高考物理一轮复习讲义专题12.3　带电粒子在组合场 叠加场和交变电、磁场中的运动（2份打包，原卷版+解析版）

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1.物理观念：组合场、叠加场。
（1）.掌握带电粒子在组合场中的运动规律和分析思路学会处理磁场和磁场组合、电场和磁场组合带电粒子运动问题．
（2）.了解叠加场的特点，会处理带电粒子在叠加场中的运动问题。
2.科学思维：
牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律、类平抛运动的规律、圆周运动的规律。
3.情感态度价值观：
通过学习常见的电子仪器体会洛伦兹的科技应用。
【讲考点题型】
【知识点一】带电粒子在组合场中的运动
1．带电粒子在组合场中运动的分析思路
= 1 \* GB2 ⑴分阶段（分过程）按照时间顺序和进入不同的区域分成几个不同的阶段；
= 2 \* GB2 ⑵受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如下：
eq \x(匀速圆周运动)←eq \x(粒子垂直于磁感线进入匀强磁场)←eq \x(磁偏转)←eq \x(组合场中两种典型运动)→eq \x(电偏转)→eq \x(粒子垂直于电场线进入匀强电场)→eq \x(类平抛运动)
= 3 \* GB2 ⑶用规律
eq \x(磁偏转)→eq \x(匀速圆周运动)→eq \x(圆轨迹)→eq \x(找半径)→eq \x(定圆心)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\x(半径公式),\x(周期公式)))
eq \x(电偏转)→eq \x(类平抛运动)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\x(初速度方向)→\x(匀速直线运动),\x(电场方向)→\x(匀变速直线运动)))
2．解题步骤
（1）找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度（包括大小和方向）是解决该类问题的关键．
（2）画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．
题型一 磁场与磁场的组合
【例1】（2022·湖南·安化县第二中学模拟预测）如图，在x轴（水平轴）下方，沿y轴（竖直轴）方向每隔d=0.2m就有一段间距也为d=0.2m的区域p，区域p内（含边界）既存在方向竖直向上、场强为E=20N/C的匀强电场，也存在方向垂直坐标轴平面向里、磁感应强度为B=2T的匀强磁场。现有一电荷量为q=5×10-10C、质量m=1×10-9kg的带正电粒子从坐标原点O自由下落。粒子可视为质点，重力加速度大小为g=10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．粒子穿出第一个区域P时速度的水平分量大小为2m/s
B．粒子刚刚到达第n个（n＞1）区域p时的速度大小为 SKIPIF 1 < 0
C．粒子穿过第n个（n＞1）区域p时速度的水平分量的变化量大小为0.2m/s
D．粒子到达第10个区域p时，粒子不能从该区域的下方穿出
【答案】 C
【解析】A．在P区域，竖直向下的重力与竖直向上的电场力大小相等，两者抵消，则在区域P内只受洛伦磁力而做匀速圆周运动。设进入第一个区域时的速度为v1，则出第一个区域的速度大小也为v1，又设出区域的速度与下边界的夹角为θ，则
SKIPIF 1 < 0
由几何知识有
SKIPIF 1 < 0
而
SKIPIF 1 < 0
可得
SKIPIF 1 < 0
故A错误；
B．粒子只有在空白区域由于重力做功而加速，在区域P内洛伦磁力不做功，到达第n个区域时，刚好经过n个空白间隔d，由动能定理
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
故B错误；
C．设粒子进入、穿出第n（n＞1）个区域P时，vn与x轴正方向的夹角分别为α、β，轨道半径为rn，运动轨迹如图所示
由题意得
SKIPIF 1 < 0
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得
SKIPIF 1 < 0
由几何关系可得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
故C正确；
D．设粒子刚好不从第n个区域穿出，也就是粒子刚好与该区域下边界相切，有
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则有
SKIPIF 1 < 0
解得
n=100
故D错误。
故选C。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【变式训练1】（2022·河南洛阳·一模）如图所示，三块挡板围成截面边长 SKIPIF 1 < 0 m的等边三角形区域，C、P、Q分别是MN、AM和AN中点处的小孔，三个小孔处于同一竖直面内，MN水平，MN上方是竖直向下的匀强电场，场强 SKIPIF 1 < 0 N/C。三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场磁感应强度为 SKIPIF 1 < 0 ；三角形AMN以外区域有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 SKIPIF 1 < 0 。现将一比荷 SKIPIF 1 < 0 C/kg的带正电的粒子，从C点正上方2m处的O点由静止释放，粒子从MN上的小孔C进入三角形内部匀强磁场，经内部磁场偏转后直接垂直AN经过Q点进入三角形外部磁场。已知粒子最终又回到了O点。设粒子与挡板碰撞过程中没有动能损失，且电荷量不变，不计粒子重力，不计挡板厚度，取 SKIPIF 1 < 0 。求：
（1）磁感应强度 SKIPIF 1 < 0 的大小；
（2）粒子在磁场 SKIPIF 1 < 0 中运动的时间。
【答案】 （1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）粒子从O到C即为在电场中加速，则由动能定理得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示
由几何关系可知
SKIPIF 1 < 0
由
SKIPIF 1 < 0
代入数据得
SKIPIF 1 < 0
（2）由题可知B2=3B1=2×10-2T，则
SKIPIF 1 < 0
则
SKIPIF 1 < 0
轨迹图如上图。
在磁场B2中的运动周期为
SKIPIF 1 < 0
在磁场B2中的运动时间为
SKIPIF 1 < 0
【技巧总结】磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同．解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系．
题型二 电场与磁场的组合
【例2】（2022·福建龙岩·三模） SKIPIF 1 < 0 扫描机器是医院常用的检测仪器，图示是某种 SKIPIF 1 < 0 机主要部分的剖面图。电子束从电子枪射出，进入 SKIPIF 1 < 0 两极之间的加速电场，加速后进入由偏转线圈产生的偏转磁场，磁场方向垂直于纸面。电子束沿带箭头的实线所示的方向前进，最终打到靶上P点，产生的 SKIPIF 1 < 0 射线（如图中带箭头的虚线所示）照射受检人员后到达探测器。下列说法正确的是（ ）
A．偏转磁场的方向垂直于纸面向外
B．靶产生的 SKIPIF 1 < 0 射线是由于原子的内层电子受电子束的激发而产生的
C．若只减小偏转磁场的磁感应强度大小，P点一定向左移
D．若同时增大 SKIPIF 1 < 0 之间的加速电压和偏转磁场的磁感应强大小，P点一定向左移
【答案】 B
【解析】A．根据左手定则可知，偏转磁场的方向垂直于纸面向里，A错误；
B．靶产生的 SKIPIF 1 < 0 射线是由于原子的内层电子受电子束的激发而产生的，B正确；
C．根据洛伦兹力提供向心力
SKIPIF 1 < 0
可得
SKIPIF 1 < 0
若只减小偏转磁场的磁感应强度大小，电子在磁场中的轨迹半径增大， SKIPIF 1 < 0 点向右移，C错误；
D．电子经过加速电场，根据动能定理
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
电子在磁场中的半径为
SKIPIF 1 < 0
若同时增大 SKIPIF 1 < 0 之间的加速电压和偏转磁场的磁感应强大小，电子在磁场中的轨迹半径可能增大、减小或者不变， SKIPIF 1 < 0 点可能向右移、向左移或者不变，D错误；
故选B。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【变式训练2】（2022·浙江·高三开学考试）如图所示，一对足够长平行栅极板M、N水平放置，极板与可调电源相连。极板外上方和下方分别存在方向垂直纸面向外和向内的匀强磁场 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的大小未知，但满足 SKIPIF 1 < 0 。磁场左边界上距M板距离为 SKIPIF 1 < 0 的A点处的粒子源平行极板向右发射速度为v带正电的粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q，粒子第1次离开M板的位置为C点，已知C点距离磁场左边界距离为l。忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力。
（1）求磁感应强度 SKIPIF 1 < 0 的大小；
（2）当两板间电势差 SKIPIF 1 < 0 时，粒子经过下方磁场一次偏转后恰能从C点再次返回极板上方的磁场，求两板间距d的大小；
（3）当两板间所加的电势差 SKIPIF 1 < 0 时，在M板上C点右侧P点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收从M板上方打入的粒子。问当P点离磁场左边界多远的地方能接收到粒子？
【答案】 （1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、1、2、3…
【解析】（1）粒子从A点发射后运动到C的过程，洛伦兹力提供向心力
SKIPIF 1 < 0
由几何知识可得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
（2）粒子经过C点时的速度方向与竖直方向的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0
粒子进入磁场 SKIPIF 1 < 0 之后，圆周运动半径为
SKIPIF 1 < 0
又因为
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得，粒子在 SKIPIF 1 < 0 磁场中不会从左边界飞出。
（3）粒子第一次在电场中向左运动距离
SKIPIF 1 < 0
粒子在 SKIPIF 1 < 0 磁场中运动到最左边时，距C点距离
SKIPIF 1 < 0
所以不会从左边界飞出。P点离磁场左边界的距离为
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、1、2、3…
【技巧总结】1．带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图
2．带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图
【知识点二】带电粒子在叠加场中的运动
1．叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
2．带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
【方法总结】带电粒子在叠加场中运动的处理方法
1．弄清复合场的组成特点。
2．正确分析带电粒子的受力及运动特点。
3．画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。
（1）若只有两个场且正交。例如，电场与磁场中满足qE＝qvB或重力场与磁场中满足mg＝qvB或重力场与电场中满足mg＝qE，都表现为匀速直线运动或静止，根据受力平衡列方程求解。
（2）三场共存时，合力为零，受力平衡，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直。
（3）三场共存时，粒子在复合场中做匀速圆周运动。mg与qE相平衡，有mg＝qE，由此可计算粒子比荷，判定粒子电性。粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，应用受力平衡和牛顿运动定律结合圆周运动规律求解，有qvB＝mrω2＝meq \f(v2,r)＝mreq \f(4π2,T2)＝ma。
= 4 \* GB2 ⑷当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
【例3】（2022·广东·模拟预测）如图所示，匀强电场E方向竖直向下，水平匀强磁场B垂直纸面向里，三个油滴a、b、c带有等量同种电荷；已知a静止，b、c在纸面内均做匀速圆周运动（轨迹未画出）．以下说法正确的是（ ）
A．a的质量最大，c的质量最小，b、c都沿逆时针方向运动
B．b的质量最大，a的质量最小，b、c都沿顺时针方向运动
C．三个油滴质量相等，b沿顺时针方向运动，c沿逆时针方向运动
D．三个油滴质量相等，b、c都沿顺时针方向运动
【答案】 D
【解析】三个油滴带等量同种电荷，由a静止可知带负电，电场力等于重力，b、c做匀速圆周运动，电场力也等于重力，故三者质量相等；由左手定则可知b、c都沿顺时针方向运动。
故选D。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【变式训练3】（2022·浙江·高三开学考试）如图所示，通过分析离子打在探测板上的位置可以获取电场强度信息。以y抽为界，左侧的有界匀强电场方向竖直向下，电场强度大小可调，右侧宽为 SKIPIF 1 < 0 的有界匀强磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为 SKIPIF 1 < 0 ，长为2d的探测板位于y轴上，其上端距原点O为d。电场中与O点水平距离为 SKIPIF 1 < 0 的离子源，沿x轴正方向持续均匀地发射质量为m、电荷量为q（q＞0）、速度大小为 SKIPIF 1 < 0 的一系列离子。假设只有打在探测板右侧的离子才能被探测到，探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。
（1）若离子从探测板上方进入磁场，则电场强度的最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若离子经磁场偏转后打在距探测板上端 SKIPIF 1 < 0 处，则电场强度E的大小；
（3）若某段时间内，电场强度在 SKIPIF 1 < 0 范围内连续均匀调节，则该段时间内，打在探测板上的离子数比例 SKIPIF 1 < 0 。
【答案】 （1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）当带电粒子刚好从探测板上方进入磁场，则带电粒子匀强电场中
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
（2）若离子经磁场偏转后打在距探测板上端 SKIPIF 1 < 0 处，射出电场时的侧移量
SKIPIF 1 < 0
进磁场后粒子与打在探测板上的间距
SKIPIF 1 < 0
可得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
（3）当离子正好与磁场右边界相切时，根据几何关系得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
解得此时
SKIPIF 1 < 0
离子恰好打在离板上端2d的位置上，此时
SKIPIF 1 < 0
可得
SKIPIF 1 < 0
则该段时间内，打在探测板上的离子数比例
SKIPIF 1 < 0
【技巧总结】带电粒子在叠加场中的运动分类
1、静止或匀速直线运动：当带电粒子在叠加场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动。
2、匀速圆周运动：当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动。
3、一般变速曲线运动：当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。
4、分阶段运动：带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。
【知识点三】带电粒子在交变电、磁场中的运动
解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路
【例4】（2022·河北·高考真题）两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1所示，金属板与可调电源相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直 SKIPIF 1 < 0 平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为 SKIPIF 1 < 0 、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：
（1） SKIPIF 1 < 0 时刻释放的粒子，在 SKIPIF 1 < 0 时刻的位置坐标；
（2）在 SKIPIF 1 < 0 时间内，静电力对 SKIPIF 1 < 0 时刻释放的粒子所做的功；
（3）在 SKIPIF 1 < 0 点放置一粒接收器，在 SKIPIF 1 < 0 时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获。
【答案】 （1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）在 SKIPIF 1 < 0 时间内，电场强度为 SKIPIF 1 < 0 ，带电粒子在电场中加速度，根据动量定理可知
SKIPIF 1 < 0
解得粒子在 SKIPIF 1 < 0 时刻的速度大小为
SKIPIF 1 < 0
方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离
SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 时间内，根据粒子在磁场运动的周期 SKIPIF 1 < 0 可知粒子偏转 SKIPIF 1 < 0 ，速度反向，根据 SKIPIF 1 < 0 可知粒子水平向右运动的距离为
SKIPIF 1 < 0
粒子运动轨迹如图
所以粒子在 SKIPIF 1 < 0 时刻粒子的位置坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）在 SKIPIF 1 < 0 时间内，电场强度为 SKIPIF 1 < 0 ，粒子受到的电场力竖直向上，在竖直方向
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 时刻粒子的速度
SKIPIF 1 < 0
方向竖直向上，粒子在竖直方向上运动的距离为
SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 时间内，粒子在水平方向运动的距离为
SKIPIF 1 < 0
此时粒子速度方向向下，大小为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 时间内，电场强度为 SKIPIF 1 < 0 ，竖直方向
SKIPIF 1 < 0
解得粒子在 SKIPIF 1 < 0 时刻的速度
SKIPIF 1 < 0
粒子在竖直方向运动的距离
SKIPIF 1 < 0
粒子运动的轨迹如图
在 SKIPIF 1 < 0 时间内，静电力对粒子的做功大小为
SKIPIF 1 < 0
电场力做正功；
（3）若粒子在磁场中加速两个半圆恰好能够到达 SKIPIF 1 < 0 点，则释放的位置一定在 SKIPIF 1 < 0 时间内，粒子加速度时间为 SKIPIF 1 < 0 ，在竖直方向上
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 时间内粒子在水平方向运动的距离为
SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 时间内，在竖直方向
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 时间内，粒子在水平方向运动的距离为
SKIPIF 1 < 0
接收器的位置为 SKIPIF 1 < 0 ，根据距离的关系可知
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
此时粒子已经到达 SKIPIF 1 < 0 点上方，粒子竖直方向减速至 SKIPIF 1 < 0 用时 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0
竖直方向需要满足
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 在一个电场加速周期之内，所以成立，所以粒子释放的时刻为中间时刻 SKIPIF 1 < 0 ；
若粒子经过一个半圆到达 SKIPIF 1 < 0 点，则粒子在 SKIPIF 1 < 0 时间内释放不可能，如果在 SKIPIF 1 < 0 时间内释放，经过磁场偏转一次的最大横向距离，即直径，也无法到达 SKIPIF 1 < 0 点，所以考虑在 SKIPIF 1 < 0 时间内释放，假设粒子加速的时间为 SKIPIF 1 < 0 ，在竖直方向上
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
之后粒子在 SKIPIF 1 < 0 时间内转动半轴，横向移动距离直接到达 SKIPIF 1 < 0 点的横坐标，即
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
接下来在 SKIPIF 1 < 0 过程中粒子在竖直方向减速为 SKIPIF 1 < 0 的过程中
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
粒子要在 SKIPIF 1 < 0 点被吸收，需要满足
SKIPIF 1 < 0
代入验证可知 SKIPIF 1 < 0 在一个周期之内，说明情况成立，所以粒子释放时刻为 SKIPIF 1 < 0 。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【变式训练4】（2022·山东济南·高三开学考试）如图甲所示，三维坐标系中 SKIPIF 1 < 0 平面的右侧存在平行z轴方向周期性变化的磁场B（未画出）和沿y轴正方向竖直向上的匀强电场。将质量为m、电荷量为q的带正电液滴从 SKIPIF 1 < 0 平面内的P点沿x轴正方向水平抛出，液滴第一次经过x轴时恰好经过O点，此时速度大小为 SKIPIF 1 < 0 ，方向与x轴正方向的夹角为 SKIPIF 1 < 0 。已知电场强度大小 SKIPIF 1 < 0 ，从液滴通过O点开始计时，磁感应强度随时间的变化关系如图乙示（当磁场方向沿z轴负方向时磁感应强度为正）， SKIPIF 1 < 0 ，重力加速度大小为g。求：
（1）抛出点P的坐标；
（2）液滴从第一次经过x轴到第二次经过x轴的时间 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）液滴第n次经过x轴时的x坐标；
（4）若 SKIPIF 1 < 0 时撤去 SKIPIF 1 < 0 右侧的匀强电场和匀强磁场，同时在整个空间加上沿y轴正方向竖直向上的匀强磁场 SKIPIF 1 < 0 ，求液滴向上运动到离 SKIPIF 1 < 0 平面最远时的坐标。
【答案】 （1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）液滴做平抛运动，由于经过O点时方向与x轴正方向的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0
根据平抛规律得
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
联立解得
SKIPIF 1 < 0
P点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 。
（2）由洛伦兹力提供向心力得
SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 带入周期公式
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
假设磁场不变，分析得液滴从第一次经过x轴到第二次经过x轴时，对应的圆心角为90°。则
SKIPIF 1 < 0
假设成立。
（3）由于
SKIPIF 1 < 0
可知0~ SKIPIF 1 < 0 ，液滴刚好转过180°。之后磁场大小方向都变了，则偏转方向变了。由洛伦兹力提供向心力得
SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 带入周期公式
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ~2 SKIPIF 1 < 0 ，液滴转过90°。
同理得，时间在2 SKIPIF 1 < 0 ~3 SKIPIF 1 < 0 与0~ SKIPIF 1 < 0 的运动轨迹大小一样，只是偏转方向不一样。
3 SKIPIF 1 < 0 ~4 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ~2 SKIPIF 1 < 0 的运动轨迹大小一样，只是偏转方向不一样。
综上所述，得到液滴一个周期的轨迹图如下
由几何关系得
SKIPIF 1 < 0
则液滴第n次经过x轴时的x坐标为
SKIPIF 1 < 0
（4） SKIPIF 1 < 0 时，把速度分解到水平方向和竖直方向，即
SKIPIF 1 < 0
则粒子在竖直方向上做上抛运动，则
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
在水平方向向上做圆周运动，则
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则
SKIPIF 1 < 0
可知，水平方向向上转过90°。则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因此液滴向上运动到离 SKIPIF 1 < 0 平面最远时的坐标为 SKIPIF 1 < 0 。
【方法总结】解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路
【知识点四】洛伦兹力与现代科技
【方法总结】
1、质谱仪的本质是粒子先在电场中加速，再在磁场中偏转，最后利用感光底片记录粒子的位置．
2、质谱仪是计算带电粒子的质量和分析同位素的重要工具．
3、回旋加速器的工作条件是粒子做圆周运动的周期与金属外壳所加交流电的周期相等，粒子的最大动能由匀强磁场的磁感应强度和D形盒半径决定， 与其他无关。
4、在速度选择器中，粒子受到的电场力和洛伦兹力相等，有，只有速度满足一定值的粒子才能通过速度选择器；进入磁场后，由、比较离子的运动半径和运动时间，根据比较动能。
一、质谱仪模型
【例5】（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，一质谱仪由加速电场、静电分析器、磁分析器构成。静电分析器通道的圆弧中心线半径为R，通道内有均匀辐向电场，中心线处的场强大小为E；半圆形磁分析器中分布着方向垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场。要让质量为m、电荷量为q的粒子（不计重力），由静止开始从M板经加速电场加速后沿圆弧中心线通过静电分析器，再由P点垂直磁场边界进入磁分析器，最终打到胶片上，则（ ）
A．若q<0，则辐向电场的方向与图示方向相反，且磁分析器中磁场方向垂直于纸面向外
B．电荷量相同的粒子都能打在胶片上的同一点
C．加速电场的电压U需满足的关系为U=ER
D．粒子打在胶片上的位置Q到P点的距离为 SKIPIF 1 < 0
【答案】 D
【解析】A．若q<0，要想使粒子在静电分析器中做圆周运动，则辐向电场的方向由圆心指向圆外，则辐向电场的方向与图示方向相反；根据左手定则可知，磁分析器中磁场方向垂直于纸面向里，A错误；
C．在加速电场中
SKIPIF 1 < 0
在静电分析器中
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
C错误；
BD．离子在磁分析器中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
则粒子打在胶片上的位置Q到P点的距离为
SKIPIF 1 < 0
可知荷质比相同的粒子能打在胶片上的同一点，B错误，D正确。
故选D。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【变式训练5】（2022·黑龙江·佳木斯一中三模）质谱仪是分析同位素的重要的仪器，在物理研究中起非常重要的作用。如图是质谱仪的工作原理示意图。粒子源（在加速电场上方，未画出）产生的带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器。速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 。平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片 SKIPIF 1 < 0 。平板S下方有强度为 SKIPIF 1 < 0 的匀强磁场。（不计带电粒子的重力）下列表述正确的是（ ）
A．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向里
B．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于 SKIPIF 1 < 0
C．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷（ SKIPIF 1 < 0 ）越小
D．粒子所带电荷量相同时，打在胶片上的位置越远离狭缝P，表明其质量越大
【答案】 D
【解析】A．根据带电粒子在磁场中的偏转方向，根据左手定则知，该粒子带正电，则在速度选择器中电场力水平向右，则洛伦兹力水平向左，根据左手定则知，磁场方向垂直纸面向外，故A错误；
B．在速度选择器中，电场力和洛伦兹力平衡，有
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
能通过狭缝P的带电粒子的速率等于 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
CD．粒子进入磁场 SKIPIF 1 < 0 后，由洛伦兹力提供向心力，则有
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的轨迹半径越小，粒子的比荷（ SKIPIF 1 < 0 ）越大；粒子所带电荷量相同时，打在胶片上的位置越远离狭缝P，粒子的轨迹半径越大，表明其质量越大，故C错误，D正确。
故选D。
【模型提炼】1.作用
测量带电粒子质量和分离同位素的仪器。
2.原理（如图所示）
（1）加速电场：qU＝eq \f(1,2)mv2。
（2）偏转磁场：qvB＝eq \f(mv2,r)，l＝2r，由以上两式可得
r＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,q))，m＝eq \f(qr2B2,2U)，eq \f(q,m)＝eq \f(2U,B2r2)。
二、回旋加速器的原理和分析
【例6】（多选）（2022·河北·高三开学考试）如图甲所示是回旋加速器的主要部件示意图，如图乙所示是回旋加速器D形盒的俯视图，两盒间的狭缝很小，粒子穿过的时间忽略不计，已知垂直盒面的匀强磁场的磁感应强度为B，D形盒的半径为r，高频电源的频率为f，最大电压为U，若A处的粒子源产生一个带电量为q、速率为零的粒子经过电场加速后进入磁场，能一直被回旋加速最后从D形盒出口飞出，下列说法正确的是（ ）
A．被加速的粒子的比荷为 SKIPIF 1 < 0
B．粒子从D形盒出口飞出时的速度为 SKIPIF 1 < 0
C．粒子在D形盒中加速的次数为 SKIPIF 1 < 0
D．当磁感应强度变为原来的0.5倍，同时改变频率f，该粒子从D形盒出口飞出时的动能为 SKIPIF 1 < 0
【答案】 BC
【解析】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为
SKIPIF 1 < 0
根据题意，粒子能够一直被回旋加速，故高频电源的周期等于粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期，即
SKIPIF 1 < 0
联立两式可得
SKIPIF 1 < 0
故A错误；
B．当粒子从D形盒出口飞出时有
SKIPIF 1 < 0
故B正确；
C．从粒子一开始加速到飞出D形盒，根据动能定理有
SKIPIF 1 < 0
解得加速次数为
SKIPIF 1 < 0
故C正确；
D．当磁感应强度变为原来的0.5倍时，即
SKIPIF 1 < 0
由于粒子的比荷保持不变，故电源的频率变为
SKIPIF 1 < 0
当粒子从D形盒口飞出时，其动能为
SKIPIF 1 < 0
故D错误。
故选BC。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【变式训练6】（2022·新疆·疏勒县实验学校模拟预测）用如图所示的回旋加速器，加速电荷量为q、质量为m的带电粒子，下列说法错误的是（ ）
A．回旋加速器a、b之间所接高频交流电的周期可能为 SKIPIF 1 < 0
B．图中回旋加速器加速的带电粒子可能是带正电的粒子
C．回旋加速器加速后粒子的最大动能为 SKIPIF 1 < 0
D．回旋加速器D形盒的半径R、磁感应强度B不变，则加速电压U越高，粒子飞出D形盒的动能Ek越大
【答案】 D
【解析】A．带电粒子在D形盒中运动，a、b之间所接交流电的周期
SKIPIF 1 < 0
故A正确；
B．由左手定则可判断出图中回旋加速器加速的带电粒子一定是带正电的粒子，故B正确；
CD．在回旋加速器中，带电粒子每经过电场一次，获得动能
SKIPIF 1 < 0
根据洛伦兹力提供向心力有
SKIPIF 1 < 0
当粒子运动轨迹半径等于回旋加速器半径时，粒子速度最大，最大动能
SKIPIF 1 < 0
与加速电压U无关，与D形盒的半径R的二次方成正比，所以D形盒的半径R、磁感应强度B不变，粒子飞出D形盒的最大动能不变，故C正确，D错误。
本题选择错误的，故选D。
【模型提炼】1.构造
如图所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源。
2.原理
交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子就被加速一次。
3.最大动能
由qvmB＝eq \f(mveq \\al(2,m),R)、Ekm＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)得Ekm＝eq \f(q2B2R2,2m)，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关。
4.总时间
粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝eq \f(Ekm,qU)，粒子在磁场中运动的总时间t＝eq \f(n,2)T＝eq \f(Ekm,2qU)·eq \f(2πm,qB)＝eq \f(πBR2,2U)。
三、速度选择器
（1）平行板中电场强度E和磁感应强度B互相垂直。（如图）
（2）带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qvB＝qE，即v＝eq \f(E,B)。
（3）速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量。
（4）速度选择器具有单向性。
【例7】（2022·河北邯郸·二模）速度选择器装置如图所示， SKIPIF 1 < 0 粒子（ SKIPIF 1 < 0 ）以速度 SKIPIF 1 < 0 自O点沿中轴线 SKIPIF 1 < 0 射入，恰沿 SKIPIF 1 < 0 做匀速直线运动。所有粒子均不考虑重力的影响，下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 粒子（ SKIPIF 1 < 0 ）以速度 SKIPIF 1 < 0 自 SKIPIF 1 < 0 点沿中轴线从右边射入也能做匀速直线运动
B．电子（ SKIPIF 1 < 0 ）以速度 SKIPIF 1 < 0 自O点沿中轴线射入，恰沿中轴线 SKIPIF 1 < 0 做匀速直线运动
C．氘核（ SKIPIF 1 < 0 ）以速度 SKIPIF 1 < 0 自O点沿中轴线 SKIPIF 1 < 0 射入，动能将减小
D．氚核（ SKIPIF 1 < 0 ）以速度2 SKIPIF 1 < 0 自O点沿中轴线 SKIPIF 1 < 0 射入，动能将增大
【答案】 B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 粒子（ SKIPIF 1 < 0 ）以速度 SKIPIF 1 < 0 自O点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速直线运动，将受到向上的洛伦兹力和向下的电场力，满足
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 粒子的速度满足速度选择器的条件；
A． SKIPIF 1 < 0 粒子（ SKIPIF 1 < 0 ）以速度 SKIPIF 1 < 0 自 SKIPIF 1 < 0 点沿中轴线从右边射入时，受到电场力向下，洛伦兹力也向下，故会向下偏转不会做匀速直线运动，A错误；
B．电子（ SKIPIF 1 < 0 ）以速度 SKIPIF 1 < 0 自O点沿中轴线射入，受到电场力向上，洛伦兹力向下，依然满足电场力等于洛伦兹力，而做匀速直线运动，即速度选择器不选择电性而只选择速度，B正确；
C．氘核（ SKIPIF 1 < 0 ）以速度 SKIPIF 1 < 0 自O点沿中轴线 SKIPIF 1 < 0 射入，洛伦兹力小于电场力，粒子向下偏转，电场力做正功，动能将增大，C错误；
D．氚核（ SKIPIF 1 < 0 ）以速度2 SKIPIF 1 < 0 自O点沿中轴线 SKIPIF 1 < 0 射入，洛伦兹力大于电场力，粒子向上偏转，电场力做负功，动能将减小，D错误。
故选B。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【变式训练7】（2022·北京朝阳·模拟预测）如图所示，水平放置的平行金属板间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场。一个电荷量为 SKIPIF 1 < 0 、质量为m的粒子（不计重力）以速度v水平向右射入，粒子恰沿直线穿过。下列说法正确的是（ ）
A．若粒子从右侧水平射入，粒子仍能沿直线穿过
B．若只将粒子的电荷量变为 SKIPIF 1 < 0 ，粒子将向下偏转
C．若只将粒子的电荷量变为 SKIPIF 1 < 0 ，粒子仍能沿直线穿过
D．若只将粒子的速度变为2v且粒子不与极板相碰，则从右侧射出时粒子的电势能减少
【答案】 C
【解析】A．若粒子从右侧水平射入，粒子所受洛伦兹力不可能与电场力平衡，粒子不可能沿直线穿过，故A错误；
B．若只将粒子的电荷量变为 SKIPIF 1 < 0 ，则粒子所受洛伦兹力和电场力同时增大2倍，仍能满足平衡条件，所以粒子仍能沿直线穿过，故B错误；
C．若只将粒子的电荷量变为 SKIPIF 1 < 0 ，则粒子所受洛伦兹力和电场力同时增大2倍，且方向同时变为相反，仍能满足平衡条件，所以粒子仍能沿直线穿过，故C正确；
D．若只将粒子的速度变为2v且粒子不与极板相碰，将粒子的速度分解为两个同向的速度v，则其中一个速度v使粒子满足所受洛伦兹力与电场力平衡而做匀速直线运动，另一个速度v使粒子受到洛伦兹力而做匀速圆周运动，所以粒子的运动可视为一沿虚线方向的匀速直线运动和竖直面内虚线上方的匀速圆周运动的合成， 即做摆线运动，如图所示，由此可知粒子只能从虚线上侧或虚线位置射出，整个过程洛伦兹力不做功，而电场力只可能做负功或不做功，所以粒子的电势能可能增大或不变，故D错误。
故选C。
四、 磁流体发电机
（1）原理：如图所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在B、A板上，产生电势差，它可以把离子的动能通过磁场转化为电能。
（2）电源正、负极判断：根据左手定则可判断出图中的B是发电机的正极。
（3）电源电动势E：设A、B平行金属板的面积为S，两极板间的距离为l，磁场磁感应强度为B，等离子体的电阻率为ρ，喷入气体的速度为v，板外电阻为R。当正、负离子所受电场力和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为U（即电源电动势为U），则qeq \f(U,l)＝qvB，即E＝U＝Blv。
（4）电源内阻：r＝ρeq \f(l,S)。
（5）回路电流：I＝eq \f(U,r＋R)。
【例8】（多选）（2022·山东济宁·一模）如图所示为磁流体发电机的示意图。等离子体高速射入磁场中，由于磁场对等离子体产生力的作用，A、B两板间就会产生电压。若平行板A、B的正对面积为S，板间距离为d，A、B间的磁感应强度为B，等离子体的流速为v，等效电阻率为 SKIPIF 1 < 0 ，与极板相连的外电阻为R，下列说法正确的是（ ）
A．该发电机A板为负极，B板为正极
B．外电阻两端的电压大小为 SKIPIF 1 < 0
C．稳定时电流表的示数为 SKIPIF 1 < 0
D．仅增加外电阻的阻值，该发电机的输出功率一定增大
【答案】 AC
【解析】A．根据左手定则，正离子所受洛伦兹力向下，打在B板上，负离子所受洛伦兹力向上，打在A板上，所以该发电机A板为负极， B板为正极，故A正确；
B．根据平衡条件得
SKIPIF 1 < 0
解得发电机电动势
SKIPIF 1 < 0
根据电阻定律得发电机内阻
SKIPIF 1 < 0
外电阻两端的电压
SKIPIF 1 < 0
故B错误；
C．根据闭合电路欧姆定律，稳定时电流表的示数
SKIPIF 1 < 0
故C正确；
D．当外电路的电阻等于电源内阻时，电源的输出功率最大，由于外电阻的阻值R和电源内阻r的大小关系不确定，所以仅增加外电阻的阻值，发电机的输出功率不一定增大，故D错误。
故选AC。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【变式训练8】（2022·北京房山·一模）磁流体发电机的原理如图所示，在相距为d且足够长的 SKIPIF 1 < 0 两金属板间加有垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，两金属板通过开关S与电阻R相连，将气体加热到使之高度电离，形成等离子体，正、负离子的电荷量均为q，将等离子体以速度v喷入M、N两板间。这时两板上就会聚集电荷而产生电压，这就是磁流体发电机与一般发电机的不同之处，它可以直接把内能转化为电能。
（1）指出图中发电机的正、负极；
（2）求发电机的电动势E；
（3）设喷入两板间的等离子体单位体积内有 SKIPIF 1 < 0 对正、负离子，离子流的截面积为S，求发电机的最大功率P。
【答案】 （1）上极板为发电机的正极，下极板为负极；（2）Bvd；（3）nqBdSv2
【解析】（1）由左手定则可知，正离子受向上的洛伦兹力，则正离子偏向上极板M，则上极板为发电机的正极，下极板为负极；
（2）当稳定状态时满足
SKIPIF 1 < 0
则
E=Bvd
即发电机的电动势Bvd。
（3）等离子体全部聚集到两极板上时，发电机的功率最大。
等离子体流的速度为v，则在时间t内喷入等离子体的长度为vt，体积为vtS，则电荷量为
Q=nqvtS
电流
SKIPIF 1 < 0
故最大功率
P=EI=nqBdSv2
五、电磁流量计
（1）流量（Q）的定义：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积。
（2）公式：Q＝Sv；S为导管的横截面积，v是导电液体的流速。
（3）导电液体的流速（v）的计算。
如图所示，一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动。导电液体中的自由电荷（正、负离子）在洛伦兹力作用下发生偏转，使a、b间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差（U）达到最大，由qeq \f(U,d)＝qvB，可得v＝eq \f(U,Bd)。
（4）流量的表达式：Q＝Sv＝eq \f(πd2,4)·eq \f(U,Bd)＝eq \f(πdU,4B)。
（5）电势高低的判断：根据左手定则可得φa＞φb。
【例9】（2022·浙江·模拟预测）全球新冠肺炎疫情持续至今，医院需要用到血流量计检查患者身体情况。某种电磁血流量计的原理可以简化为如图所示模型。血液内含有少量正、负离子，从直径为d的血管右侧流入，左侧流出，空间有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，M、N两点之间的电压稳定时测量值为U，流量Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。下列说法正确的是（ ）
A．血液中负离子多时，M点的电势高于N点的电势
B．血液中正离子多时，M点的电势高于N点的电势
C．血液流量 SKIPIF 1 < 0
D．电压稳定时，正、负离子不再受洛伦兹力
【答案】 C
【解析】AB．根据左手定则，水平向左入射的正离子受到竖直向下的洛伦兹力，负离子受到竖直向上的洛伦兹力，则正电荷聚集在N一侧，负电荷聚集在M一侧，则M点的电势低于N点的电势，故AB错误；
CD．正负离子达到稳定状态时，离子所受洛伦兹力与电场力平衡，有
SKIPIF 1 < 0
可得流速
SKIPIF 1 < 0
流量
SKIPIF 1 < 0
C正确，D错误。
故选C。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【变式训练9】（多选）（2022·山西省翼城中学校高三阶段练习）如图甲是霍尔效应的模型图，导体的宽度、长度、厚度分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，磁感应强度为 SKIPIF 1 < 0 的匀强磁场垂直导体的前后表面向里，与磁场垂直向右的电流 SKIPIF 1 < 0 是正电荷的运动形成的，已知霍尔电压为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与通过导体的电流 SKIPIF 1 < 0 成正比，与沿着磁场方向导体的厚度 SKIPIF 1 < 0 成反比， SKIPIF 1 < 0 是常数；如图乙是电磁流量计的模型图，长方形管道的宽度、长度、厚度分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，磁感应强度为 SKIPIF 1 < 0 的匀强磁场垂直管道的上表面向下，带负离子的液体向右运动的速度 SKIPIF 1 < 0 与磁场垂直。液体的流量指单位时间内流过管道横截面的液体体积，则下列说法正确的是（ ）
A．对甲图，导体下端面的电势低于上端面的电势
B．对甲图，霍尔电压与c成正比
C．对乙图，导体后端面与前端面的电势差为Bav
D．对乙图，液体的流量为abv
【答案】 AC
【解析】A．由左手定则可知，正电荷向右运动时受到的洛伦兹力方向向上，则受到电场力方向向下，所以导体下端面的电势低于上端面的电势，故A正确；
B．由霍尔电压
SKIPIF 1 < 0
可知，霍尔电压与c无关，与a成反比，故B错误；
C．负电荷在导体内运动，根据平衡条件有
SKIPIF 1 < 0
又
SKIPIF 1 < 0
由于是负电荷，受到的洛伦兹力从后端面指向前端面，则受到的电场力从前端面指向后端面，故导体后端面与前端面的电势差为
SKIPIF 1 < 0
故C正确；
D．由题意可得，液体的流量为
SKIPIF 1 < 0
故D错误。
故选AC。
六、霍尔效应的原理和分析
（1）定义：高为h、宽为d的导体（自由电荷是电子或正电荷）置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压。
（2）电势高低的判断：如图，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A′的电势高。若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低。
（3）霍尔电压的计算：导体中的自由电荷（电荷量为q）在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差（U）就保持稳定，由qvB＝qeq \f(U,h)，I＝nqvS，S＝hd；联立得U＝eq \f(BI,nqd)＝keq \f(BI,d)，k＝eq \f(1,nq)称为霍尔系数。
【例10】（2021·天津·高考真题）霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中。长方体半导体材料厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边为坐标轴建立坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示。半导体中有电荷量均为e的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为n和p。当半导体材料通有沿 SKIPIF 1 < 0 方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，沿 SKIPIF 1 < 0 方向，于是在z方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为E，沿 SKIPIF 1 < 0 方向。
（1）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；
（2）若自由电子定向移动在沿 SKIPIF 1 < 0 方向上形成的电流为 SKIPIF 1 < 0 ，求单个自由电子由于定向移动在z方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在z方向定向移动的速率分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 时间内运动到半导体z方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在z方向上形成的电流应满足的条件。
【答案】 （1）自由电子受到的洛伦兹力沿 SKIPIF 1 < 0 方向；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）见解析所示
【解析】（1）自由电子受到的洛伦兹力沿 SKIPIF 1 < 0 方向；
（2）设t时间内流过半导体垂直于x轴某一横截面自由电子的电荷量为q，由电流定义式，有
SKIPIF 1 < 0
设自由电子在x方向上定向移动速率为 SKIPIF 1 < 0 ，可导出自由电子的电流微观表达式为
SKIPIF 1 < 0
单个自由电子所受洛伦兹力大小为
SKIPIF 1 < 0
霍尔电场力大小为
SKIPIF 1 < 0
自由电子在z方向上受到的洛伦兹力和霍尔电场力方向相同，联立得其合力大小为
SKIPIF 1 < 0
（3）设 SKIPIF 1 < 0 时间内在z方向上运动到半导体上表面的自由电子数为 SKIPIF 1 < 0 、空穴数为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
霍尔电场建立后，半导体z方向的上表面的电荷量就不再发生变化，则应
SKIPIF 1 < 0
即在任何相等时间内运动到上表面的自由电子数与空穴数相等，这样两种载流子在z方向形成的电流应大小相等、方向相反。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【变式训练10】（2022·江苏省昆山中学模拟预测）自行车速度计可以利用霍尔效应传感器获知自行车的运动速率。如图甲所示，一块磁铁安装在前轮上，轮子每转一圈，磁铁就靠近传感器一次，传感器就会输出一个脉冲电压。如图乙所示，电源输出电压为U1，当磁场靠近霍尔元件时，在导体前后表面间出现电势差U2（前表面的电势低于后表面的电势）。下列说法中错误的是（ ）
A．图乙中霍尔元件的载流子带负电
B．已知自行车车轮的半径，再根据单位时间内的脉冲数，即获得车速大小
C．若传感器的电源输出电压U1变大，则霍尔电势差U2变大
D．若自行车的车速越大，则霍尔电势差U2越大
【答案】 D
【解析】A．由题意可知，前表面的电势低于后表面的电势，结合左手定则可知，霍尔元件的电流I是由负电荷定向运动形成的，故A正确，不符合题意；
B．根据单位时间内的脉冲数，可求得车轮转动周期，从而求得车轮的角速度，最后由线速度公式 SKIPIF 1 < 0 ，结合车轮半径，即可求解车轮的速度大小，故B正确，不符合题意；
D．根据题意，由平衡条件有
SKIPIF 1 < 0
可得
SKIPIF 1 < 0
由电流的微观定义式 SKIPIF 1 < 0 ，n是单位体积内的电子数，e是单个导电粒子所带的电量，S是导体的横截面积，v是导电粒子运动的速度，整理得
SKIPIF 1 < 0
联立解得
SKIPIF 1 < 0
可知用霍尔元件可以测量地磁场的磁感应强度，保持电流不变，霍尔电压U2与车速大小无关，故D错误，符合题意；
C．由公式
SKIPIF 1 < 0
若传感器的电源输出电压U1变大，那么电流I变大，则霍尔电势差U2将变大，故C正确，不符合题意。
故选D。
运动性质
受力特点
方法规律
匀速直
线运动
其他力的合力与洛伦兹力等大反向
平衡条件
匀速圆
周运动
除洛伦兹力外，其他力的合力为零
牛顿第二定律、圆周运动的规律
较复杂的
曲线运动
除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向
动能定理、能量守恒定律
先读图
看清并且明白场的变化情况
受力分析
分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析
分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点
找出衔接相邻两过程的物理量
选规律
联立不同阶段的方程求解
装置
原理图
规律
质谱仪
带电粒子由静止被加速电场加速qU＝eq \f(1,2)mv2，在磁场中做匀速圆周运动qvB＝meq \f(v2,r)，则比荷eq \f(q,m)＝eq \f(2U,B2r2)
回旋加速器
交变电流的周期和带电粒子做圆周运动的周期相同，带电粒子在圆周运动过程中每次经过D形盒缝隙都会被加速．由qvB＝meq \f(v2,r)得Ekm＝eq \f(q2B2r2,2m)
速度选择器
若qv0B＝Eq，即v0＝eq \f(E,B)，带电粒子做匀速直线运动
电磁流量计
eq \f(U,D)q＝qvB，所以v＝eq \f(U,DB)，所以流量Q＝vS＝eq \f(U,DB)·πeq \f(D,2)2＝eq \f(πUD,4B)
霍尔元件
当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差