湖南省益阳市沅江市新湾镇中学2024-2025学年八年级上学期开学数学试题（解析版）

这是一份湖南省益阳市沅江市新湾镇中学2024-2025学年八年级上学期开学数学试题（解析版），共30页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（本大题共10小题，共30分）
1. 如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（ ）
A. 100°B. 110°C. 115°D. 120°
【答案】C
【解析】
【分析】先根据角平分线的定义求得∠PBC=25°，∠PCB=40°，再利用三角形的内角和为180°求解即可．
【详解】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=25°，∠PCB=40°，
∴∠BPC=180°－∠PBC－∠PCB=180°－25°－40°=115°，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．
2. 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果，那么的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的性质证得，根据三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，掌握矩形的性质是解题的关键．
3. 如图，求（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接DC，利用三角形内角和即可得∠F+∠E=∠EDC+∠FCD，则利用等量代换即可得到，进而可求得答案．
【详解】解：连接DC，如图所示：
∵∠FGE=∠DGC，
∴∠F+∠E=∠EDC+∠FCD，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和及四边形内角和，掌握三角形内角和定理及四边形内角和的度数是解题的关键．
4. 如图，沿直角边所在直线向右平移到，则下列结论中，错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案．
【详解】A、Rt△ABC向右平移得到△DEF，则△ABC≌△DEF成立，故正确，不符合题意；
B、△ABC≌△DEF，则BC＝EF，BC－EC＝EF－EC，即BE=CF，故正确，不符合题意；
C、△ABC≌△DEF，则AC=DF成立，故正确，不符合题意；
D、BE=EC不能成立，故错误，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.
5. 如图，在等腰中，，，O是外一点，O到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（ ）

A. 7B. 5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，，，由，设， ，，证明，得到为的角平分线，再根据，得到，根据三线合一及勾股定理求出，再根据，得到方程求解即可．
【详解】解：连接，，，如图，

由，设， ，，
∵，，，，
∴，即，
∴为的角平分线，
又∵，
∴，
∴为的中线，
∵，
∴、、三点共线，
∴，
在中，，
∴
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面积公式是解题的关键．
6. 在▱ABCD中，已知AB＝6，BE平分∠ABC交AD边于点E，点E将AD分为1：3两部分，则AD的长为（ ）
A. 8或24B. 8C. 24D. 9或24
【答案】A
【解析】
【分析】因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠CBE，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，可证得AB＝AE=6，点E将AD分为1：3两部分，可得DE＝18或DE＝2两种情况，分别讨论即可求解.
【详解】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BEA＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠BEA，
∴AB＝AE＝6．
∵点E将AD分为1：3两部分，
∴DE＝18或DE＝2，
∴当DE＝18时，AD＝24；
当DE＝2，AD＝8；
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及等角对等边，熟悉掌握是关键．
7. 如图，在中，，，为边上的点，连接．如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是（ ）
A. 2B. 1C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】设的中点为D，根据折叠的性质，得到，，得到，过点M作于点F，根据，计算即可．
【详解】解：如图，设的中点为D，
根据折叠的性质，得到，，
所以，
过点M作于点F，
因为，
所以，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的中线的性质，熟练掌握折叠性质，中线的性质是解题的关键．
8. 如图，在中，，下列尺规作图，不能得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A、根据等边对等角即可得出；B、利用角平分线及三角形外角的定义即可证明；C、利用垂直平分线的性质及三角形外角的性质即可证明；D、由作图方法无法得出相应结果．
【详解】解：A、由作图得，，
∴，不符合题意；
B、由作图得，，
∵，
∴，
∴，不符合题意；
C、由作图得，，
∴，
∴，不符合题意；
D、由作图无法得出，
∴不一定成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】题目主要考查角平分线及垂直平分线的性质，等边对等角的性质及三角形外角的定义，理解题干中的作图方法是解题关键．
9. 如图， 点O为矩形的对角线的交点，， 点E从点B出发（不含点B）沿向点C运动，移动到点C停止，延长交于点F，则四边形形状的变化依次为（ ）
A. 平行四边形菱形平行四边形矩形B. 平行四边形正方形菱形矩形
C. 平行四边形菱形正方形矩形D. 平行四边形正方形平行四边形矩形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质，可得四边形形状的变化情况．
【详解】解：连接．
∵点O为矩形的对角线的交点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
观察图形可知，四边形形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：C．
10. 如图，矩形中，，的平分线交于点E，，垂足为F，连接，，下列结论：① ；②；③；④； 其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由等腰直角三角形的性质可得，可证，故①正确；求出，
，故②错误；可证垂直平分，故③正确；由“”可证，可得，故④正确．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
平分，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，，，
，
，，
，
，，
又，
，
，
∴，故②错误；
，，
垂直平分，故③正确；
，
，
又，，
，
，故④正确，
综上所述：正确的结论有①③④，共3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11. 一个三角形的两边长为5和7，则第三边a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案．
【详解】解：根据三角形的三边关系：，
解得：．
故答案为：．
12. 如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是高，AE是角平分线，则∠EAD＝_____度．
【答案】10°
【解析】
【详解】试题解析：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°，
∵AE是高，
∴∠BAE=90°-∠B=90°-50°=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°.
13. 如图，五边形是正五边形，若，则__________．
【答案】72
【解析】
【详解】分析：延长AB交于点F，根据得到∠2=∠3,根据五边形是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.
详解：延长AB交于点F，
∵，
∴∠2=∠3，
∵五边形是正五边形，
∴∠ABC=108°,
∴∠FBC=72°,
∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°
故答案为72°.
点睛：此题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.
14. 如图，PA，PB与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，若∠C＝70°，则∠P＝_____°．
【答案】40
【解析】
【分析】连接OA、OB，先证明∠P＝180°﹣∠AOB，根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB，求出∠AOB度数，即可得出结果．
【详解】解：连接OA、OB，如图所示：
∵PA、PB是⊙O切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO＝360°，
∴∠P＝180°﹣∠AOB，
∵∠C＝70°，
∴∠AOB＝2∠C＝140°，
∴∠P＝180°﹣140°＝40°，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了切线的性质、四边形内角和、圆周角定理等知识，熟练掌握切线的性质和四边形内角和是解题的关键．
15. 如图，若△ABC≌△DEF，AF＝2，FD＝8，则FC的长度是 ___．
【答案】6
【解析】
【分析】利用三角形全等的性质得，再通过计算可得．
【详解】解：由题意△ABC≌△DEF；
，
，
，
故答案是：6．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质，解题的关键是掌握三角形全等的性质，利用等量代换的思想进行求解．
16. 如图，一次函数与坐标轴分别交于，两点，点，分别是线段，上的点，且，，则点的标为________．
【答案】
【解析】
【分析】过P作PD⊥OC于D，先求出A，B 的坐标，得∠ABO=∠OAB=45°，再证明△PCB≌△OPA，从而求出BD＝2，OD＝4−2，进而即可求解．
【详解】如图所示，过P作PD⊥OC于D，
∵一次函数与坐标轴分别交于A，两点，
∴A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB，
∴∠ABO=∠OAB=45°，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，
∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC，
∴∠PCB＝∠OPA，
又∵PC＝OP，
∴△PCB≌△OPA（AAS），
∴AO＝BP＝4，
∴Rt△BDP中，BD＝PD＝BP÷＝2，
∴OD＝OB−BD＝4−2，
∴P（-2，4−2）．
故答案是：P（-2，4−2）．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．
17. 如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，则周长为_____．

【答案】4
【解析】
【分析】先求解，如图，延长，交于，延长交于，依次证明，，，可得从而可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
如图，延长，交于，延长交于，

∵和的平分线相交于点O，交于E，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴


．
∴的周长为．
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
18. 如图，已知，，直线与x轴正半轴交于点C，与y轴交于点D，将线段绕着点C顺时针旋转，点D落在点E处，连接，，若是以为底的等腰三角形，则k的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及坐标与图形变化－旋转．过点作轴于点，易证，利用全等三角形的性质，可求出的长，进而可得出点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出的值．
【详解】解：过点作轴于点，如图所示，
点的坐标为，点的坐标为，为等腰三角形，
点的纵坐标为1，
．
，，
．
在和中，
，
，
，
点的坐标为．
直线与轴正半轴交于点，
，
解得：，
的值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19. 如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．
（1）求∠DCE的度数；
（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）
【答案】（1）∠DCE=16°；（2）∠DCE=（∠B-∠A）．
【解析】
【分析】（1）由CD是∠ACB的角平分线，求出∠DCB 的度数,再由CE是AB边上的高，求出∠ECB,相减即可求出∠DCE度数,
（2）证明过程与上一问思路相同.
【详解】解：（1）∵∠A=40°，∠B=72°，
∴∠ACB=68°
∵CD平分∠ACB
∴∠DCB=∠ACB=34°
∵CE是AB边上的高
∴∠ECB=90°-∠B=90°-72°=18°
∴∠DCE=34°-18°=16°
（2）∠DCE=（∠B-∠A）．
【点睛】本题考查了角平分线和高线得应用,属于简单题,明确各角之间的关系是解题关键.
20. 如图，是的中线，是的中线．
（1）在中作边上的高．
（2）若的面积为，，则点到边的距离为多少？
【答案】（1）见解析 （2）点到边的距离为
【解析】
【分析】本题主要考查了复杂作图，以及三角形中线的性质：
（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可；
（2）首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得的面积是5，再利用三角形的面积公式进而得到的长．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：是的中线，
，
是的中线，
，
的面积为，
的面积是，
，
，
∴．
即点到边的距离为．
21. 如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝3cm，求△CMN的周长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
【答案】（1）3cm；（2）40°
【解析】
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，则△CMN的周长．
（2）根据等边对等角可得，，根据三角形内角和定理，列式求出，再求出，即可求解．
【详解】解：（1）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴，，
∴△CMN的周长；
（2）由（1）得，，由DM，EN分别垂直平分AC和BC，可得∠MDA=∠NEB=90°，
∴，，
∵在中，，
∴，
根据对顶角的性质可得：，，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质和整体思想的利用．
22. 已知：△ABC中，图①中∠B、∠C的平分线相交于M，图②中∠B、∠C的外角平分线相交于N，
（1）若∠A＝80°，∠BMC＝ °，∠BNC＝ ° ．
（2）若∠A＝β，试用β表示∠BMC和∠BNC
【答案】（1）130，50
（2）∠BMC=90°+ β，∠BNC=90°-β
【解析】
【分析】（1）根据三角形的内角和定理求得∠ABC+∠ACB=100°，在图①中，根据角平分线的性质求得∠MBC+∠MCB=50°，然后再利用三角形的内角和定理求解即可；在图②中，可求得∠PBC+∠BCQ =260°，利用角平分线性质求得∠NBC+∠NCB=130°，再根据三角形的内角和定理求得∠BNC=50°；
（2）根据三角形的内角和定理求得∠ABC+∠ACB=180°-β，在图①中，可由（1）中方法可求得∠BMC=90°+ β，图②中可有（1）中方法求得∠BNC=90°-β．
【小问1详解】
解：∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=100°，
在图①中，∵∠B、∠C的平分线相交于M，
∴∠MBC=∠ABC，∠MCB=∠ACB，
∴∠MBC+∠MCB=（∠ABC+∠ACB）=50°，
∴∠BMC=180°-（∠MBC+∠MCB）=130°；
在图②中，∠PBC+∠BCQ=180°-∠ABC+180°-∠ACB=360°-（∠ABC+∠ACB）=260°，
∵∠B、∠C的外角平分线相交于N，
∴∠NBC=∠PBC，∠NCB=∠BCQ，
∴∠NBC+∠NCB=（∠PBC+∠BCQ）=130°，
∴∠BNC=180°-（∠NBC+∠NCB）=50°，
故答案为：130°，50°；
【小问2详解】
解：∵∠A=β，
∴∠ABC+∠ACB=180°-β，
在图①中，∵∠B、C的平分线相交于M，
∴∠MBC=∠ABC，∠MCB=∠ACB，
∴∠MBC+∠MCB=（∠ABC+∠ACB）=90°-β，
∴∠BMC=180°-（∠MBC+∠MCB）=90°+β；
在图②中，∠PBC+∠BCQ=180°-∠ABC+180°-∠ACB=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+β，
∵∠B、∠C的外角平分线相交于N，
∴∠NBC=∠PBC，∠NCB=∠BCQ，
∴∠NBC+∠NCB=（∠PBC+∠BCQ）=90°+β，
∴∠BNC=180°-（∠NBC+∠NCB）=90°-β．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的性质，根据图形进行角度运算是解答的关键．
23. 如图，在平行四边形中，点E，F，G，H分别在边上，，．

（1）如图（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图（2）若平分，在不添加辅助线的条件下，直接写出长度等于EH的线段（不包括）．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由可证，可得，同理可得，即可得结论；
（2）通过证明四边形是菱形，可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，且，
∴，
∴，
同理，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，且四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理证明是解答该题的关键．
24. （1）【问题发现】如图1，与中，，B、、三点在同一直线上，，，则_________．
（2）【问题提出】如图2，在中，，过点作，且，求面积．
（3）【问题解决】如图3，四边形中，，面积为且的长为6，求的面积．
【答案】（1）7；（2）8；（3）6
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键．
（1）证明，则，，根据，计算求解即可；
（2）如图1，过作的延长线于E，证明，则，根据，计算求解即可；
（3）如图2，过作于，过作的延长线于， 由面积为且的长为6，可得，可求，证明是等腰直角三角形，则，，由，可得，，证明，则，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：，
，
∵，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：7；
（2）解：如图1，过作的延长线于E，
图1
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为8；
（3）解：如图2，过作于，过作延长线于，
图2
面积为且的长为6，
∴，
解得，，
，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
，
，，
，
∵，
∴，
，
∴，
∴的面积为6．
25. 如图1，点E为正方形ABCD边AB上的一点，连接EC，点F是线段EC上的一个动点（不与点E，C重合），直线DF交直线BC于点G．
（1）如图1，当时，用等式表示BE，GC之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，当时，
①补全图形；
②用等式表示BE，EC，CG之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①补图见解析；②，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）求出∠BCE＝∠CDG，利用ASA证明△CBE≌△DCG即可得出结论；
（2）①根据题意作出图形即可；
②如图2中，过点D作DT⊥EC交CB于点T，则△CBE≌△DCT，可得CE＝DT，BE＝CT，然后求出∠G＝∠TDG，证明TG＝TD＝CE，即可得出结论．
【小问1详解】
BE＝GC；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠CBE＝∠DCG＝90°，
∵DG⊥CE，
∴∠ECB＋∠CGD＝90°，∠CGD＋∠CDG＝90°，
∴∠BCE＝∠CDG，
在△CBE和△DCG中，，
∴△CBE≌△DCG（ASA），
∴BE＝GC；
【小问2详解】
解：①补全图形如图2所示：
②BE＋EC＝CG；
证明：如图2，过点D作DT⊥EC交CB于点T，则△CBE≌△DCT，
∴CE＝DT，BE＝CT，
∵CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF，
∴∠G＋∠FCG＝∠CDT＋∠FDT，
∵∠FCG＝∠CDT，
∴∠G＝∠TDG，
∴GT＝DT＝EC，
∴CG＝GT＋CT＝CE＋BE，
即BE＋EC＝CG．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
26. 综合与实践课上，同学们开展了以“折叠”为主题的探究活动，如图1，已知矩形纸片，其中，．
（1）动手实践
如图1，将矩形纸片折叠，点A落在边上的M处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形和四边形，则四边形的形状为______，四边形的形状为______；
（2）探索发现
如图2，将图1中的四边形剪下，取边上一点E，使，将沿折叠得到，延长交于点F．
求证：．
（3）反思提升
如图3，将图2中的剪下，折叠使点M落在直线上的点，折痕分别交和于点H、G．若是直角三角形，请直接写出的长．
【答案】（1）正方形；矩形
（2）见解析 （3）或．
【解析】
【分析】（1）先判定四边形是矩形，再由，得出四边形是正方形，由三个角是直角的四边形是矩形，得出四边形是矩形；
（2）连接，证明，即可证明结论；
（3）分点在和的延长线上两种情况讨论，利用勾股定理得出方程，求得结果即可．
【小问1详解】
解：四边形是矩形，
∴，，
由折叠可知，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；
，
四边形为矩形；
故答案为：正方形；矩形；
小问2详解】
证明：连接，
四边形是矩形，
，
由折叠知，，，
，
，
，，，
，，
得，
，
，
，
又，
，
；
【小问3详解】
解：当点在上时，时，
设，
，
，
，，
由（2）可知，，
，，
，，，
，
解得（舍去），，
，
当点在延长线上时，
当时，
，
，
解得：或（舍去），
，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，掌握这些知识点是解题的关键．