余弦定理可得，结合即可求解.
【详解】因为，由正弦定理得.又，
所以.因为，
所以，故.
故选：A.
2．（2023·全国·模拟预测）已知在中，角所对的边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简题给条件，再利用正弦定理即可求得的值；
（2）先化简题给条件求得，代入题干条件进而求得，从而得到的最小值，再结合条件求出实数的取值范围.
【详解】（1）依题意，，
因为，所以.
由正弦定理，得，
故上式可化为.
因为，所以，
由正弦定理，得.
（2）因为，
由正弦定理，，
因为，故，
则，
故，
因为，故，又，故，
代入中，得，即.
由余弦定理，，故，
则，当且仅当时等号成立，
故，又，
所以实数的取值范围为.
1．（2023·河北张家口·统考二模）在锐角中，角所对的边分别为，若.
(1)求；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的诱导公式以及两角和的正切公式，化简整理可得，可得，进而即得；
（2）由余弦定理可推得，变形即可得出，根据已知条件，得出的范围，即可得出，然后根据不等式的性质得出，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）由，得，
整理可得.
又，所以.
因为，所以.
（2）由余弦定理可得，于是，，
所以，则，
由正弦定理得.
在锐角中，，则.
又，故，
所以，所以，
所以，，
因此，.
由题意可得恒成立，
于是，.
所以，实数的取值范围是.
2．（2023·山西大同·统考模拟预测）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)证明：；
(2)若AD是BC边上的高，且，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换，将已知条件化为，根据正余弦边角关系证明结论；
（2）设，，则，根据（1）结论有，利用余弦定理及锐角三角形的性质求范围，进而求范围.
【详解】（1）由题意得
，
即，
由正弦定理得.
（2）设，，则，
由（1）知：，
∴，
由，又，
对于函数且，有，则在上，递减；在上，递增，
所以，故，
则.
【基础过关】
一、单选题
1．（2022·上海黄浦·统考模拟预测）已知锐角，其外接圆半径为，，边上的高的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设边上的高为，根据题意得，再结合条件得，再分析求值域即可.
【详解】因为为锐角三角形，，设边上的高为，
所以，解得
由正弦定理可得，，
所以，，，因为，
所以
因为，所以，所以，
所以，所以高的取值范围为.
故选：C.
二、填空题
2．（2023·青海西宁·统考一模）在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据正弦定理得到关于的等式，根据锐角，求得角的范围，进而求得的取值范围即可.
【详解】解：在中，由正弦定理得，
所以，即，
因为锐角，所以，
即，解得，
所以，所以，
故，即.
故答案为：
三、解答题
3．（2022·山东烟台·统考三模）在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角，再利用三角恒等变换公式及余弦函数的性质计算可得；
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得，
即，
即，
因为，所以，
所以.
因为，所以，
所以，因为，所以.
（2）解：由正弦定理得，
所以
，
所以.
因为，所以，
所以，所以.
4．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知锐角三角形ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求B；
(2)若，求c的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理及正弦的两角和公式将，变形为
，再化简可求解；
（2）由，即可求解.
【详解】（1）由及正弦定理得，
所以，
因为，所以，所以，从而.
因为，所以，所以.
（2）由正弦定理得，
所以.
因为是锐角三角形，所以，
解得.
因为在上单调递增，所以.
从而，所以，即c的取值范围是.
5．（2023·甘肃张掖·统考模拟预测）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角C的大小；
(2)若，求c的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再用余弦定理可求出角；
（2）由（1）已知角，可借助正弦定理化边为角，再利用辅助角公式及正弦三角函数的性质可解．
【详解】（1）由已知及正弦定理，得，
即，
∴．
又∵，
∴；
（2）由（1）及正弦定理得，
∵，
∴，
∴．
∵，∴，，
∴，
∴．
6．（2023·广东汕头·统考三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求证：；
(2)若的角平分线交BC于，且，求面积的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，结合正弦函数的单调性进行求解即可；
（2）根据正弦定理和三角形面积公式进行求解即可.
【详解】（1）因为，由正弦定理得
又，所以
因为为锐角三角形，所以，，
又在上单调递增，所以，即；
（2）由（1）可知，，所以在中，，
由正弦定理得：，所以，
所以．
又因为为锐角三角形，所以，，，解得，
所以，即面积的取值范围为．
7．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
(1)求角A；
(2)若，求△ABC周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，由余弦定理即可求解，
（2）根据正弦定理得，由内角和关系以及和差角公式可得，进而由三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）由正弦定理可得：，
，，
（2）因为，，所以，故
由正弦定理得：
所以，
所以周长
因为，则，所以
故
求周长的取值范围为.
8．（2023·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小．
(2)若，求的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两角差的正弦公式、两角和的余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；
（2）根据余弦定理，结合基本不等式、三角形两边之和大于第三边进行求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
因为因为，所以，
所以
因此有．
又因为，所以．
（2）由，及余弦定理，得
，
所以，当且仅当时取等号．
又因为，所以，故的周长的取值范围为．
9．（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）已知内角所对的边长分别为.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可得，结合三角形内角性质求角的大小；
（2）法一：由已知可得，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得即可得范围；法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围.
【详解】（1）由余弦定理得，即，
所以，又，则.
（2）法一：为锐角三角形，，则，
所以，可得，
又，则，故
由，即而，
所以，故面积的取值范围为.
法二：由，画出如图所示三角形，
为锐角三角形，
点落在线段（端点除外）上，
当时，，
当时，，
.
10．（2023·广东佛山·统考二模）已知为锐角三角形，且．
(1)若，求；
(2)已知点在边上，且，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角恒等变换可得，再利用三角函数的性质结合条件即得；
（2）利用正弦定理结合条件可得，然后根据条件及三角函数的性质即可求得其范围.
【详解】（1）因为，
所以，即，
又，，
所以，
所以，即，又，，
所以，即；
（2）因为，所以，又，
可得，
在中，，
所以，
在中，，
因为为锐角三角形，
所以，得，
所以，
所以，即的取值范围为.
【能力提升】
1．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由余弦定理结合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；
（2）由，结合正弦定理应用辅助角公式，根据锐角三角形中角的范围，即可应用三角函数值域求出范围
【详解】（1）由余弦定理得，
即，
由正弦定理得
，
，即，
.
（2）由余弦定理得：，则.
由正弦定理得
所以，
因为是锐角三角形，所以，即，
则.
中线长的取值范围是.
2．（2023·河北·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)已知的外接圆半径为4，若有最大值，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解；
（2）根据题意利用利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算化简得，分类讨论的符号，结合辅助角公式分析运算.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
因为，则，可得，
则
，
又因为，则，整理得，
且，所以.
（2）由正弦定理，可得，
因为，则，
则
，
①若，即时，则，
其中，
当，即时，取到最大值，符合题意；
②若，即时，则在上单调递减，无最值，不符合题意；
③若，即时，则，
其中，
当，即时，取到最大值
注意到，则，
可得，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
3．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）在中，角所对的边分别为，满足，.
(1)证明：外接圆的半径为；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合角的范围求出角，再应用正弦定理求出外接圆半径即可；
（2）把已知恒成立，参数分离转化为恒成立，再求出的最大值可得范围.
【详解】（1）由，得，
由正弦定理得:
，
化简得.
因为，所以.
又，所以，
所以外接圆的半径为.
（2）要使恒成立，
即恒成立，
即求的最大值.
由余弦定理得，
所以
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以实数的取值范围为.
4．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列.
(1)若，的面积为2，求的周长；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比中项公式与三角形面积公式求得，再利用余弦定理与完全平方公式求得，从而得解；
（2）结合题意，先化简所求得求公式q的取值范围即可，利用三角形两边之和大于第三边得到关于q的不等式组，从而得解.
【详解】（1）因为a，b，c成等比数列，则，
又，，所以，
所以的面积为，故，则，
由余弦定理，
即，则，
所以，故的周长为.
（2）设a，b，c的公比为q，则，，
而，
因此，只需求的取值范围即可.
因a，b，c成等比数列，最大边只能是a或c，因此a，b，c要构成三角形的三边，必需且只需且.
故有不等式组，即，解得，
从而，因此所求范围为.
5．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）利用正余弦定理得，再利用两角和与差的余弦公式化简得，再根据范围即可证明；
（2）根据三角恒等变换结合（1）中的结论化简得，再求出的范围，从而得到的范围，最后利用对勾函数的单调性即可得到答案.
【详解】（1）由及得,.
由正弦定理得,
又,
,
,
,
都是锐角,则
,
（2）令
，
由（1）得.
在锐角三角形中,
，即，,
令,
根据对勾函数的性质知在上单调递增，
,即的取值范围是.
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，角的对边分别为且，
(1)求；
(2)求边上中线长的取值范围．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）根据题意利用正弦定理进行边角转化，分析运算即可；
（2）利用余弦定理和基本不等式可得，再根据，结合向量的相关运算求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
整理得，
且，则，可得，即，
且，则，
由正弦定理，其中为的外接圆半径，
可得，
又因为，
所以.
（2）在中，由余弦定理，即，
则，当且仅当时，等号成立，
可得，即
设边上的中点为D，
因为，则
，
即，所以边上中线长的取值范围为.
7．（2023·浙江·校联考模拟预测）记锐角内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形内角和定理，两角和的余弦公式的得到，进而求解；
（2）利用正弦定理和三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）由，故，
故，
，
故，因是锐角三角形，故，.
故，故，所以.
（2）由正弦定理可知，
故，
.
.
由是锐角三角形，可知，
故，
故.
8．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知在中，角，，的对边分别是，，，面积为，且_____．
在①，②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题．
(1)求；
(2)若，点是边的中点，求线段长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，根据三角形面积公式和数量积公式，化简求角；若选②，根据二倍角公式，以及，化简求角；若选③利用正弦定理，将边化角，再结合辅助就公式，即可求解；
（2）利用向量公式，两边平方后，结合条件，转化为二次函数求值域.
【详解】（1）若选，因为，
所以，可得，
又因为，
所以．
若选，因为，
所以，
整理可得，
解得或，
又因为，可得，
所以,
所以．
若选，因为，
所以由正弦定理可得，
又因为为三角形内角，，
所以，可得，
又因为，，
所以，可得．
（2）因为，所以，
因为是的中点，所以，
平方得，
所以
因为，所以时，，可得，
所以，可得，
故线段长的取值范田为
9．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求；
(2)已知的角平分线交于点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）由面积公式可得，再由正弦定理转化为关于的三角函数，再结合的范围计算可得.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
所以，又，所以.
（2）因为
，
因为为锐角三角形，所以，解得，所以，
所以，即的取值范围为.

10．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求证：△ABC是等边三角形；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由结合正弦定理，可得，由，可得，从而证明△ABC是等边三角形；
（2）由正弦定理和三角形内角和定理，可得，根据的范围，即可得的取值范围.
【详解】（1）证明：∵，
∴由正弦定理，得，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，即，
∵，∴．
由，得，
∴，∴△ABC为等边三角形．
（2）由（1）知，∴．
由△ABC为锐角三角形，可得，
解得，∴．
由正弦定理，得，
由，可得，∴，
即，∴的取值范围为.
11．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求角B的大小；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角的内角和定理，利用正弦定理的边角化及两角差的正弦公式，结合锐角三角形求出角的范围及正切函数的性质即可求解.
【详解】（1）由及余弦定理，得，
由锐角，知，
所以．
（2）由（1）知，得，故，
由正弦定理，得，
由为锐角三角形得解得，
∴，
∴．
故的取值范围为.
12．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且．
(1)求证：；
(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化化简，再由余弦定理即可得到，再由正弦定理的边角互化即可证明；
（2）根据题意，由正弦定理可得，再由的范围，即可得到结果.
【详解】（1）由题意得，即．
所以，
由正弦定理得，又由余弦定理得，
所以，故，
故，整理得．
又为锐角三角形，则，，，
所以，因此．
（2）在中，由正弦定理得，所以．
所以．因为为锐角三角形，且，
所以，解得．
故，所以．因此线段长度的取值范围.
【真题感知】
一、单选题
1．（四川·高考真题）在ABC中，．则的取值范围是（ ）
A．（0，]B．[，）C．（0，]D．[，）
【答案】C
【详解】试题分析：
由于，根据正弦定理可知，故．又，则的范围为.故本题正确答案为C.
考点：三角形中正余弦定理的运用.
二、双空题
2．（北京·高考真题）若的面积为,且∠C为钝角，则∠B= ；的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.
【详解】，
，即，
，
则，
为钝角，，
，故.
故答案为，.
【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键.
三、解答题
3．（全国·高考真题）设锐角三角形的内角，，的对边分别为
（1）求B的大小；
（2）求 的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由，根据正弦定理得
，
所以，
由△ABC为锐角的三角形得
（2）
由△ABC为锐角的三角形知，
所以，，
，
由此有，
所以，的取值范围为
4．（全国·统考高考真题）的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1) ;(2).
【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.
(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.
【详解】(1)
[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】
由三角形的内角和定理得，
此时就变为．
由诱导公式得，所以．
在中，由正弦定理知，
此时就有，即，
再由二倍角的正弦公式得，解得．
[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】
由解法1得，
两边平方得，即．
又，即，所以，
进一步整理得，
解得，因此．
[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】
根据题意，由正弦定理得，
因为，故，
消去得．
，，因为故或者，
而根据题意，故不成立，所以，
又因为，代入得，所以.
(2)
[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】
因为是锐角三角形，又，所以，
则．
因为，所以，则，
从而，故面积的取值范围是．
[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】
由题设及（1）知的面积．
因为为锐角三角形，且，
所以即
又由余弦定理得，所以即，
所以，故面积的取值范围是．
[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】
如图1，在中，过点A作，垂足为，作与交于点．
由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且，
所以点C位于在线段上且不含端点，从而，
即，即，所以，
故面积的取值范围是．
【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；
方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；
方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小.
(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；
方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；
方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.
5．（江西·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据三角形角的关系，代入化简三角函数式，即可求得，进而得角的大小；
（2）根据余弦定理，由基本不等式即可求得，再结合三角形边关系求得的取值范围.
【详解】（1）∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
（2）由余弦定理可知，
代入可得，
当且仅当时取等号，
∴，又，
∴的取值范围是．
【点睛】本题考查了三角恒等变形的应用，由余弦定理及基本不等式求边的范围，属于中档题.
6．（浙江·统考高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求csA+csB+csC的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；
（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.
结合余弦定，
∴，
即，
即，
即，
即，
∵为锐角三角形，∴，
∴，
所以，
又B为的一个内角，故.
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故.
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因为，并利用余弦定理整理得，
即.
结合，得.
由临界状态（不妨取）可知.
而为锐角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化简得
故的取值范围是.
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.基本不等式的推论
重要不等式
（和定积最大）
当且仅当时取等号
当且仅当时取等号
基本不等式的推论
重要不等式
（和定积最大）
当且仅当时取等号
当且仅当时取等号