
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陕西省西安市西安高新第二学校2024-2025学年八年级上学期开学测试数学试题(解析版)
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这是一份陕西省西安市西安高新第二学校2024-2025学年八年级上学期开学测试数学试题(解析版),共22页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算,幂的乘方计算,合并同类项,熟知相关计算法则是解题的关键.
【详解】解:A、,原式计算错误,不符合题意;
B、,原式计算错误,不符合题意;
C、,原式计算正确,符合题意;
D、与不是同类项,不能合并,原式计算错误,不符合题意;
故选:C.
2. 下列图形中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别.根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
【详解】解:A,B,C选项中的图形都能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形;
D选项中的图形不能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形;
故选:D.
3. 下列说法中正确的是( )
A. 小明在装有红绿灯的十字路口,“遇到红灯”是随机事件
B. 确定事件发生的概率是1
C. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次,点数为1与点数为6的频率相同
D. 从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试,其中有一名成绩不及格,说明该校的男生引体向上成绩不及格
【答案】A
【解析】
【分析】根据事件的分类,频率和概率分别判断即可.
【详解】解:A. 小明在装有红绿灯的十字路口,“遇到红灯”是随机事件,故正确,符合题意;
B. 确定事件发生的概率是1或0,故错误,不合题意;
C. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次,点数为1与点数为6的频率不一定相同,故错误,不合题意;
D. 从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试,其中有一名成绩不及格,但抽取的人数太少,不能说明该校的男生引体向上成绩不及格,故错误,不合题意;
故选:A.
【点睛】此题主要考查了事件的分类,概率的意义,频率,解答此题要明确事件类型和概率的关系.
4. 高原反应是人到达一定海拔高度后,由于机体对低压低氧环境适应能力不足而引起的.下面是反映海拔高度与空气含氧量之间关系的一组数据:
下列说法不正确的是( )
A. 海拔高度是自变量,空气含氧量是因变量;
B. 海拔高度每上升,空气含氧量减少;
C. 在海拔高度为的地方空气含氧量是;
D. 当海拔高度从上升到时,空气含氧量减少了.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了用表格表示变量,解题的关键是,熟练掌握自变量和因变量,表中数据及变化.
根据题目中表格给出的数据逐一判断,即可.
【详解】A.海拔高度是自变量,空气含氧量是因变量;
∵海拔高度是自变量,空气含氧量是因变量,
∴A正确,不符合题意;
B.海拔高度每上升,空气含氧量减少;
∵,,,,
∴海拔高度每上升,空气含氧量减少值不都是,
∴B错误,符合题意.
C.在海拔高度为的地方空气含氧量是;
∵在海拔高度为的地方空气含氧量是,
∴C正确,不符合题意;
D.当海拔高度从上升到时,空气含氧量减少了;
由B知,当海拔高度从上升到时,空气含氧量减少了,
∴D正确,不符合题意.
故选:B.
5. 若,则 化简后的结果是( )
A xyB. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据,有意义可得,进而即可求解.
【详解】解:∵,有意义,
∴,
∴,
故选:D.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,根据二次根式的性质化简,得出是解题的关键.
6. 下列语句中:
①有公共顶点且相等的角是对顶角;
②直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离;
③平行于同一直线的两直线平行;
④同一平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
其中正确的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角的定义、点到直线的距离、平行线的判定及垂线的判定,即可一一判定.
【详解】解:①有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角是对顶角,故该说法错误;
②直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离,故该说法错误;
③平行于同一直线的两直线平行,正确;
④同一平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,正确.
故正确的有2个,
故选:B.
【点睛】本题考查了对顶角的定义、点到直线的距离、平行线的判定及垂线的判定,熟练掌握和理解对顶角的定义、点到直线的距离、平行线的判定及垂线的判定是解决本题的关键.
7. 如图:把长方形纸片折叠,使其对角线顶点D和B重合,若长,宽,则面积为( )
A. 15B. 20C. 10D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质及勾股定理,利用勾股定理求得的长是解决问题的关键.
设,根据题意可得,,由折叠的性质可得,,,,在中,利用勾股定理可列方程求出x的值,利用三角形面积公式即可得答案.
【详解】∵在长方形的长,宽,
∴,,
∵把一张长方形纸片折叠起来,使其对角顶点D和B重合,设,
∴,,,
在中,,
∴,
解得:,即,
∴,
故选:C.
8. 如图,在中,,,,若四边形的面积为,则的面积为( )
A. 60B. 56C. 70D. 48
【答案】A
【解析】
【分析】连接、,过点作于点,设,根据同高的三角形的面积的比等于底边的比,分别得到、、、、、,再根据四边形的面积,求出,即可得出的面积.
【详解】解:连接、,过点作于点,
设,
,,,
,
,
,
同理可得:,
,
,
,
,
同理可得:,
是的中点,
同理可得:,
,
,
同理可得:,
四边形的面积为28,
,
,
,
故选:A.
【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质,掌握三角形的中线的性质是解题关键.
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
9. 的平方根是____.
【答案】±3
【解析】
【分析】根据算术平方根、平方根解决此题.
【详解】解:,
实数的平方根是.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根,熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键.
10. 已知等腰三角形的一个角为42°,则它的底角度数为_______.
【答案】42°或69°
【解析】
【分析】等腰三角形两底角相等且内角和为180°,这个42°的角是底角或者顶角,分两种情况讨论即可.
【详解】解:该题分两种情况讨论
①若42°的角为底角,顶角为180°-42°×2=96°
②若42°的角为顶角,底角为(180°-42°)÷2=69°.
故答案为:42°或69°.
11. 一蜡烛高20厘米,点燃后平均每小时燃掉4厘米,则蜡烛点燃后剩余的高度(厘米)与燃烧时间(时)之间的关系式是______().
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系,读懂题意变量间的关系式解题的关键.根据题意可知蜡烛小时燃掉厘米,即可得出剩余高度与燃烧时间之间的关系式.
【详解】解:根据题意可知,蜡烛点燃后平均每小时燃掉4厘米,
由此可得小时燃掉厘米,
则蜡烛点燃后剩余的高度(厘米)与燃烧时间(时)之间的关系式是:.
故答案为:.
12. 如图,已知的直角边在数轴上,其中为个单位长度.为的角平分线,则点所对应数轴上的数是______.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,勾股定理,实数与数轴,过点作于,由勾股定理得,再证明,可得,,即得,设,则,由勾股定理得,解得,设点所对应数轴上的数为,再利用两点间距离公式即可求解,正确作出辅助线是解题的关键.
【详解】解:过点作于,则,
∵,
∴,,
∵为的角平分线,
∴,
又∵,
∴,
∴,,
∴,
设,则,
∵,
∴,
解得,
∴,
设点所对应数轴上的数为,
则,
∴,
故答案为:.
13. 如图,已知正方形边长为,点在边上,且,点,分别是边,上的动点(均不与顶点重合),则四边形的周长的最小值是______.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了轴对称最短线段问题,勾股定理,作关于的对称点,点关于的对称点,连接,分别交于点,则,,可得
四边形的周长,由及两点之间线段最短,可知此时四边形的周长最小,利用勾股定理求出即可求解,正确作出辅助线是解题的关键.
【详解】解:作关于的对称点,点关于的对称点,连接,分别交于点,则,,
∴四边形的周长,
∵,
∴根据两点之间线段最短,可知此时四边形的周长最小,
∵,,
∴,,
∵,
∴,
∴四边形的周长最小值为,
故答案为:.
三、解答题(本大题共12小题,共计81分)
14. 计算:.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算,利用乘方的意义、绝对值的性质、零指数幂、负整数指数幂分别运算,再合并即可求解,掌握实数的运算法则是解题的关键.
【详解】解:原式
.
15. 计算:
(1);
(2).
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】()利用二次根式的性质化简,再合并同类二次根式即可;
()利用二次函数的乘除法运算法则、二次根式的性质分别化简,再合并即可;
本题考查了二次根式的运算,掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键.
【小问1详解】
解:原式
,
;
【小问2详解】
解:原式
,
.
16. 先化简,再求值:,其中,,.
【答案】,5
【解析】
【分析】本题考查是乘法公式的应用,整式的混合运算,化简求值,先计算括号内整式的乘法运算,再合并同类项,最后计算多项式除以单项式,再把,代入计算即可.
【详解】解:
;
当,时,
原式;
17. 如图,已知直线l和l外一点A,请用尺规作图法,求作一个等腰直角,使得顶点B和顶点C都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可,保留作图痕迹,不写作法)
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义,尺规作图.过点A作,垂足为,再在直线l上截取点C,使,连接,则是所求作的等腰直角三角形.
【详解】解:等腰直角如图所示:
18. 如图,在中,,,是的用平分线,已知,求.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形角平分线的定义,三角形内角和定理,直角三角形的性质,由角平分线的定义可得,进而得,即可得,最后利用角的和差关系即可求解,掌握三角形角平分线的定义是解题的关键.
【详解】解:∵,是的用平分线,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴.
19. 已知:如图,,F、E分别是的中点.求证:.
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定.熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.
由F、E分别是的中点,,可得,进而可证.
【详解】证明:∵F、E分别是的中点,
∴,
∵,
∴,
∵,,,
∴.
20. 在一个不透明的袋子中装有3个红球和6个黄球,每个球除颜色外其余都相同.
(1)从中任意摸出1个球,摸到________球的可能性大;
(2)摸出红球和黄球的概率分别是多少?
(3)如果另拿5个球放入袋中并搅匀,使得从中任意摸出1个球,摸到红球和黄球的可能性大小相等,那么应放入几个红球,几个黄球?
【答案】(1)黄球 (2)摸到红球的概率为,摸到黄球的概率为
(3)应放4个红球,1个黄球
【解析】
【分析】(1)根据黄球多于红球,即可判断;
(2)根据等可能事件的概率公式计算即可;
(3)要使摸到红球和黄球的可能性大小相等,只需黄球、红球的个数相等即可.
【小问1详解】
袋子中装有3个红球和6个黄球,故摸到黄球的可能性大;
【小问2详解】
在9个球中,红球有3个,故摸到红球的概率为
在9个球中,黄球有6个,故摸到黄球的概率为
故摸到红球的概率为,摸到黄球的概率为;
【小问3详解】
要使摸到红球和黄球的可能性大小相等,只需黄球、红球的个数相等即可
所以,应放4个红球,1个黄球.
【点睛】本题考查概率计算、可能性大小的判断,熟记概率公式是解题的关键.
21. 如图,,
(1)求证:;
(2)若,求度数.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
【分析】(1)根据可判定,得到,结合,得到,证明可证;
(2)根据平行线的性质,垂直的意义,计算解答即可.
本题考查了平行线的判定和性质,垂直的意义,熟练掌握判定和性质是解题的关键.
【小问1详解】
证明:∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
【小问2详解】
解:∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴.
22. 如图,长方形中,,,为上一点,将沿翻折至,与相交于点,与相交于点,且.
(1)求证:;
(2)求的长.
【答案】(1)见解析 (2).
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理,全等三角形的判定与性质,折叠的性质,解题的关键是灵活运用这些性质.
(1)根据折叠的性质可得,,,结合,可证明,得到,;
(2)推出,设,则,,推出,在中,根据勾股定理即可求解.
【小问1详解】
证明:四边形是长方形,
,,,
将沿翻折至,与相交于点,与相交于点,
,
在和中,
,
,
,;
【小问2详解】
解:∵,
,
即,
,
设,则,,
,,
在中,根据勾股定理得:,
即,
解得:,
.
23. 如图,中,,垂直平分,交于点D,交于点E,连接.
(1)若,的周长是20,求的长;
(2)若,求的度数.
【答案】(1)8 (2)
【解析】
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度适中,注意运用线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
(1)由垂直平分,可得,根据的周长为20,得,再求解即可;
(2)先根据等边对等角,求,由线段垂直平分线的性质得:,再由等边对等角得:,再求解即可.
【小问1详解】
∵垂直平分,
∴,
又∵,
∴,
∵的周长,
∴;
【小问2详解】
,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴
24. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠,是用代数思想解决几何问题最重要的工具,也是数形结合的纽带之一,如图,有一架秋千,当它静止在的位置时,踏板离地的垂直高度为,将秋千往前推送3m,到达的位置,此时,秋千的踏板离地的垂直高度为,秋千的绳索始终保持拉直的状态.
(1)求秋千的长度;
(2)如果将秋千往前推送4米,求此时踏板离地的垂直高度为多少?
【答案】(1)秋千的长度是;
(2)此时踏板离地的垂直高度为.
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用等知识,数形结合,熟练运用勾股定理是解决问题的关键.
(1)由题中条件,得到四边形是矩形,从而得到,设秋千的长度为,则,,由勾股定理列方程求解即可得到答案;
(2)设时,,构造直角三角形,由勾股定理列方程求解即可得到答案.
【小问1详解】
解:由题意知,
∵,,,
∴四边形是矩形,
∴
∴
∵,
∴,
设秋千的长度为,则,,
在中,由勾股定理得,即,
解得,
即秋千的长度是;
【小问2详解】
解:设时,,
∵,
∴,
由(1)可知,,,
∴,
在中,,
由勾股定理得,则,
解得,
即此时踏板离地的垂直高度为.
25. 【问题呈现】()如图,和均为等边三角形,点为边上一个动点,,点为边中点,连接,写出图中全等的三角形__________,线段的最小值__________.
【问题探索】()如图,是等腰直角三角形,,,点是上一点,,交于.试探究、、的数量关系,并给予证明;
【灵活运用】()如图,四边形中,对角线、相交于点,,,,,求四边形的面积.
【答案】(),3;(),证明见解析;().
【解析】
【分析】()连接,证明,得到,即得,可得点在射线CE上运动,故当时,有最小值,此时,据此求解即可;
()如图,过点作交延长线与,连接,可得是等腰直角三角形,即得,进而可得,,得到,,即得,再由勾股定理即可求证;
()如图,在CB延长线上截取,连接,过点作于,
证明可得,,又由可得,在中,由,可得,即得
,得到,最后根据即可求解.
【详解】解:()如图,连接,
∵都是等边三角形,
∴,,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴点在射线CE上运动,
∴当时,有最小值,此时,
∵点为边中点,
∴,
∴,
∴,
∴的最小值为3,
故答案为:,3;
(),证明如下:
如图,过点作交延长线与,连接,
∵ ,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∵,
∴,
又∵,
∴,,
∴,,
∴,
在中,由勾股定理得,,
在中,由勾股定理得,,
即,
∴;
()如图,在CB延长线上截取,连接,过点作于,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
又∵,,
∴,
∴,,
∵ ,
∴,
在中,,,
∴,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,勾股定理,等腰三角形的性质,四边形的面积,正确作出辅助线是解题的关键.海拔高度
0
1000
2000
3000
4000
空气含氧量
1. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算,幂的乘方计算,合并同类项,熟知相关计算法则是解题的关键.
【详解】解:A、,原式计算错误,不符合题意;
B、,原式计算错误,不符合题意;
C、,原式计算正确,符合题意;
D、与不是同类项,不能合并,原式计算错误,不符合题意;
故选:C.
2. 下列图形中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别.根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
【详解】解:A,B,C选项中的图形都能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形;
D选项中的图形不能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形;
故选:D.
3. 下列说法中正确的是( )
A. 小明在装有红绿灯的十字路口,“遇到红灯”是随机事件
B. 确定事件发生的概率是1
C. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次,点数为1与点数为6的频率相同
D. 从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试,其中有一名成绩不及格,说明该校的男生引体向上成绩不及格
【答案】A
【解析】
【分析】根据事件的分类,频率和概率分别判断即可.
【详解】解:A. 小明在装有红绿灯的十字路口,“遇到红灯”是随机事件,故正确,符合题意;
B. 确定事件发生的概率是1或0,故错误,不合题意;
C. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次,点数为1与点数为6的频率不一定相同,故错误,不合题意;
D. 从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试,其中有一名成绩不及格,但抽取的人数太少,不能说明该校的男生引体向上成绩不及格,故错误,不合题意;
故选:A.
【点睛】此题主要考查了事件的分类,概率的意义,频率,解答此题要明确事件类型和概率的关系.
4. 高原反应是人到达一定海拔高度后,由于机体对低压低氧环境适应能力不足而引起的.下面是反映海拔高度与空气含氧量之间关系的一组数据:
下列说法不正确的是( )
A. 海拔高度是自变量,空气含氧量是因变量;
B. 海拔高度每上升,空气含氧量减少;
C. 在海拔高度为的地方空气含氧量是;
D. 当海拔高度从上升到时,空气含氧量减少了.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了用表格表示变量,解题的关键是,熟练掌握自变量和因变量,表中数据及变化.
根据题目中表格给出的数据逐一判断,即可.
【详解】A.海拔高度是自变量,空气含氧量是因变量;
∵海拔高度是自变量,空气含氧量是因变量,
∴A正确,不符合题意;
B.海拔高度每上升,空气含氧量减少;
∵,,,,
∴海拔高度每上升,空气含氧量减少值不都是,
∴B错误,符合题意.
C.在海拔高度为的地方空气含氧量是;
∵在海拔高度为的地方空气含氧量是,
∴C正确,不符合题意;
D.当海拔高度从上升到时,空气含氧量减少了;
由B知,当海拔高度从上升到时,空气含氧量减少了,
∴D正确,不符合题意.
故选:B.
5. 若,则 化简后的结果是( )
A xyB. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据,有意义可得,进而即可求解.
【详解】解:∵,有意义,
∴,
∴,
故选:D.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,根据二次根式的性质化简,得出是解题的关键.
6. 下列语句中:
①有公共顶点且相等的角是对顶角;
②直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离;
③平行于同一直线的两直线平行;
④同一平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
其中正确的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角的定义、点到直线的距离、平行线的判定及垂线的判定,即可一一判定.
【详解】解:①有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角是对顶角,故该说法错误;
②直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离,故该说法错误;
③平行于同一直线的两直线平行,正确;
④同一平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,正确.
故正确的有2个,
故选:B.
【点睛】本题考查了对顶角的定义、点到直线的距离、平行线的判定及垂线的判定,熟练掌握和理解对顶角的定义、点到直线的距离、平行线的判定及垂线的判定是解决本题的关键.
7. 如图:把长方形纸片折叠,使其对角线顶点D和B重合,若长,宽,则面积为( )
A. 15B. 20C. 10D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质及勾股定理,利用勾股定理求得的长是解决问题的关键.
设,根据题意可得,,由折叠的性质可得,,,,在中,利用勾股定理可列方程求出x的值,利用三角形面积公式即可得答案.
【详解】∵在长方形的长,宽,
∴,,
∵把一张长方形纸片折叠起来,使其对角顶点D和B重合,设,
∴,,,
在中,,
∴,
解得:,即,
∴,
故选:C.
8. 如图,在中,,,,若四边形的面积为,则的面积为( )
A. 60B. 56C. 70D. 48
【答案】A
【解析】
【分析】连接、,过点作于点,设,根据同高的三角形的面积的比等于底边的比,分别得到、、、、、,再根据四边形的面积,求出,即可得出的面积.
【详解】解:连接、,过点作于点,
设,
,,,
,
,
,
同理可得:,
,
,
,
,
同理可得:,
是的中点,
同理可得:,
,
,
同理可得:,
四边形的面积为28,
,
,
,
故选:A.
【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质,掌握三角形的中线的性质是解题关键.
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
9. 的平方根是____.
【答案】±3
【解析】
【分析】根据算术平方根、平方根解决此题.
【详解】解:,
实数的平方根是.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根,熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键.
10. 已知等腰三角形的一个角为42°,则它的底角度数为_______.
【答案】42°或69°
【解析】
【分析】等腰三角形两底角相等且内角和为180°,这个42°的角是底角或者顶角,分两种情况讨论即可.
【详解】解:该题分两种情况讨论
①若42°的角为底角,顶角为180°-42°×2=96°
②若42°的角为顶角,底角为(180°-42°)÷2=69°.
故答案为:42°或69°.
11. 一蜡烛高20厘米,点燃后平均每小时燃掉4厘米,则蜡烛点燃后剩余的高度(厘米)与燃烧时间(时)之间的关系式是______().
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系,读懂题意变量间的关系式解题的关键.根据题意可知蜡烛小时燃掉厘米,即可得出剩余高度与燃烧时间之间的关系式.
【详解】解:根据题意可知,蜡烛点燃后平均每小时燃掉4厘米,
由此可得小时燃掉厘米,
则蜡烛点燃后剩余的高度(厘米)与燃烧时间(时)之间的关系式是:.
故答案为:.
12. 如图,已知的直角边在数轴上,其中为个单位长度.为的角平分线,则点所对应数轴上的数是______.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,勾股定理,实数与数轴,过点作于,由勾股定理得,再证明,可得,,即得,设,则,由勾股定理得,解得,设点所对应数轴上的数为,再利用两点间距离公式即可求解,正确作出辅助线是解题的关键.
【详解】解:过点作于,则,
∵,
∴,,
∵为的角平分线,
∴,
又∵,
∴,
∴,,
∴,
设,则,
∵,
∴,
解得,
∴,
设点所对应数轴上的数为,
则,
∴,
故答案为:.
13. 如图,已知正方形边长为,点在边上,且,点,分别是边,上的动点(均不与顶点重合),则四边形的周长的最小值是______.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了轴对称最短线段问题,勾股定理,作关于的对称点,点关于的对称点,连接,分别交于点,则,,可得
四边形的周长,由及两点之间线段最短,可知此时四边形的周长最小,利用勾股定理求出即可求解,正确作出辅助线是解题的关键.
【详解】解:作关于的对称点,点关于的对称点,连接,分别交于点,则,,
∴四边形的周长,
∵,
∴根据两点之间线段最短,可知此时四边形的周长最小,
∵,,
∴,,
∵,
∴,
∴四边形的周长最小值为,
故答案为:.
三、解答题(本大题共12小题,共计81分)
14. 计算:.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算,利用乘方的意义、绝对值的性质、零指数幂、负整数指数幂分别运算,再合并即可求解,掌握实数的运算法则是解题的关键.
【详解】解:原式
.
15. 计算:
(1);
(2).
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】()利用二次根式的性质化简,再合并同类二次根式即可;
()利用二次函数的乘除法运算法则、二次根式的性质分别化简,再合并即可;
本题考查了二次根式的运算,掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键.
【小问1详解】
解:原式
,
;
【小问2详解】
解:原式
,
.
16. 先化简,再求值:,其中,,.
【答案】,5
【解析】
【分析】本题考查是乘法公式的应用,整式的混合运算,化简求值,先计算括号内整式的乘法运算,再合并同类项,最后计算多项式除以单项式,再把,代入计算即可.
【详解】解:
;
当,时,
原式;
17. 如图,已知直线l和l外一点A,请用尺规作图法,求作一个等腰直角,使得顶点B和顶点C都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可,保留作图痕迹,不写作法)
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义,尺规作图.过点A作,垂足为,再在直线l上截取点C,使,连接,则是所求作的等腰直角三角形.
【详解】解:等腰直角如图所示:
18. 如图,在中,,,是的用平分线,已知,求.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形角平分线的定义,三角形内角和定理,直角三角形的性质,由角平分线的定义可得,进而得,即可得,最后利用角的和差关系即可求解,掌握三角形角平分线的定义是解题的关键.
【详解】解:∵,是的用平分线,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴.
19. 已知:如图,,F、E分别是的中点.求证:.
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定.熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.
由F、E分别是的中点,,可得,进而可证.
【详解】证明:∵F、E分别是的中点,
∴,
∵,
∴,
∵,,,
∴.
20. 在一个不透明的袋子中装有3个红球和6个黄球,每个球除颜色外其余都相同.
(1)从中任意摸出1个球,摸到________球的可能性大;
(2)摸出红球和黄球的概率分别是多少?
(3)如果另拿5个球放入袋中并搅匀,使得从中任意摸出1个球,摸到红球和黄球的可能性大小相等,那么应放入几个红球,几个黄球?
【答案】(1)黄球 (2)摸到红球的概率为,摸到黄球的概率为
(3)应放4个红球,1个黄球
【解析】
【分析】(1)根据黄球多于红球,即可判断;
(2)根据等可能事件的概率公式计算即可;
(3)要使摸到红球和黄球的可能性大小相等,只需黄球、红球的个数相等即可.
【小问1详解】
袋子中装有3个红球和6个黄球,故摸到黄球的可能性大;
【小问2详解】
在9个球中,红球有3个,故摸到红球的概率为
在9个球中,黄球有6个,故摸到黄球的概率为
故摸到红球的概率为,摸到黄球的概率为;
【小问3详解】
要使摸到红球和黄球的可能性大小相等,只需黄球、红球的个数相等即可
所以,应放4个红球,1个黄球.
【点睛】本题考查概率计算、可能性大小的判断,熟记概率公式是解题的关键.
21. 如图,,
(1)求证:;
(2)若,求度数.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
【分析】(1)根据可判定,得到,结合,得到,证明可证;
(2)根据平行线的性质,垂直的意义,计算解答即可.
本题考查了平行线的判定和性质,垂直的意义,熟练掌握判定和性质是解题的关键.
【小问1详解】
证明:∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
【小问2详解】
解:∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴.
22. 如图,长方形中,,,为上一点,将沿翻折至,与相交于点,与相交于点,且.
(1)求证:;
(2)求的长.
【答案】(1)见解析 (2).
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理,全等三角形的判定与性质,折叠的性质,解题的关键是灵活运用这些性质.
(1)根据折叠的性质可得,,,结合,可证明,得到,;
(2)推出,设,则,,推出,在中,根据勾股定理即可求解.
【小问1详解】
证明:四边形是长方形,
,,,
将沿翻折至,与相交于点,与相交于点,
,
在和中,
,
,
,;
【小问2详解】
解:∵,
,
即,
,
设,则,,
,,
在中,根据勾股定理得:,
即,
解得:,
.
23. 如图,中,,垂直平分,交于点D,交于点E,连接.
(1)若,的周长是20,求的长;
(2)若,求的度数.
【答案】(1)8 (2)
【解析】
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度适中,注意运用线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
(1)由垂直平分,可得,根据的周长为20,得,再求解即可;
(2)先根据等边对等角,求,由线段垂直平分线的性质得:,再由等边对等角得:,再求解即可.
【小问1详解】
∵垂直平分,
∴,
又∵,
∴,
∵的周长,
∴;
【小问2详解】
,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴
24. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠,是用代数思想解决几何问题最重要的工具,也是数形结合的纽带之一,如图,有一架秋千,当它静止在的位置时,踏板离地的垂直高度为,将秋千往前推送3m,到达的位置,此时,秋千的踏板离地的垂直高度为,秋千的绳索始终保持拉直的状态.
(1)求秋千的长度;
(2)如果将秋千往前推送4米,求此时踏板离地的垂直高度为多少?
【答案】(1)秋千的长度是;
(2)此时踏板离地的垂直高度为.
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用等知识,数形结合,熟练运用勾股定理是解决问题的关键.
(1)由题中条件,得到四边形是矩形,从而得到,设秋千的长度为,则,,由勾股定理列方程求解即可得到答案;
(2)设时,,构造直角三角形,由勾股定理列方程求解即可得到答案.
【小问1详解】
解:由题意知,
∵,,,
∴四边形是矩形,
∴
∴
∵,
∴,
设秋千的长度为,则,,
在中,由勾股定理得,即,
解得,
即秋千的长度是;
【小问2详解】
解:设时,,
∵,
∴,
由(1)可知,,,
∴,
在中,,
由勾股定理得,则,
解得,
即此时踏板离地的垂直高度为.
25. 【问题呈现】()如图,和均为等边三角形,点为边上一个动点,,点为边中点,连接,写出图中全等的三角形__________,线段的最小值__________.
【问题探索】()如图,是等腰直角三角形,,,点是上一点,,交于.试探究、、的数量关系,并给予证明;
【灵活运用】()如图,四边形中,对角线、相交于点,,,,,求四边形的面积.
【答案】(),3;(),证明见解析;().
【解析】
【分析】()连接,证明,得到,即得,可得点在射线CE上运动,故当时,有最小值,此时,据此求解即可;
()如图,过点作交延长线与,连接,可得是等腰直角三角形,即得,进而可得,,得到,,即得,再由勾股定理即可求证;
()如图,在CB延长线上截取,连接,过点作于,
证明可得,,又由可得,在中,由,可得,即得
,得到,最后根据即可求解.
【详解】解:()如图,连接,
∵都是等边三角形,
∴,,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴点在射线CE上运动,
∴当时,有最小值,此时,
∵点为边中点,
∴,
∴,
∴,
∴的最小值为3,
故答案为:,3;
(),证明如下:
如图,过点作交延长线与,连接,
∵ ,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∵,
∴,
又∵,
∴,,
∴,,
∴,
在中,由勾股定理得,,
在中,由勾股定理得,,
即,
∴;
()如图,在CB延长线上截取,连接,过点作于,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
又∵,,
∴,
∴,,
∵ ,
∴,
在中,,,
∴,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,勾股定理,等腰三角形的性质,四边形的面积,正确作出辅助线是解题的关键.海拔高度
0
1000
2000
3000
4000
空气含氧量