河北省保定市部分高中2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

这是一份河北省保定市部分高中2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，在中，角的对边分别为，若，则，已知事件两两互斥，若，则等内容，欢迎下载使用。

1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知的三个顶点分别为，且，则（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
3.若是空间的一个基底，则下列向量不共面的为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（ ）
A.1 B.2 C.3 D.
5.续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时续航的重要路径之一.某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重4.21克的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行.为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名参赛学生的成绩依次为，则这组数据的上四分位数（也叫第75百分位数）为（ ）
A.93 B.92 C.91.5 D.93.5
6.在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A.6 B.4 C.3 D.2
7.某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知圆锥在正方体内，，且垂直于圆锥的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题为真命题的有（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则或
D.若相交，则
10.已知事件两两互斥，若，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知厚度不计的容器是由半径为，圆心角为的扇形以一条最外边的半径为轴旋转得到的，下列几何体中，可以放入该容器中的有（ ）
A.棱长为的正方体
B.底面半径和高均为的圆锥
C.棱长均为的四面体
D.半径为的球
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.《九章算术》中将正四棱台称为方亭，现有一方亭，体积为13，则该方亭的高是__________.
13.在空间直角坐标系中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
14.在中，点在边上，，则的外接圆的半径为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.已知样本中休育锻炼时间在内的学生有10人.
（1）求频率分布直方图中和的值；
（2）估计样本数据的中位数和平均数（求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.
16.（15分）
在中，角的对边分别是，已知.
（1）证明：.
（2）若的面积为1，求.
17.（15分）
如图，在四棱锥中，已知底面是边长为的菱形，，且平面，垂足为.
（1）证明：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（17分）
在正四棱柱中，已知，点分别在棱上，且四点共面，.
（1）若，记平面与底面的交线为，证明：.
（2）若，记四边形的面积为，求的最小值.
19.（17分）
给定平面上一个图形，以及图形上的点，如果对于上任意的点，为与无关的定值，我们就称为关于图形的一组稳定向量基点.
（1）已知为图形，判断点是不是关于图形的一组稳定向量基点；
（2）若图形是边长为2的正方形，是它的4个顶点，为该正方形上的动点，求的取值范围；
（3）若给定单位圆及其内接正2024边形为该单位圆上的任意一点，证明是关于圆的一组稳定向量基点，并求的值.
高二数学考试参考答案
1.C 因为，所以.
2.D 因为，所以，解得.
3.B 因为，所以共面；是空间的一个基底，假设共面，则存在不全为零的实数，使得，即，则，无解，故不共面；因为，所以共面；因为，所以共面.
4.A .
5.D 8名学生的成绩从低到高依次为，且，故上四分位数为.
6.B 因为，所以，由余弦定理可得，即，故.
7.B 设第次拨号拨对号码.拨号不超过两次就拨对号码可表示为，所以拨号不超过两次就拨对号码的概率为.
8.C 如图所示，取的中点，分别记为，，连接.
根据正方体的性质易知六边形为正六边形，此时的中点为该正六边形的中心，且平面，当圆锥底面内切于正六边形时，该圆锥的底面积最大.
设此时圆锥的底面圆半径为，因为，所以，
所以，圆锥的底面积，圆锥的高，
所以圆锥的体积.
9.BC 对于A，若，则直线可能相交或平行或异面，故A错误.
对于B，若，则，故B正确.
对于C，若，则或，故C正确.
对于D，若相交，则或与相交，故D错误.
10.BCD 因为事件两两互斥，所以，故A错误.由，得，故B正确.
由，得，故D正确.
因为，所以C正确.
11.AC 设扇形所在圆的半径为，对于A，设正方体的棱长为，如图1，则可容纳的最长对角线，解得，故A正确.
对于C，如图2，取三段圆弧的中点，则四面体的棱长均为2m，所以可以容纳，故C正确.
对于B，如图2，同选项C的分析，的外接圆半径为，所以不可以容纳，故B错误.
对于D，如图3，4，设球的半径为，其中图4是图3按正中间剖开所得的轴截面，可知圆与圆内切，，解得，所以不可以容纳，故D错误.
12.3 设正四棱台的高为.因为，所以方亭的体积，解得.
13. 依题意可得，则，故异面直线与所成角的余弦值为.
14. 设，因为，所以.
由，得，
即，又，所以，即，又，所以，所以，则，
所以，所以，则外接圆的半径.
15.解：（1）由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在[50，60）内的频率为，
则，
由各组频率之和为1，可知，解得.
（2）前3组的频率之和为
前4组的频率之和为，所以样本数据的中位数在第4组，设为，
所以，解得，估计样本数据的中位数是72分钟.
估计平均数是分钟.
16.（1）证明：因为，
所以，即.
根据，得，所以，
由正弦定理得，所以，从而.
（2）解：由（1）可得.
因为的面积为1，
所以，解得.
又，所以由余弦定理得.
17.（1）证明：连接，因为平面，
所以.
又四边形是菱形，，所以是正三角形，
所以.
由，得是正三角形，.
所以，即.
由平面，可得.
因为，所以平面.
（2）解：以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.
因为，所以，
则.设是平面的一个法向量，由得取，可得.
设直线与平面所成的角为，
则，即直线与平面所成角的正弦值为.
18.（1）证明：连接，因为，
所以，则.
在正四棱柱中，易知，所以四边形是平行四边形，从而.
又平面，所以平面.
又平面，平面平面，所以.
（2）解：易证四边形为平行四边形.以为坐标原点，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.
，
则，
，
，化简可得.
因为，所以，整理得.
由，可得.
，易知
在上单调递减，所以当时，，当且仅当时，取得最小值.
19.解：（1）点不是关于的一组稳定向量基点.
理由如下：
当与重合时，有，
当与重合时，有，
故不是关于的一组稳定向量基点.
（2）因为，
所以，
当与重合时，取得最大值，
当与重合时，取得最小值0，
所以的取值范围为.
（3）设单位圆的圆心为，
所以
因为多边形是正2024边形，所以
又，所以，故是关于圆的一组稳定向量基点，且.
.