北京市第一六一中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

这是一份北京市第一六一中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题，共13页。
考生须知
1．本试卷共4页，满分100分，考试时间120分钟。
2．试卷答案一律填涂在答题卡或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
3．在答题卡上，用2B铅笔作答，在答题纸上，用黑色字迹签字笔作答。
4．考试结束后，将答题卡、答题纸一并交回。
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．在中，，则的度数为（ ）
A．110°B．100°C．70°D．20°
3．用配方法解方程时，原方程变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形B．有三个角是直角的四边形
C．有一组邻边相等的平行四边形D．对角线相等的菱形
5．在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．以上都有可
6．在奥运会跳水项目中，多名评委对同一位选手打分，去掉一个最高分和一个最低分后再计算该选手的成绩．去掉这两个分数的前后，一定不发生变化的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
7．在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．，
8．如图，，，和都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论中，正确的结论有（ ）个．
①；
②四边形ADFE是菱形；
③；
④．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________．
10．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为__________．
11．如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为__________．
12．已知一组数据1，2，3，4，5的方差是2，那么一组新数据2，4，6，8，10的方差是__________．
13．如图，在中，，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为__________．
14．定义：对于给定的一次函数（a、b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值是__________．
15．如图，在中，，，，P为射线AB上一点，若是等腰三角形，则AP的长为__________．
16．如图1，华容道是一种古老的中国民间益智游戏，一些棋子紧密地摆放在矩形木框内，其中有5个完全一样的小矩形木块代表“五虎上将”，它们有4个纵向摆放，1个横向摆放，把其他棋子拿掉后，这5个小矩形木块排列示意图如图2所示．若图2中阴影部分，面积为40，则一个小矩形木块的对角线的长为__________．
图1 图2
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-24题，每题6分，第25题5分，舅26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：．
18．（5分）解方程：．
19．（5分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点．求证：．
20．（5分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）一次函数的图象与x轴交于点B，求的面积．
21．（5分）已知：如图，在中，．
求作：以AC为对角线的矩形ADCE．
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线AP与BC交于点D；
②以点A为圆心，CD的长为半径画弧；再以点C为圆心，AD的长为半径画弧，两弧在AC的右侧交于点E；
③连接AE，CE．
四边形ADCE为所求的矩形．
（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成以下证明．
证明：∵，，
∴四边形ADCE为平行四边形（__________）．（填推理的依据）
由作图可知，
AD平分，
又∵，
∴（__________）．（填推理的依据）
∴．
∴平行四边形ADCE是矩形（__________）．（填推理的依据）
22．（6分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
23．（6分）如图，中，，过A点作BC的平行线与的平分线交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC与BD交于点O，过点D作交BC的延长线于E点，连接EO，若，，求CE的长．
24．（6分）在平面直角坐标系中，点在直线：上，直线：过点．
（1）求a的值及直线的表达式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出k的取值范围．
25．（5分）为了解我国2024年第一季度25个地区第一季度快递业务收入的情况，收集了这25个地区第一季度快递业务收入（单位：亿元）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息．
a．排在前5位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为：
534.9，437.0，270.3，187.7，104.0，
b．其余20个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下：
c．第一季度快递业务收入的数据在这一组的是：
20.2，20.4，22.4，24.2，26.1，26.5，28.5，34.4，39.1，39.8，
d．排在前5位的地区、其余20个地区、全部25个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为__________；
（2）在下面的3个数中，与表中n的值最接近的是__________（填写序号）；
①30②85③150
（3）根据（2）中的数据，预估这25个地区2024年全年快递业务收入为__________亿元．
26．（6分）北京园博园是一个集园林艺术、文化景观、生态休闲、科普教育于一体的大型公益性城市公园，小田和小旭在北京园博园游玩，两人同时从永定塔出发，沿相同的路线游览到达国际展园，路线如图1所示．
记录得到以下信息：
a．小田和小旭从永定塔出发行走的路程和（单位：km）与游览时间x（单位：min）的对应关系如图2；
b．在小田和小旭的游览路线上，依次有4个景点，从永定塔到这4个景点的路程如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这条游览路线上，永定塔到国际展园的路程为__________km；
（2）小田和小旭在游览过程中，除永定塔与国际展园外，在__________相遇（填写景点名称），此时距出发经过了__________min；
（3）下面有三个推断：
①小旭从锦绣谷到国际展园游览的过程中，平均速度是；
②小旭比小田晚到达国际展园30min；
③60min时，小田比小旭多走了．
所有合理推断的序号是__________．
图1 图2
27．（7分）如图，E为正方形ABCD内部一点，且，BE的延长线交CD于点F．
备用图
（1）求证：；
（2）作于点G，交AE于点H，用等式表示线段AH，BG，FH的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系中，，，．若P为矩形ABCO内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形ABCO为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于OA的长，则称P点为矩形ABCO的矩宽点．
例如：图中的点为矩形ABCO的一个矩宽点．
（1）在点，，中，矩形ABCO的矩宽点是__________；
（2）若点为矩形ABCO的矩宽点，求m的值；
（3）若直线上只存在一个矩形ABCO的矩宽点，则k的取值范围是__________．
北京市第一六一中学2024—2025学年度第一学期初三年级开学测试
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题（共16分，每题2分）
1．C2．A3．A4．D
5．A6．B7．B8．C
二、填空题（共16分，每题2分）
9．10．011．312．8
13．314．115．6或或216．
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）
17．解：
．
18．解：
（配方等相应给分）
由公式
所以，．
19．证明：连接BF、DE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴，
∵E、F分别是OA、OC的中点
∴，
∴
∴四边形BFDE是平行四边形（证对全等相应给分）
∴．
20．解：（1）∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，
∴，
∵函数图象经过点，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）∵一次函数的解析式为，
∴当时，，
∴，
∴，
∵，
∴的面积．
21．（1）图形如图所示；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
等腰三角形三线合一；
有一个角是90°的平行四边形是矩形．
22．解：（1）依题意，得．
∴
（2）∵m为正整数，
∴或2，
当时，方程为的根不是整数；
当时，方程为的根，，都是整数．
综上所述，．
23．（1）证明：∵BD平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，且，
∴，且，
∴四边形ABCD是平行四边形，且，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴CE的长为3．
24．解：（1）∵点在直线：上，而直线：，
∴直线：经过点，
∴；
∵直线：过点．
∴，
∴，
∴直线：．
（2）．
25．（1）25.15；
（2）②；
（3）8500．
26．（1）4；
（2）忆江南，45；
（3）②③．
27．（1）证明：∵正方形ABCD，
∴，
如图，作于M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，
证明：
∵正方形ABCD，，
∴四边形BCFG是矩形，
∴，
如图，将绕着点B逆时针旋转90°到，
连接PF交AH于Q，
由旋转可知，，
，，，
∴，，
∴P、A、D三点共线，
设，则，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴．
28．解：（1）E、F；
（2）∵为矩形ABCO的矩宽点，
∴或，解得或；
（3）如图1中由题意可知，矩形ABCO的矩宽点只能在线段RM，QE，DE，MK上（不包括端点），其中，，，，，．
图1
一次函数的图象经过定点，
观察图象可知当直线与线段MR，EQ有交点时，直线一次函数的图象上存在矩宽点，
当一次函数的图象经过点R时，，
当一次函数的图象经过点Q时，，
当一次函数的图象经过点E时，，
当一次函数的图象经过点K时，，
当一次函数的图象经过点D时，，
综上所述，满足条件的k的值为或，或．快递业务收入x
频数
6
10
1
3
前5位的地区
其余20个地区
全部25个地区
平均数
306.8
29.9
n
中位数
270.3
m
28.5
景点
济南园
忆江南
北京园
锦绣谷
路程（km）
1
2
2.5
3