高考数学第一轮复习(新教材新高考)第11讲解三角形中的相关定理公式综合(高阶拓展)（核心考点精讲精练）(学生版+解析)

这是一份高考数学第一轮复习(新教材新高考)第11讲解三角形中的相关定理公式综合(高阶拓展)（核心考点精讲精练）(学生版+解析)，共58页。

命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为10-12分
【备考策略】1.掌握正余弦定理在三角形中的应用、熟练掌握面积公式的应用
2能熟练掌握解三角形中的相关定理公式进行综合应用
【命题预测】本节内容是在新高考卷的命题考查为解答题，常考查相关定理公式综合，需备考综合复习
知识讲解
1.海伦-秦九韶公式
三角形的三边分别是a、b、c，
则三角形的面积为
其中，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。
我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式:
2.三倍角公式
，

3.射影定理
，，
4.角平分线定理
（1）在中，为的角平分线，则有
（2）
（3）（库斯顿定理）
（4）
5.张角定理
6.倍角定理
在中,三个内角的对边分别为,
(1)如果,则有:
(2)如果,则有:
(3)如果,则有:
倍角定理的逆运用
在中,三个内角A、B、C的对边分别为,
(1)如果,则有:。
(2)如果,则有:。
(3)如果,则有:。
7.中线长定理
为的中线,则中线定理:
证明:
在和中,用余弦定理有:
8.三角恒等式
在中，
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩。
考点一、海伦-秦九韶公式及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则该三角形的面积，这就是著名的“海伦-秦九韶公式”若的三边长分别为5，6，7，则该三角形的面积为 ．
2．（2023·重庆·统考模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A．B．C．D．1
3．（2023·全国·高三专题练习）三角形的三边分别为a，b，c，秦九韶公式和海伦公式，其中，是等价的，都是用来求三角形的面积．印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四边分别为a，b，c，d，则，其中，为一组对角和的一半.已知四边形四条边长分别为3，4，5，6，则四边形最大面积为（ ）
A．21B．C．D．
1．（2023·全国·高三专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式，设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，“三斜求积”公式表示为.在中，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在中，设分别为的内角的对边，S表示的面积，其公式为.若，，，则 .
考点二、三倍角公式及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，．若，且为锐角，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
1. 已知的内角的对边分别为,若,则的最小值为
A.-1 B. C.3 D.
考点三、射影定理及其应用
1．（2023·上海浦东新·统考二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则 ．
1．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知在中，角的对边分别为，且满足，，则的面积为 .
考点四、角平分线定理及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）△中，边内上有一点，证明：是的角平分线的充要条件是．
2．（2023春·宁夏银川·高三校考阶段练习）在中，角A的角平分线交于点D，且，则等于（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则角A的角平分线 .

4．（2023春·安徽滁州·高一统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求角A的大小；
(2)若，，AD是△ABC的角平分线，求AD的长.
1．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
2．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）（多选）设为的外心，，，的角平分线交于点，则（ ）
A．B．
C．D．

3．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且满足.
(1)求；
(2)若在上，是的角平分线，且，求的最小值.
考点五、张角定理及其应用
1．（内蒙古呼和浩特·统考一模）如图，已知是中的角平分线，交边于点.
（1）用正弦定理证明：；
（2）若，，，求的长.
2. 在中,角所对的边分别为,已知点在边上,
,则__________
1. 在中,角所对的边分别为是的角平分线,若,则的最小值为_______
考点六、倍角定理及其应用
1．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
1．（2023·四川达州·四川省开江中学校考模拟预测）已知 的三条边是连续的三个正整数，且，则的周长为 .
考点七、中线长定理及其应用
1．（2023春·湖北·高三统考）已知中，，，，则边上的中线长为（ ）
A．B．8C．7D．6

2．（2023·江苏·高三专题练习）（多选）在中，，，则下列判断正确的是（ ）
A．的周长有最大值为21
B．的平分线长的最大值为
C．若，则边上的中线长为
D．若，则该三角形有两解
1．（2023春·河南·高三联考）已知△ABC中，，且△ABC的面积为，则△ABC的边AB上的中线长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，也是在勾股定理的基础上，增加了角度要素而成.而对三角形的边赋予方向，这些边就成了向量，向量与三角形的知识有着高度的结合.已知，，分别为内角，，的对边：
(1)请用向量方法证明余弦定理；
(2)若，其中为边上的中线，求的长度.

考点八、三角恒等式及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为，若.
(1)求；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
1．（2023春·浙江台州·高三校考期中）在①，②，③的面积为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．
(1)求角A；
(2)若，的内切圆半径为，求的面积．
【基础过关】
一、单选题
1．（2023春·辽宁沈阳·高三校考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量与平行．若，，则BC边上的中线AD为（ ）
A．1B．2C．D．
2．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）已知分别为的边上的中线，设，,则＝（ ）

A．＋B．＋
C．D．＋
3．（2016春·山东济宁·高二阶段练习）在平面几何里有射影定理：设的两边，是点在上的射影，则．拓展到空间，在四面体中，⊥面，点是在面内的射影，且在内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
4．（2023·江苏·高三专题练习）任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：的三边是，它们所对的角分别是，则有，，．请利用上述知识解答下面的题：在中，若，则 ．
5．（2023春·江苏盐城·高三校考期中）在中，角所对的边分别为，且，若的面积为，则边上中线长的最小值为 .
三、解答题
6．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考期末）如图，在中，，的角平分线交于点.
(1)求的值；
(2)若，，求的长.
7．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知．
(1)求；
(2)若外接圆面积为，求的最大值；
(3)若，且的角平分线，求．
8．（2023春·湖南邵阳·高三邵阳市第二中学校考期中）在中，内角，，的对边分别为，，，.
(1)求角A的大小；
(2)若是角平分线，求证：.
【能力提升】
1．（2022秋·浙江·高三校联考阶段练习）在中，的角平分线交边于点.
(1)证明：.
(2)若，且的面积为，求的长.
2．（2015·全国·高考真题）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若,求.
3．（2023春·山东济宁·高一统考期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若．
(1)求角的大小;
(2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值．
4．（2023·江苏南通·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)若，证明：；
(2)若，证明：.
5．（2023·浙江·统考一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的取值范围．
6．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考三模）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
7．（2023·江苏盐城·统考三模）在中,为的角平分线,且.
(1)若,,求的面积;
(2)若,求边的取值范围.
【真题感知】
一、单选题
1．（陕西·高考真题）设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
二、填空题
2．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
三、解答题
3．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
4．（全国·高考真题）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若,求.
5．（全国·高考真题）中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
第11讲 解三角形中的相关定理公式综合
（高阶拓展）（核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为10-12分
【备考策略】1.掌握正余弦定理在三角形中的应用、熟练掌握面积公式的应用
2能熟练掌握解三角形中的相关定理公式进行综合应用
【命题预测】本节内容是在新高考卷的命题考查为解答题，常考查相关定理公式综合，需备考综合复习
知识讲解
1.海伦-秦九韶公式
三角形的三边分别是a、b、c，
则三角形的面积为
其中，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。
我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式:
2.三倍角公式
，

3.射影定理
，，
4.角平分线定理
（1）在中，为的角平分线，则有
（2）
（3）（库斯顿定理）
（4）
5.张角定理
6.倍角定理
在中,三个内角的对边分别为,
(1)如果,则有:
(2)如果,则有:
(3)如果,则有:
倍角定理的逆运用
在中,三个内角A、B、C的对边分别为,
(1)如果,则有:。
(2)如果,则有:。
(3)如果,则有:。
7.中线长定理
为的中线,则中线定理:
证明:
在和中,用余弦定理有:
8.三角恒等式
在中，
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩。
考点一、海伦-秦九韶公式及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则该三角形的面积，这就是著名的“海伦-秦九韶公式”若的三边长分别为5，6，7，则该三角形的面积为 ．
【答案】．
【分析】将三边长分别代入公式即可求解.
【详解】解：由题意得
故答案为：
2．（2023·重庆·统考模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】对于，利用正弦定理角化边可得，继而化简可得，代入“三斜求积”公式即得答案.
【详解】由得，
由得，
故，
股癣：A
3．（2023·全国·高三专题练习）三角形的三边分别为a，b，c，秦九韶公式和海伦公式，其中，是等价的，都是用来求三角形的面积．印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四边分别为a，b，c，d，则，其中，为一组对角和的一半.已知四边形四条边长分别为3，4，5，6，则四边形最大面积为（ ）
A．21B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，由已知可推出，即可得出答案．
【详解】∵a＝3，b＝4，c＝5，d＝6，
∴，又易知，，
则
，
当，即时，有最大值为.
故选：D．
1．（2023·全国·高三专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式，设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，“三斜求积”公式表示为.在中，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据若，，得到ac和，代入求解即可.
【详解】解：因为，
所以，即，
又，
所以，
所以，
故选：C
2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由公式列出面积的表达式，代入，然后利用基本不等式可求得结果
【详解】由题意得，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以三角形面积的最大值为.
故选:B
3．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在中，设分别为的内角的对边，S表示的面积，其公式为.若，，，则 .
【答案】1或
【分析】由正弦定理结合题设推得，利用条件解方程可得答案.
【详解】在中，由正弦定理得,
而，故，结合可得,
即有，
由，可得，
整理得，解得或，
故或，符合题意，
故答案为：1或
考点二、三倍角公式及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，．若，且为锐角，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
方法一：
【分析】将式子中的边b、c都转化为角的关系，即变为，由于，利用均值不等式便可求得其最小值.
【详解】
，即，．
为锐角，则
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为．
故选：A
方法二：三倍角公式
为锐角，则
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为．
故选：A
1. 已知的内角的对边分别为,若,则的最小值为
A.-1 B. C.3 D.
解析:
因为,所以由正弦定理,得
因为,所以,
所以,所以,
当且仅当时,即时等号成立,
所以的最小值为3.
故选:C.
考点三、射影定理及其应用
1．（2023·上海浦东新·统考二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则 ．
【答案】
【分析】由正弦定理得到，求出正弦，利用二倍角公式求出答案.
【详解】，由正弦定理得，
因为，所以，故，
由于，故，
则.
故答案为：
1．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知在中，角的对边分别为，且满足，，则的面积为 .
【答案】
【分析】根据正弦定理以及同角关系可得，进而根据余弦定理即可得的值，由面积公式即可求解.
【详解】因为，由正弦定理得，即，得，
又，所以.
因为，所以由余弦定理可得，即，所以
故的面积为.
故答案为：
考点四、角平分线定理及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）△中，边内上有一点，证明：是的角平分线的充要条件是．
【答案】证明见解析
【分析】证明两个命题为真：一个是由是的角平分线证明，一个是由证明是的角平分线．
【详解】证明：设：是的角平分线，：．
如图，过点作//交的延长线与点，
（1）充分性（）：若，则，所以，所以，又△∽△，所以，所以．
（2）必要性 （）：反之，若，则∵，∴△∽△，∴，所以，所以，又//，所以，所以．
由（1）（2）可得，是的角平分线的充要条件是．
【点睛】本题考查充分必要条件的证明，要证明是的充要条件，必须证明两个命题为真：即充分性：，必要性：．
2．（2023春·宁夏银川·高三校考阶段练习）在中，角A的角平分线交于点D，且，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用角平分线定理以及平面向量的线性运算法则即可求解.
【详解】因为是的角平分线，所以，
所以由正弦定理得，，
又因为，，
所以，即，所以
，即.
故选：D
3．（2023春·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则角A的角平分线 .

【答案】
【分析】运用正弦定理和两角和差公式求解.
【详解】
由正弦定理得，都是锐角，
，，
，
在中，由正弦定理得：；
故答案为：.
4．（2023春·安徽滁州·高一统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求角A的大小；
(2)若，，AD是△ABC的角平分线，求AD的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可得到答案；
（2）根据，再利用三角形面积公式得到关于的方程，解出即可.
【详解】（1）由正弦定理可知.
由余弦定理可得，
又，所以.
（2）由题意知，
所以，
所以，
解得.
1．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【答案】
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
2．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）（多选）设为的外心，，，的角平分线交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】对于A、B：根据题意结合正弦定理可得，结合平面向量的线性运算求；对于C、D：根据外心的性质结合平面向量的数量积运算求解.
【详解】在中，有正弦定理可得，可得，
在中，有正弦定理可得，可得，
因为，，为的角平分线，
可知，
则，
可得，
所以，即，
可得，
故A正确，B错误；
分别取的中点，连接，可知，
因为为的外心，则，
，
所以，
故C正确；D错误.
故选：AC.

3．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且满足.
(1)求；
(2)若在上，是的角平分线，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式可求出结果；
（2）根据三角形的面积公式以及基本不等式可求出结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
即，
所以，
而，故，因为，所以.
（2）由题意可知，，
由角平分线性质和三角形面积公式得，
化简得，又，从而，当且仅当时，等号成立，
故，因此的最小值为.
考点五、张角定理及其应用
1．（内蒙古呼和浩特·统考一模）如图，已知是中的角平分线，交边于点.
（1）用正弦定理证明：；
（2）若，，，求的长.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【详解】试题分析：（1）根据是的角平分线,利用正弦定理、三角形内角和定理及诱导公式，即可证明结论成立；(2)根据余弦定理，先求出的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出的长.
试题解析：（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD
根据正弦定理，在△ABD中，=
在△ADC中，=
∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC
∴=，=
∴=
（2）根据余弦定理，cs∠BAC=
即cs120°=
解得BC=
又=
∴=，
解得CD=，BD=；
设AD=x，则在△ABD与△ADC中，
根据余弦定理得，
cs60°=
且cs60°=
解得x=，即AD的长为．
2. 在中,角所对的边分别为,已知点在边上,
,则__________
解：如图
由张角定理得:
即
1. 在中,角所对的边分别为是的角平分线,若,则的最小值为_______
【解析】如图:
是的角平分线
由张角定理得:
（当且仅当,即时取“=”）
考点六、倍角定理及其应用
1．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）利用正余弦定理得，再利用两角和与差的余弦公式化简得，再根据范围即可证明；
（2）根据三角恒等变换结合（1）中的结论化简得，再求出的范围，从而得到的范围，最后利用对勾函数的单调性即可得到答案.
【详解】（1）由及得,.
由正弦定理得,
又,
,
,
,
都是锐角,则
,
（2）令
，
由（1）得.
在锐角三角形中,
，即，,
令,
根据对勾函数的性质知在上单调递增，
,即的取值范围是.
1．（2023·四川达州·四川省开江中学校考模拟预测）已知 的三条边是连续的三个正整数，且，则的周长为 .
【答案】
【分析】不妨设，，，由题得，再利用正弦定理余弦定理化简即得解.
【详解】不妨设，，
由，即，
所以，
解得，
所以的周长为.
故答案为：15
考点七、中线长定理及其应用
1．（2023春·湖北·高三统考）已知中，，，，则边上的中线长为（ ）
A．B．8C．7D．6

【答案】C
【分析】根据余弦定理，即可求解.
【详解】如图，边的中点为，
，，，
中，根据余弦定理，
，
则

故选：C
2．（2023·江苏·高三专题练习）（多选）在中，，，则下列判断正确的是（ ）
A．的周长有最大值为21
B．的平分线长的最大值为
C．若，则边上的中线长为
D．若，则该三角形有两解
【答案】ABD
【分析】A选项，由余弦定理和基本不等式求出，从而得到周长的最大值；B选项，作出辅助线，表达出，由基本不等式求出的最值；C选项，由三角恒等变换求出，由正弦定理求出，再在中，由余弦定理求出答案；D选项，判断出，得到三角形解的个数.
【详解】A选项，，故，
变形得到，解得，
当且仅当时，等号成立，
故的周长有最大值为，A正确；
B选项，如图，为三角形的角平分线，故，
过点作⊥于点，⊥于点，
则，设，则，
，
又，
所以，解得，
由A选项可知，又，故，，
当且仅当时，等号成立，
所以，则，
故的平分线长的最大值为，B正确；
C选项，若，则，
故，
在中，由正弦定理得，即，解得，
在中，由余弦定理得，
解得，故边上的中线长为，C错误；
D选项，若，则，
而，则该三角形有两解，D正确.
故选：ABD
1．（2023春·河南·高三联考）已知△ABC中，，且△ABC的面积为，则△ABC的边AB上的中线长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意利用正弦定理可得，结合面积公式可得，再根据向量可知，结合数量积的运算律求模长.
【详解】由正弦定理可得：，设，
由面积公式，即，解得，
则，
设边AB上的中线为，则，
可得，
即.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，也是在勾股定理的基础上，增加了角度要素而成.而对三角形的边赋予方向，这些边就成了向量，向量与三角形的知识有着高度的结合.已知，，分别为内角，，的对边：
(1)请用向量方法证明余弦定理；
(2)若，其中为边上的中线，求的长度.

【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）如图，设，由三角形法则有，利用数量积的性质展开可得，即可得出结论.
（2）如图，由（1）求出的值，两次在不同三角形中利用即可求得结果.
【详解】（1）如图，设，

则有，可得，
，
.
（2）由（1）知，
，

如图，则，，
，
在中，
，
解得.
考点八、三角恒等式及其应用
1．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为，若.
(1)求；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的诱导公式以及两角和的正切公式，化简整理可得，可得，进而即得；
（2）由余弦定理可推得，变形即可得出，根据已知条件，得出的范围，即可得出，然后根据不等式的性质得出，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）由，得，
整理可得.
又，所以.
因为，所以.
（2）由余弦定理可得，于是，，
所以，则，
由正弦定理得.
在锐角中，，则.
又，故，
所以，所以，
所以，，
因此，.
由题意可得恒成立，
于是，.
所以，实数的取值范围是.
1．（2023春·浙江台州·高三校考期中）在①，②，③的面积为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．
(1)求角A；
(2)若，的内切圆半径为，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；
选②，根据已知条件及三角形的内角和定理，再利用两角和的正切公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；
选③，根据已知条件及三角形的面积公式，再利用余弦定理的推论及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式，结合余弦定理即可求解.
【详解】（1）若选①，由及正弦定理，得，
即，
即，
所以，
因为,所以，
所以，又,
所以．
若选②，由，得
，
∴，
因为,所以，当时，不存在，
所以，又,
所以．
若选③，因为的面积为，
所以，
即，
所以，又,
所以．
（2）由（1）知，，
∵内切圆半径为，
∴，即
，
由余弦定理，得，即，
所以，
联立，得，解得，
所以．
【基础过关】
一、单选题
1．（2023春·辽宁沈阳·高三校考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量与平行．若，，则BC边上的中线AD为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据向量平行列方程，利用平方的方法求得.
【详解】由于向量与平行，
所以，由正弦定理得，
由于所以，
由于，所以.
，两边平方得
，
所以.
故选：D
2．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）已知分别为的边上的中线，设，,则＝（ ）

A．＋B．＋
C．D．＋
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算即可联立方程求解.
【详解】分别为的边上的中线,
则,
,
由于，，所以,
故解得
故选：B
3．（2016春·山东济宁·高二阶段练习）在平面几何里有射影定理：设的两边，是点在上的射影，则．拓展到空间，在四面体中，⊥面，点是在面内的射影，且在内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用类比推理结合空间中垂直关系的转化可得正确的结论.
【详解】在直角三角形中的射影定理为；（即直角边的平方等于它在斜边上的射影与斜边的积），
所以四面体中可类比得；．（侧面面积的平方等于它在地面上的射影与底面的积），证明如下：
过作，连接，
因为平面，而平面，故，
而，平面，故平面，
而平面，故，
又点是在面内的射影，故平面，
而平面，故，而平面，
故平面，而平面，故，
在平面中，因为，，故共线，
因为平面，平面，故，
故在中，有，
而，，，
故，
故选：A.
二、填空题
4．（2023·江苏·高三专题练习）任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：的三边是，它们所对的角分别是，则有，，．请利用上述知识解答下面的题：在中，若，则 ．
【答案】
【分析】由题可得，计算即可.
【详解】由题得，，
由第一余弦定理知，
所以，
所以，又C为三角形的内角
解得，
故答案为：
5．（2023春·江苏盐城·高三校考期中）在中，角所对的边分别为，且，若的面积为，则边上中线长的最小值为 .
【答案】
【分析】先由等式得，再由的面积为得到，
结合图象和余弦定理可得，利用基本不等式可得最小值.
【详解】因为，
由正弦定理得，整理得，即，
因，所以，得，
则，
因为，所以.

如图，设边上的中点为，在中，由余弦定理，得，又，
所以
由得代入上式，
得，
当且仅当时取等，所以AC边上中线长的最小值为.
故答案为：.
三、解答题
6．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考期末）如图，在中，，的角平分线交于点.
(1)求的值；
(2)若，，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形的面积公式求得正确答案.
（2）先求得，然后利用余弦定理列方程来求得.
【详解】（1）依题意，的角平分线交于点，
所以.
（2）设到的距离为，
由（1）得，所以，.
依题意，
由余弦定理得，
整理得，所以.
7．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知．
(1)求；
(2)若外接圆面积为，求的最大值；
(3)若，且的角平分线，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知得，由余弦边角关系即可求值；
（2）由正弦定理求外接圆半径，由（1）得，进而求得，应用余弦定理、基本不等式求最值，注意等号成立条件.
（3）利用等面积法得，由二倍角余弦公式求，即可求结果.
【详解】（1）由题知，即，
由，解得．
（2）由外接圆面积为得外接圆半径，
由（1），所以，
由正弦定理得，解得，
由余弦定理得，即，
化简得，当且仅当a＝c时等号成立．
所以ac的最大值为．
（3）因为BD是的角平分线，则，
所以的面积，
所以，则，
由，所以，解得（负值舍去），
综上，．
8．（2023春·湖南邵阳·高三邵阳市第二中学校考期中）在中，内角，，的对边分别为，，，.
(1)求角A的大小；
(2)若是角平分线，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合同角的三角函数关系即可求得答案；
（2）根据角平分线性质可得，利用展开化简即可证明结论.
【详解】（1）由，由正弦定理可得，
因为，可得，所以，即，
又因为，可得.
（2）因为是角平分线，且，所以，
所以，
可得，
可得，
所以，所以，
即.
【能力提升】
1．（2022秋·浙江·高三校联考阶段练习）在中，的角平分线交边于点.
(1)证明：.
(2)若，且的面积为，求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先设，，得到，，再利用正弦定理证明即可.
（2）设，所以，设，根据的面积为，得到，，再利用余弦定理求解即可.
（1）
如图所示：
设，，则，.
在和中分别运用正弦定理，得，，
所以，即，
又因为，故，即.
（2）
设，所以，设.
由，可得.
所以.
因为，所以，所以，
又，所以.
又，所以，
所以，
所以.
2．（2015·全国·高考真题）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若,求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：（Ⅱ）由诱导公式可得 由（Ⅰ）知,
所以
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得 因为AD平分BAC,BD=2DC,所以.
（Ⅱ）因为
所以 由（I）知,
所以
考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力.
3．（2023春·山东济宁·高一统考期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若．
(1)求角的大小;
(2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)将化成，然后结合正弦定理求解；
(2)运用等面积法先表示出，然后结合余弦定理以及基本不等式求解线段长度的最大值.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
由正弦定理得，即 ,
由余弦定理得，
又，所以.
（2）由余弦定理得，即
所以，
即（当且仅当时，等号成立）
因为，
所以，
解得,
因为（当且仅当时，等号成立），
所以（当且仅当时，等号成立），
所以长度的最大值为．
4．（2023·江苏南通·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)若，证明：；
(2)若，证明：.
【答案】(1)见详解；
(2)见详解.
【分析】（1）根据正余弦定理角化边，整理即可；
（2）根据正弦定理推得，即可得到.通过分析，可得以及，代入，整理可得到，令，构造，求导得到在上单调递减.进而得到.
【详解】（1）证明：由正弦定理可得，，所以，
由余弦定理及其推论可得，，，
所以，由已知可得，，
即，
因为，所以.
（2）证明：由已知得，，
又由正弦定理可得，，
因为，所以.
由（1）知，，则，
又由正弦定理可得，
，
又，则，
将以及代入可得，
，
整理可得，，
因为，，，所以，则.
令，则，，
则，
所以，当，恒成立，所以在上单调递减.
所以，，即.
综上所述，.
5．（2023·浙江·统考一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边角变换，结合三角函数和差化积公式与倍角公式推得，从而得到，由此得解；
（2）结合（1）中结论，利用余弦定理与基本不等式即可得解.
【详解】（1）由正弦定理得，
又，所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，故，
又，所以，
因为，所以．
（2）由（1）得，
所以由余弦定理得，
记，则，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，即，
故，则，
所以，即．
6．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考三模）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值为
【分析】（1）根据正弦定理边角互化和两角和差正弦化简即可证明.
（2）将问题转化 ，根据第一问解得，然后结合不等式求解.
【详解】（1）在中，，
由正弦定理得，
又，
因为,
所以,
所以,又,
所以，且,
所以，
故.
（2）由（1）得，
所以，
因为，
所以
，
当且仅当即，且，即当且仅当时等号成立，
所以当时，的最小值为.
7．（2023·江苏盐城·统考三模）在中,为的角平分线,且.
(1)若,,求的面积;
(2)若,求边的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得到的长,再利用三角形的面积公式求解即可;
（2）设,,根据得到,在中,利用余弦定理得到,由两者相等结合的取值范围即可求出结果.
【详解】（1）因为,
所以,
得:,
解得,
所以.
（2）设,,
由得
,
即,
所以,
又在中,
所以,
得,
因为且,
得,
则,
所以,
即边的取值范围为.
【真题感知】
一、单选题
1．（陕西·高考真题）设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
【答案】B
【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.
【详解】因为，
所以由正弦定理可得，
，
所以，所以是直角三角形.
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
二、填空题
2．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【答案】
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
三、解答题
3．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
4．（全国·高考真题）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若,求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：（Ⅱ）由诱导公式可得 由（Ⅰ）知,
所以
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得 因为AD平分BAC,BD=2DC,所以.
（Ⅱ）因为
所以 由（I）知,
所以
考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力.
5．（全国·高考真题）中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
【答案】（1）；（2）1
【详解】试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解.
试题解析：
（1），，
∵，，∴．
由正弦定理可知.
（2）∵，，
∴．
设，则，
在△与△中，由余弦定理可知，
，
，
∵，∴，
∴，解得，
即．
考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．