[数学][期中]广东省惠州市五校联考2023-2024学年高一上学期期中测试试题(解析版)

这是一份[数学][期中]广东省惠州市五校联考2023-2024学年高一上学期期中测试试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，解得x≥且x≠2．
∴函数的定义域为．
故选：C.
2. 已知全集为R，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误；
B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误；
C中，，错误；
D中，由，则，，正确.
故选：D．
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，即，解得或，
因为是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】因为为幂函数，所以，解得，或，
又的图象与坐标轴无公共点，故，所以，故，
所以.
故选：A.
5. 下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】易知函数的零点为，而在零点左右两侧的函数值符号都为正，
不是异号的，故不能用二分法求函数的零点；
而选项A、B、D中的函数，它们在各自的零点左右两侧的函数值符号相反，
可以用二分法求函数的零点.
故选：C.
6. 声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）．某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40dB．现已知3位同学课间交流时，每人的声强分别为，，，则这3人中达到班级要求的人数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】依题意，，∴，
故声强为，的两人达到要求.
故选：C.
7. 对于任意的实数x，已知函数，则的最大值是（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】因为，函数图象如下所示：
由函数图象可知，当时，函数取得最大值.
故选：C.
8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（ ）
A. 里B. 里C. 里D. 里
【答案】D
【解析】因为1里=300步，
则由图知步=4里，步=2.5里．
由题意，得，
则，
所以该小城的周长为，
当且仅当时等号成立.
故选：D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】选项A：由，可得，判断正确；
选项B：令，
满足，但是，
则不成立，判断错误；
选项C：由，可得，
则不等式两边均除以可得，判断正确；
选项D：，
又，则，
则，则，判断正确.
故选：ACD.
10. 若集合A，B满足：，，则下列关系可能成立的是（ ）
A. ABB. C. BAD.
【答案】ABD
【解析】当A={1，2}，B={1，2，3}时，有，满足条件“，”，
且有AB，{1，2}，则A正确，B正确；
若BA，则，都有，与“，”矛盾，
那么B不可能是A的真子集，则C错误；
当A={1，2}，B={3，4}时满足条件“，”且有，则D正确.
故选：ABD.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 与是同一函数
B. 已知，则
C. 对于任何一个函数，如果因变量y的值不同，则自变量x的值一定不同
D. 函数在其定义域内是单调递减函数
【答案】AC
【解析】与的定义域与对应法则相同，故为同一函数，A正确；
令得，令得，所以，
故B错误；
函数中一个值只能对应一个值，如果值不同，则的值一定不同，故C正确；
的单调减区间为和，但不能说在其定义域内单调递减，
故D错误.
故选：AC.
12. 定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，给出下列四个结论正确结论的是（ ）
A. 方程有且仅有三个解B. 方程有且仅有四个解
C. 方程有且仅有八个解D. 方程有且仅有一个解
【答案】AD
【解析】对于A中，设，则由，即，
当时，则有三个不同的值，
由于是减函数，所以有三个解，所以A正确；
对于B中，设，则由，即，解得，
因为，所以只有3个解，所以B不正确；
对于C中，设，若，即，
当或或，则或或，
因为，所以每个方程对应着3个根，所以共有9个解，所以C错误；
对于D中，设，若，即，所以，
因为是减函数，所以方程只有1解，所以D正确.
故选：AD.
三、填空题. 本大题共4小题，每题5分，共计20分.
13. 命题“”的否定是________.
【答案】
【解析】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“”的否定是：.
故答案为：.
14. 给出函数的两个性质：①是偶函数；②在上是减函数.写出一个同时满足性质①、性质②的函数解析式______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】的定义域为，且，
则为偶函数，
因为二次函数开口向下，对称轴为，
所以在上为减函数.
故答案为：（答案不唯一）.
15. 已知指数函数经过点(2,9)，则不等式解集为_____．
【答案】(1,2)
【解析】设且，所以有，解得，即，
因此函数为R上的增函数，
因为，所以，解得.
故答案为：.
16. 已知，则的最小值为______.
【答案】
【解析】因为，所以，，，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
显然此时有解，所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.
17. 已知p：实数x满足（其中）q：实数x满足.
（1）若，且p与q都为真命题，求实数x的取值范围.
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
解：（1）若，p为真，q为真：，
∵p，q都为真命题，
∴x的取值范围为.
（2）设，，
∵p是q的必要不充分条件，∴，∴，∴解得，
综上a的范围为.
18. 已知函数．
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）画出该函数的图象；
（3）写出该函数的值域．
解：（1）
（2）画图（如图）．
（3）值域．
19. 已知函数，，设.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）若，求x的范围.
解：（1）根据题意，函数，，
可得，
则有，解可得，即函数的定义域为.
（2）由（1）知，函数，
其定义域为，关于原点对称，
又由，
即，所以函数为定义域上的奇函数.
（3）由，即，
则满足且，解可得，
所以x的取值范围为.
20. 某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示：
现有以下三种函数模型可供选择：①，②，③，其中均为常数，且.
（1）直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式；
（2）若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到所经过的时间分别为，写出一种满足的等量关系式，并说明理由.
解：（1）应选择函数模型②.
依题意，得，解得，
所以关于的函数解析式为.
（2）.
理由：依题意，得，，，
所以，，，
所以，
所以，
所以.
21. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.
（1）求在R上的解析式；
（2）判断在上的单调性，并给出证明.
解：（1）因为是定义在上的奇函数，所以，
当时，，所以当时，则，则，
则，，所以.
（2）在上单调递减，证明如下：
设，则
，
因为，所以，，，
则，即，即函数上单调递减.
22. 已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③．
（1）求函数的解析式；
（2）若，，求：
①的最小值；
②讨论关于m的方程的解的个数．
解：（1）由得，对称轴为，
设，∴，得，
∴．
（2）①，，对称轴，
ⅰ当即时，在单调递增，
，
ⅱ即时，在单调递减，在单调递增，
∴，
ⅲ当即时，在单调递减，，
综上：
②画出函数的图象图下图所示：
利用图象的翻转变换得到函数的图象如图所示：
方程的根的个数为函数的图象与直线的交点个数，由图象可知：
当时，方程无解；当时，方程有4个解；
当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解.时间月
1
2
3
4
浮萍的面积
3
5
9
17