北京市第八十中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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班级______ 姓名______ 考号______
（考试时间120分钟 满分150分）
提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 下列叙述中，错误的一项为（ ）
A. 棱柱的面中，至少有两个面相互平行
B. 棱柱的各个侧面都是平行四边形
C. 棱柱的两底面是全等的多边形
D. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
2. 已知，则虚部为（ ）
A 1B. C. D.
3. 设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确是（ ）
A. 与方向相反B. 与的方向相同
C. D.
4. 如图正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少？（ ）

A. 4B. 8C. 12D. 16
5. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上､下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（ ）
A. B. C. D.
6. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）
A 若，，则
B. 若，则内的任何直线都与平行
C. 若，，则
D. 若，，则
7. 在中，，则是（ ）
A. 等边三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
8. 复数满足，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知,是平面内两个非零向量，那么“∥”是“存在，使得”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 已知点P在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段AP的长的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11. 若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且，则z等于______．（写出一个即可）
12. 如图，在正方体中，直线与平面所成角的正切值为______.
13. 已知向量，，若，则___________.
14. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边．若，则___________．
15. 定义运算，则符合条件的复数_______．
16. 如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为______.
三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 在中，内角的对边分别是，若，．
（1）求；
（2）若，点D为边BC上一点，且，求的面积．
18. 如图，六棱锥的底面是边长为1的正六边形，平面，.
（1）求证：直线平面；
（2）求证：直线平面；
（3）求直线与平面所的成角.
19. 如图，在长方体中，，分别是线段，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，直线与所成角的余弦值是，求四面体的体积.
20. 从①，②，③这三个条件中选一个补充在下面的问题中，使问题中的三角形存在，并完成第（1）、（2）问．
问题：在中，它的内角的对边分别为，______，且，．
（1）求出的值；
（2）求的面积．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
21. 我们学过二维的平面向量，其坐标为，那么对于维向量，其坐标为.设维向量的所有向量组成集合.当时，称为的“特征向量”，如的“特征向量”有，，，.设和为的“特征向量”， 定义.
（1）若，，且，，计算，的值；
（2）设且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，当时，为奇数；当时，为偶数.求集合中元素个数的最大值；
（3）设，且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，且时，.写出一个集合，使其元素最多，并说明理由.