[数学][期中]湖南省岳阳市岳汨联考2023-2024学年高一上学期11月期中试题(解析版)

这是一份[数学][期中]湖南省岳阳市岳汨联考2023-2024学年高一上学期11月期中试题(解析版)，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项.）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以.
故选：D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】命题“，”为存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题“，”的否定为：，．
故选：D.
3. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】A：若时，不成立，假命题；
B：由不等式性质知，则，真命题；
C：若，则，假命题；
D：若，则，假命题.
故选：B.
4. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】，所以，所以3.
故选：C.
5. 已知，则“”是“关于x的一元二次方程没有实数根”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由关于x的一元二次方程没有实数根，
可得，即，
由可推出，而由推不出，
所以“”是“关于x的一元二次方程没有实数根”的必要不充分条件.
故选：B.
6. 已知函数，则函数单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令在单调递增，单调递减，
所以函数在单调递减，单调递增.
故选：C.
7. 已知奇函数在R上单调递增，且正数m，n满足，则最小值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】由于奇函数在R上单调递增，且正数m，n满足，，
所以，
由于，所以，
当且仅当，即等号成立.
故选：D.
8. 设定义在R上的奇函数满足，对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为对任意、，且，都有，
所以函数在单调递减，
且，所以时，，时，，
又因为是定义在R上的奇函数，
所以，所以时，，时，，
所以由可得，或，解得.
故选：A.
二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求.）
9. 设，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】对A，，A正确；
对B，，B正确；
对C，，C正确；
对D，，D错误.
故选：ABC.
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 方程有一正一负根充要条件是“”
C. “幂函数为反比例函数”的充要条件是“”
D. “函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是“”
【答案】BCD
【解析】对于A，由可得，故充分性成立，
由可得，故必要性成立，所以“”是“”的充要条件，
故A错误；
对于B，方程的有一正一负根，设为，
则，解得，满足充分性，
当时，，
则方程有一正一负根，满足必要性，
所以方程有一正一负根充要条件是“”，故B正确；
对于C，若幂函数为反比例函数，则，
解得，满足充分性，
当时，函数为幂函数，也为反比例函数，满足必要性，
所以“幂函数为反比例函数”的充要条件是“”，故C正确；
对于D：若函数在区间上不单调，则，
所以“函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是“”，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知，，，则下列结论正确是（ ）
A.
B. 若，则的最小值是9
C. 的最小值为2
D. 若，则的最大值为4
【答案】ABD
【解析】对于选项A：由，得，则，
当且仅当，即时等号成立，所以，A正确；
对于选项C:，当且仅当，
即时等号成立，又，所以不能等于2，选项C错误；
对于选项B：由，
得，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，选项B正确；
对于选项D：根据题意可得，，又，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为4，选项D正确．
故选：ABD．
12. 已知函数，若满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 若方程有三个不同的实根，则k的取值范围为
B. 若方程有一个实根，则k的取值范围为
C. 若，则M的取值范围为
D. 若，则N的取值范围为
【答案】ACD
【解析】作出函数的图象如图，
由图可知，当或时，直线与有三个交点，
即方程有三个不同的实根，故A正确；
当或时，直线与有一个交点，
即方程有一个实根，故B错误；
记，则，
由对称性可知，，所以，
令得，结合图象可知，，，
所以，
由二次函数性质可得，C正确；
由上可知，，
由二次函数可得，，D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分.）
13. 函数（，且）的图象过定点P，则P点的坐标为_____________.
【答案】
【解析】由指数函数性质知：当时，，故定点.
故答案为：
14. 命题“，”为真命题，则a的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题，命题“，”为真命题，即，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即取得等号，所以，所以.
故答案：.
15. 已知关于x的不等式的解集为或，不等式的解集为______．
【答案】.
【解析】因为不等式的解集为或，
所以，且和4为方程的两根，故，得，
又，所以，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
16. 已知定义域为R的函数在上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系是______．
【答案】
【解析】由于是偶函数，则是关于对称的函数，
又因为是定义域为R，且在上单调递减，
所以函数的上单调递增.则根据增减性的特点，分析得到距离对称轴越近，
函数值越大，由于，
所以.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 已知集合，集合．
（1）若，求和；
（2）若，求实数a的取值范围．
解：（1）当时，集合，
集合，
∴，.
（2）∵，∴，
①当时，则，解得；
②当时，则，解得，
综上所述，或，
即实数a的取值范围是．
18. 已知指数函数在定义域内单调递减，二次函数的图象顶点的横坐标．
（1）求的取值范围；
（2）比较与的大小．
解：（1）由题在定义域R上单调递减，∴，
又因为二次函数顶点的横坐标，
∵，∴，
∴的取值范围为.
（2）由题∵
，
又∵，b同号且，所以
（i）当时，；
（ii）当时，.
19. 已知函数是奇函数，且.
（1）求实数和的值；
（2）判断函数在上的单调性，并加以证明．
解：（1）∵是奇函数，∴．
即，
比较得，，
又，∴，
解得，
即实数和的值分别是2和0.
（2）函数在上为增函数．
证明如下：由（1）知，
设，
则，
，，，
∴，
∴，
即函数在上为增函数．
20. 已知函数.
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）当时，即，
即，令，则，
解得，故，
所以关于的不等式的解集为.
（2）对，不等式恒成立，
即恒成立，
令，则恒成立，
需满足，即，
而函数是单调递增函数，且时，，
故由可知：，
即求实数的取值范围为.
21. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为元，每生产一台仪器需要增加投入元，已知总收益单位：元函数为，其中是仪器的产量单位：台
（1）将利润单位：元表示为产量的函数利润总收益总成本；
（2）当产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
解：（1）依题意，总成本为，
当时，，
当时，，
综上，，其中.
（2）当时，，
当时，；
当时，是单调递减函数，
，
当时，．
答：当产量为台时，公司获利润最大，最大利润为元．
22. 已知函数，，，且函数有三个零点.
（1）求的取值范围；
（2）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
解：（1）设，
有三个零点，即与有三个不同的交点，如图所示：
则，即.
（2）对任意的，总存在，使得成立，
，
，
函数有三个零点，由，，
在上递增，
，
，
①若，即，则在上单调递增，
，
，解得，故，
②令，解得，
若，即，此时在处取得最大值，
，
由于恒成立，；
③若，即，此时在处取得最大值，
则，
，解得，；
综上可得：.