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数学九年级下册28.1 锐角三角函数优秀单元测试课后练习题
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这是一份数学九年级下册28.1 锐角三角函数优秀单元测试课后练习题，文件包含第二十八章锐角三角函数单元测试原卷版docx、第二十八章锐角三角函数单元测试解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
1．（2023上·山东淄博·九年级山东省淄博第十五中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，下列结论正确的是（ ）
A．AC=BC⋅tanAB．AB=AC⋅csAC．AC=AB⋅sinAD．AC=BC⋅tanB
【答案】D
【分析】根据直角三角形中三角函数的求法得出答案．
【详解】解：A、tanA=BCAC，则BC=AC⋅tanA，故此选项不符合题意；
B、csA=ACAB，则AC=AB⋅csA，故此选项不符合题意；
C、sinA=BCAB，则BC=AB⋅sinA，故此选项不符合题意；
D、tanB=ACBC，则AC=BC⋅tanB，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查锐角三角函数的定义（锐角为自变量，以比值为函数值的函数），熟记锐角三角函数的求法是解题的关键．
2．（2023上·河北邢台·九年级统考期中）把△ABC各边的长度都扩大4倍得到△A'B'C'，其中A'与A是对应顶点，则锐角A'的余弦值比锐角A的余弦值（ ）
A．扩大4倍B．保持不变C．缩小4倍D．扩大2倍
【答案】B
【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意可知∠A大小不变，即得出锐角A的余弦值保持不变．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍，
∴各角的大小不变，即∠A大小不变．
∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，
∴锐角A的余弦值保持不变．
故选B．
3．（2020·广东深圳·统考二模）在△ABC中，若csA=32，则∠A的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】A
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
【详解】解：∵csA=32=cs30°，
∴∠A的度数是30°；
故选A．
4．（2023上·上海宝山·九年级统考期中）已知平面直角坐标系xOy中，第一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α，点P在射线OA上，如果csα=45且OP=5，那么点P的坐标是（ ）
A．3,4B．4,3C．3,5D．5,3
【答案】B
【分析】本题考查了锐角三角函数；过点P作PH⊥x轴于点H，根据“锐角的邻边与斜边的比叫做该锐角的余弦”可得OH=4，再由勾股定理求出PH=3，即可．
【详解】解：如图，过点P作PH⊥x轴于点H，
∵csα=45且OP=5，
∴OHOP=OH5=45，
解得：OH=4，
∴PH=OP2-OH2=3，
∴点P的坐标是4,3．
故选：B
5．（2023上·山东潍坊·九年级校考阶段练习）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若a=10，S△ABC=5033，则∠A=（ ）
A．60°B．30°C．45°D．75°
【答案】A
【分析】利用直角三角形的面积可得AC=1033，再结合锐角的正切可得答案．
【详解】解：如图，∵a=10，即BC=10，
∵S△ABC=5033，
∴12×10AC=5033，
∴AC=1033，
∴tan∠A=BCAC=10×3103=3，
∴∠A=60°，
故选A
【点睛】本题考查的是利用锐角的正切求解锐角的大小，熟记锐角的正切的含义是解本题的关键．
6．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=10，点B在直线l上，若矩形ABCD的周长为28，点A到直线l的距离AE的长为6，则点C到直线l的距离CF的长为（ ）
A．125B．165C．245D．325
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质，同角的余角相等，解直角三角形，勾股定理等知识．利用矩形性质求出BC的长，利用锐角三角函数求出BF的长，再利用勾股定理即可求出最后结果，其中证明∠ABE=∠BCF是解题关键．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB，AD=BC，∠ABC=90°，
∵AB=10，且矩形ABCD的周长为28，
∴2BC+2×10=28，
解得：BC=4，
∵AE⊥l于点E，CF⊥l于点F，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE=∠BCF=90°-∠FBC，
∵BFBC=sin∠BCF=sin∠ABE=AEAB，AB=10，AE=6，
∴BF=AE⋅BCAB=6×410=125，
∴CF=BC2-BF2=42-1252=165，
点C到直线l的距离CF的长为165，
故选:B．
7．（2023上·山东济南·九年级统考期中）电线杆AB直立在水平的地面BC上，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC=5，∠ACB=52°，则拉线AC的长为（ ）
A．5tan52°B．5cs52°C．5⋅cs52°D．5sin52°
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形的应用．根据锐角三角函数的定义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：在Rt△ABC中，BC=5，∠ACB=52°，
则：AC=5cs52°；
故选B．
8．（2023下·九年级课时练习）王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（ ）．
A．503mB．100mC．1003mD．200m
【答案】C
【详解】如图，过点A作AD⊥BC，交BC于点D．在Rt△ABD中，∠ABD=60°，sin∠ABD=100×32=503(m)，BD=AB⋅AD=AB⋅cs∠ABD=100×12=50(m)，CD=BC-BD=150(m),AC=CD2+AD2=1003(m)．
【易错点分析】不会画图，“A地沿北偏西60°方向”应该在A地建立方向坐标，“B地向正南方向”应该在B地建立方向坐标，要根据需要建立方向坐标．
9．（2023上·福建福州·九年级校联考期中）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是( )
A．3,-3B．-3,3C．3,-3D．-1,2+3
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识如图，过点B'作B' H⊥y轴于H．解直角三角形求出OH，B'H即可．
【详解】解：如图，过点B'作B' H⊥y轴于H．
∵∠AOB=∠B=30°，OA=2．
∴AB=OA=2
∵旋转，
∴A'B'=AB=2
在Rt△A'B'H中，A'H=A'B'cs60°=1，B'H=A'B'sin60°=3，
∴OH=2+1=3，
∴B' -3,3，
故选：B．
10．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十二中学校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△BCD沿射线BD平移a个单位长度（a>0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的值为（ ）
A．75或165B．2或165C．85或165D．75或3
【答案】A
【分析】分两种情况：①如图1，∠D'AB'=90°，②如图2，∠AB'D'=90°，分别作辅助线，构建相似三角形，证明三角形相似列比例式可得对应a的值．
【详解】分两种情况：
①如图1，∠D'AB'=90°，延长C'B'交AB于G，过点D'作D'H⊥AB，交BA的延长线于H，
∴∠H=∠AGB'=∠BGB'=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠C=90°，AD=BC=3，
∵tan∠ABD=ADAB=B'GBG，即B'GBG=34，
设B'G=3x，BG=4x，
∴BB'=a=5x，
由平移得：DD'=BB'=5x，
∴D'H=3+3x，AH=BG=4x，
∴AG=AB-BG=4-4x，
∵∠D'AB'=∠HAD'+∠BAB'=90°，
∠AD'H+∠HAD'=90°，
∴∠AD'H=∠GAB'，
∵∠H=∠AGB'=90°，
∴ △D'HA∽△AGB'，
∴ D'HAG=AHB'G，即3+3x4-4x=4x3x，
∴x=725，
∴a=5×725=75；
②如图2，∠AB'D'=90°，延长C'B'交AB于M，则C'M⊥AB，
∴∠AMB'=90°，
由平移得：B'C'=BC=3，
同理设B'M=3m，BM=4m，则BB'=a=5m，
∴AM=4-4m，
∵∠AB'M+∠D'B'C'=90°，∠MAB'+∠AB'M=90°，
∴∠D'B'C'=∠MAB'，
∵∠C'=∠AMB'=90°，
∴ △D'C'B'∽△B'MA，
∴ C'D'MB'=B'C'AM，即43m=34-4m，
∴m=1625，
∴a=5m=5×1625=165；
综上，a的值是75或165．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平移的性质、勾股定理、三角函数、三角形相似的性质和判定、直角三角形的性质等知识点；解题关键是画出两种情况的图形，依题意进行分类讨论．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）如图，在一坡度i=1∶3的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了10米，则木箱升高了 米．
【答案】5
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−−坡度坡角问题，设木箱升高了x米，根据坡度的概念用x表示出木箱前进的水平距离，再根据勾股定理计算即可得到答案，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
【详解】解：设木箱升高了x米，
∵斜坡的坡度为i=1∶3，
∴木箱前进的水平距离为3x米，
由勾股定理得x2+3x2=102，
解得x=5（负值舍去），
故答案为：5．
12．（2023上·湖南衡阳·九年级校联考期中）在△ABC中，若2sinA-1+22-csB=0，则∠C= ．
【答案】105°/105度
【分析】本题考查了绝对值的非负性，非负数的性质，特殊角三角函数值，三角形内角和定理，利用非负数和为零得出2sinA-1=0，22-csB=0，求出∠A、∠B度数，再由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵2sinA-1+22-csB=0
∴2sinA-1=0，22-csB=0，
∴sinA=12，csB=22，
∴∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=105°．
故答案为：105°．
13．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）计算：4sin45°-2tan60°⋅sin30°的值为 ．
【答案】22-3/-3+22
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，代入特殊角的三角函数值进行计算，即可求解．
【详解】解：4sin45°-2tan60°⋅sin30°
=4×22-2×3×12
=22-3
故答案为：22-3．
14．（2023上·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校考阶段练习）在△ABC中，AB=15，BC=14，S△ABC=84，则tanC= ．
【答案】125 或 1223
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理等知识，分类讨论：当点A在A1处时，过A1点作A1M⊥BC于点M，利用面积求出A1M=12，进而可得BM=A1B2-A1M2=9，则有CM=BC-BM=5，此时问题得解；当点A在A2处时，过A2点作A2M⊥BC于点M，同理作答即可．
【详解】如图，
当点A在A1处时，过A1点作A1M⊥BC于点M，
∵BC=14，S△ABC=84，
∴S△ABC=12×BC×A1M=84，
∴A1M=12，
∵AB=15，
∴BM=A1B2-A1M2=9，
∴CM=BC-BM=5，
∴tan∠A1CM=A1MCM=125；
当点A在A2处时，过A2点作A2M⊥BC于点M，
同理可得A2N=12，
∴BN=A2B2-A2N2=9，
∴CN=CB+BN=23，
∴tan∠A2CN=A2NCN=1223，
故答案为：125 或 1223．
15．（2023·广东河源·统考三模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC,CD上，且∠EAF=45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．下列结论：①BM2+DN2=MN2； ②若F是CD的中点，则tan∠AEF=2；③连接MF，则△AMF为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是 （把你认为所有正确的都填上）．
【答案】①③/③①
【分析】将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，可得∠EAF=∠HAF=45°，根据正方形的性质证明△AMN≌△AHN(SAS)，在Rt△NDH中，由勾股定理HN2=DH2+DN2，即可证明①；
过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，由（1）同理可得△AEF≌△AGF，△ABE≌△ADG，设DF=x, BE=DG=y，
则可表示出设CF、CE、EF，在Rt△EFC中，由勾股定理可得x=32y，设x=3m，则y=2m，即可证明②；
根据条件可证明△AMN∽△DFN，进而证明△ADN∽△MFN，即可证明③．
【详解】解：①将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠HAF=45°，
∵△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，
∴AH=AM,BM=DH，∠ABM=∠ADH=45°，
又∵AN=AN，
∴△AMN≌△AHN(SAS)，
∴MN=HN，
而∠NDH=∠ADB+∠ADH=45°+45°=90°，
在Rt△NDH中，HN2=DH2+DN2，
∴BM2+DN2=MN2，故①正确；
②过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，如图：
由（1）同理可得△AEF≌△AGF，△ABE≌△ADG，
∴EF=GF=DF+DG=DF+BE,∠AEF=∠G，
设DF=x, BE=DG=y，
∵F是CD的中点，
则CF=x,CD=BC=AD=2x,EF=x+y,CE=BC-BE=2x-y，
在Rt△EFC中，CE2+CF2=EF2，
∴(2x-y)2+x2=(x+y)2，
解得x=32y，
设x=3m，则y=2m，
∴AD=2x=6m, DG=2m，
在Rt△ADG中，tan∠G=ADDG=6m2m=3，
∴tan∠AEF=3，故②不正确；
③∵∠MAN=∠NDF=45°，∠ANM=∠DNF，
∴△AMN∽△DFN，
∴ANDN=MNFN，
∴ANMN=DNFN，
∵∠AND=∠FNM，
∴△ADN∽△MFN，
∴∠MFN=∠ADN=45°，
∴∠MAF=∠MFA=45°，
∴△AMF为等腰直角三角形，故③正确，
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定定理和正确作辅助线是解决此类题的关键．
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．（2023上·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期中）计算：
(1)2sin60°+12-2+2-3-9-tan45° ；
(2)2cs45°-tan30°⋅sin60°+20230．
【答案】(1)2；
(2)32．
【分析】(1)根据特殊角三角函数值，再用负整数幂、算术平方根、绝对值化简，然后根据实数的运算，即可得答案；
(2)根据特殊角三角函数值，零整数幂运算，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案；
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
【详解】（1）解：原式=2×32+4+2-3-3-1；
=3+4+2-3-3-1，
=2；
（2）解：原式=2×22-33×32+1，
=1-12+1，
=32．
17．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）先化简，再求代数式1+1x-2÷x2-12x-4的值，其中x=sin45°-2sin30°．
【答案】2x+1，22
【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，先根据分式的运算法则把所给分式化简，然后把x化简后代入计算．
【详解】解：原式=x-2x-2+1x-2÷x2-12x-2
=x-1x-2×2x-2x+1x-1
=2x+1，
∵x=sin45°-2sin30°=22-2×12=22-1，
∴原式=222-1+1=22．
18．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)如果AB=15，∠A=60°，求BC的长；
(2)如果AB=15，tanA=34，求BC的长．
【答案】(1)BC=1532
(2)BC=9
【分析】本题考查解直角三角形；
（1）根据正弦函数的定义和60度角的正弦值求解即可；
（2）根据正切函数的定义和勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sin∠A=BCAB，
∵∠A=60°，AB=15，
∴sin60°=BC15=32，
∴BC=1532；
（2）解：Rt△ABC中，tanA=34 =BCAC，设BC=3k,AC=4k
则AB=5k，
∵AB=15，
∴k=3，
∴BC=3k=9．
19．（2023上·吉林长春·九年级校考期中）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，其顶点称为格点，点A、B．都在格点，上，只用无刻度的直尺，分别在网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，以AB为斜边画直角△ABC（点C在格点上），使得 tan∠ABC=23
(2)在图②中，以AB为一直角边画等腰直角△ABD（点D在格点上）． 使得∠A=90°．
(3)在图③中，以AB为一直角边画△ABE（点E在格点上）， 在AE上取点F， 使得 tan∠ABF=25
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）找到2×3的格点顶点C，即可求解；
（2）根据勾股定理与网格的特点找到格点D，使得∠BAD=90°,AB=AD；
（3）根据网格的特点找到点F，使得AFFE=23，则tan∠ABF=AFAB=AFAE=25，点F即为所求；
【详解】（1）解：如图所示，点C即为所求；
（2）解：如图所示，点D即为所求；
（3）解：如图所示，找到点F，使得AFFE=23，则tan∠ABF=AFAB=AFAE=25，点F即为所求；
【点睛】本题考查了勾股定理与网格，求正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握三角函数的定义，勾股定理与网格，相似三角形的性质与判定是解题的关键．
20．（2023上·海南海口·九年级海南华侨中学校考期中）如图，在一个坡角位40°的斜坡上有一棵树BC，树高4米．当太阳光AC与水平线成70°角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段AB．
(1)∠CAB=______°，∠ACB=______°；
(2)求树影AB的长．（结果保留一位小数）（参考数据：sin20°≈0.34，tan20°≈0.36，tan30°≈0.58，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin70°≈0.94，tan70°≈2.75）
【答案】(1)30，20；
(2)2.7米
【分析】（1）根据平行线的性质以及邻补角即可求解；
（2）本题可通过构造直角三角形来解答，过B点作BD⊥AC，D为垂足，在直角三角形BCD中，已知BC的长，可求∠BCD的度数，那么可求出BD的长，在直角三角形ABD中，可求∠DAB=30°，前面又得到了BD的长，那么就可求出AB的长．
【详解】（1）解：如图，
∵CH∥AM,
∴∠MAC=∠GCH=70°,
∴∠CAB=∠CAH-∠MAH=70°-40°=30°,
∵∠ACB+∠BCH+∠GCH=180°,∠BCH=90°,∠GCH=70°,
∴∠ACB=20°；
故答案为：30，20；
（2）解：过B点作BD⊥AC，D为垂足，
在直角三角形BCD中，∠BCD=20°，
BD=BC⋅sin20°=4×0.34=1.36米，
在直角三角形ABD中，∠DAB=30°，
AB=BD÷sin30°=1.36÷ 12≈2.7米．
答：树影AB的长约为2.7米．
【点睛】本题考查了邻补角定义，解直角三角形，30度直角三角形的性质以及平行线的性质，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
21．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=23，以BC的中点E为圆心画MPN与AD相切，切点为P，点M，N分别在AB与CD上，求扇形EMN的面积．
【答案】4π3
【分析】本题考查的是矩形的性质与判定，锐角三角函数的应用，扇形面积的计算；如图，连接PE,证明四边形ABEP, 四边形PECD都为矩形，可得扇形半径为2，再求解∠MEB,∠NEC,∠MEN,再利用扇形的面积公式进行计算即可.
【详解】解：如图，连接PE,
∵扇形的弧MPN与AD相切，
∴PE⊥AD,
∵ 矩形ABCD,
∴ 四边形ABEP, 四边形PECD都为矩形，
∴扇形半径ME=PE=NE=AB=2．
在矩形ABCD中，AD=BC=23，E为BC的中点，
∴在Rt△BME中，BE=12AD=3．
∵cs∠MEB=BEME=32，
∴∠MEB=30°，
同理：∠NEC=30°,
∴ ∠MEN=180°-2∠MEB=120°．
∴S阴影=120π×22360=4π3．
22．（2023上·宁夏银川·九年级校考期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒0
(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
(2)连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【答案】(1)t=1或3241
(2)t=78
【分析】（1）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP:BA=BQ:BC；②当△BPQ∽△BCA时，BP:BC=BQ:BA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC:CM=CQ:MP，代入计算即可．
【详解】（1）解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴根据勾股定理得：AB=AC2+BC2=62+82=10cm，
①当△BPQ∽△BAC时，BPBA=BQBC，
∵BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，
∴5t10=8-4t8，
解得，t=1；
②当△BPQ∽△BCA时，BPBC=BQBA，
∴5t8=8-4t10，
解得，t＝3241；
∴t=1或3241时，△BPQ与△ABC相似；
（2）解：过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：
则PB=5t，
∵sin∠B=PMBP=ACAB，
∴PM5t=610，
解得：PM=3t，
∴BM=BP2-PM2=4t，
∴MC=8-4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM，
∵∠ACQ=∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴ACCM=CQMP，
∴68-4t=4t3t，
解得：t=78．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
23．（2023上·河北邢台·九年级统考期中）如图1所示，已知点O到直线l的距离OP为4，OA=2，点B在直线l上，AB=3，让OA绕点O从OP开始顺时针旋转角α（α>0°）到某一位置时，AB将会跟随出现到相应的位置．
(1)当点B与点P重合时，判断AB与AO是否垂直，并说明理由；
(2)点A到直线l距离最大时，求α的大小；
(3)设AB的中点M，连接MP，求MP的最大值；
(4)如图2，当点A在OP的上方时，若∠BAO=120°，直接写出α的正切值；
【答案】(1)AB与AO不垂直，理由见解析
(2)α=60°
(3)MP=36510
(4)5337
【分析】（1）分别求出AB2，OA2，OP2，利用勾股定理的逆定理即可判断；
（2）当AB⊥l时，点A到直线1距离最大；过点A作AH⊥OP于M，可证四边形ABPH是矩形；求出csα=OHOA即可求解α的大小；
（3）当O、A、M在一条直线上时，MP最大，过M作MN⊥OP于N，可证△BPO∽△MNO，根据MP=MN2+NP2即可求解；
（4）延长OA交直线l于点D，过点B作BE⊥OD，连接OB，证△BFP∽△OFE即可求解．
【详解】（1）解：AB与AO不垂直，理由如下：
AB2=9，OA2=4，OP2=16
AB2+OA2≠OP2，
∴∠A≠90°，即AB与AO不垂直；
（2）解：当AB⊥l时，点A到直线l距离最大，
过点A作AH⊥OP于M，如图所示：
∵∠ABP=∠BPH=∠AHP=90°
∴四边形ABPH是矩形，
∴PH=AB=3，
∴OH=1，
∵OA=2，
∴csα=OHOA=12，
∴α=60°；
（3）解：当O、A、M在一条直线上时，MP最大；
过M作MN⊥OP于N，如图所示：
∵OB=5，OP=4，
∴BP=BO2-OP2=3，
∵∠MNO=∠BPO=90°，
∴BP∥MN，
∴△BPO∽△MNO，
∴BPMN=BOMO=POON，即：3MN=532+2=4ON，
∴MN=2110，ON=145，
∴NP=OP-ON=65，
∴MP=MN2+NP2=36510；
（4）解：延长OA交直线l于点D，过点B作BE⊥OD于E，连接OB，如图所示：
∵∠BAO=120°，
∴∠BAE=60°，
∵AB=3，
∴AE=AB×cs60°=32,BE=AB×sin60°=323，
∴OE=AE+AO=72，
∴OB=OE2+BE2=19，
∵OP=4，
∴BP=OB2-OP2=3，
∵∠BEO=∠BPO=90°,∠BEP=∠OFE，
∴△BFP∽△OFE，
∴PFEF=BFOF=BPOE=372，
∴PF=237EF,BFOF=332-EF4-PF=237，
∴EF=35743，
∴tanα=EFOE=5337．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、三角函数、相似三角形的判定与性质，综合性较强．作出正确的辅助线是解题关键．
1．（2023上·山东淄博·九年级山东省淄博第十五中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，下列结论正确的是（ ）
A．AC=BC⋅tanAB．AB=AC⋅csAC．AC=AB⋅sinAD．AC=BC⋅tanB
【答案】D
【分析】根据直角三角形中三角函数的求法得出答案．
【详解】解：A、tanA=BCAC，则BC=AC⋅tanA，故此选项不符合题意；
B、csA=ACAB，则AC=AB⋅csA，故此选项不符合题意；
C、sinA=BCAB，则BC=AB⋅sinA，故此选项不符合题意；
D、tanB=ACBC，则AC=BC⋅tanB，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查锐角三角函数的定义（锐角为自变量，以比值为函数值的函数），熟记锐角三角函数的求法是解题的关键．
2．（2023上·河北邢台·九年级统考期中）把△ABC各边的长度都扩大4倍得到△A'B'C'，其中A'与A是对应顶点，则锐角A'的余弦值比锐角A的余弦值（ ）
A．扩大4倍B．保持不变C．缩小4倍D．扩大2倍
【答案】B
【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意可知∠A大小不变，即得出锐角A的余弦值保持不变．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍，
∴各角的大小不变，即∠A大小不变．
∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，
∴锐角A的余弦值保持不变．
故选B．
3．（2020·广东深圳·统考二模）在△ABC中，若csA=32，则∠A的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】A
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
【详解】解：∵csA=32=cs30°，
∴∠A的度数是30°；
故选A．
4．（2023上·上海宝山·九年级统考期中）已知平面直角坐标系xOy中，第一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α，点P在射线OA上，如果csα=45且OP=5，那么点P的坐标是（ ）
A．3,4B．4,3C．3,5D．5,3
【答案】B
【分析】本题考查了锐角三角函数；过点P作PH⊥x轴于点H，根据“锐角的邻边与斜边的比叫做该锐角的余弦”可得OH=4，再由勾股定理求出PH=3，即可．
【详解】解：如图，过点P作PH⊥x轴于点H，
∵csα=45且OP=5，
∴OHOP=OH5=45，
解得：OH=4，
∴PH=OP2-OH2=3，
∴点P的坐标是4,3．
故选：B
5．（2023上·山东潍坊·九年级校考阶段练习）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若a=10，S△ABC=5033，则∠A=（ ）
A．60°B．30°C．45°D．75°
【答案】A
【分析】利用直角三角形的面积可得AC=1033，再结合锐角的正切可得答案．
【详解】解：如图，∵a=10，即BC=10，
∵S△ABC=5033，
∴12×10AC=5033，
∴AC=1033，
∴tan∠A=BCAC=10×3103=3，
∴∠A=60°，
故选A
【点睛】本题考查的是利用锐角的正切求解锐角的大小，熟记锐角的正切的含义是解本题的关键．
6．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=10，点B在直线l上，若矩形ABCD的周长为28，点A到直线l的距离AE的长为6，则点C到直线l的距离CF的长为（ ）
A．125B．165C．245D．325
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质，同角的余角相等，解直角三角形，勾股定理等知识．利用矩形性质求出BC的长，利用锐角三角函数求出BF的长，再利用勾股定理即可求出最后结果，其中证明∠ABE=∠BCF是解题关键．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB，AD=BC，∠ABC=90°，
∵AB=10，且矩形ABCD的周长为28，
∴2BC+2×10=28，
解得：BC=4，
∵AE⊥l于点E，CF⊥l于点F，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE=∠BCF=90°-∠FBC，
∵BFBC=sin∠BCF=sin∠ABE=AEAB，AB=10，AE=6，
∴BF=AE⋅BCAB=6×410=125，
∴CF=BC2-BF2=42-1252=165，
点C到直线l的距离CF的长为165，
故选:B．
7．（2023上·山东济南·九年级统考期中）电线杆AB直立在水平的地面BC上，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC=5，∠ACB=52°，则拉线AC的长为（ ）
A．5tan52°B．5cs52°C．5⋅cs52°D．5sin52°
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形的应用．根据锐角三角函数的定义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：在Rt△ABC中，BC=5，∠ACB=52°，
则：AC=5cs52°；
故选B．
8．（2023下·九年级课时练习）王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（ ）．
A．503mB．100mC．1003mD．200m
【答案】C
【详解】如图，过点A作AD⊥BC，交BC于点D．在Rt△ABD中，∠ABD=60°，sin∠ABD=100×32=503(m)，BD=AB⋅AD=AB⋅cs∠ABD=100×12=50(m)，CD=BC-BD=150(m),AC=CD2+AD2=1003(m)．
【易错点分析】不会画图，“A地沿北偏西60°方向”应该在A地建立方向坐标，“B地向正南方向”应该在B地建立方向坐标，要根据需要建立方向坐标．
9．（2023上·福建福州·九年级校联考期中）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是( )
A．3,-3B．-3,3C．3,-3D．-1,2+3
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识如图，过点B'作B' H⊥y轴于H．解直角三角形求出OH，B'H即可．
【详解】解：如图，过点B'作B' H⊥y轴于H．
∵∠AOB=∠B=30°，OA=2．
∴AB=OA=2
∵旋转，
∴A'B'=AB=2
在Rt△A'B'H中，A'H=A'B'cs60°=1，B'H=A'B'sin60°=3，
∴OH=2+1=3，
∴B' -3,3，
故选：B．
10．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十二中学校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△BCD沿射线BD平移a个单位长度（a>0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的值为（ ）
A．75或165B．2或165C．85或165D．75或3
【答案】A
【分析】分两种情况：①如图1，∠D'AB'=90°，②如图2，∠AB'D'=90°，分别作辅助线，构建相似三角形，证明三角形相似列比例式可得对应a的值．
【详解】分两种情况：
①如图1，∠D'AB'=90°，延长C'B'交AB于G，过点D'作D'H⊥AB，交BA的延长线于H，
∴∠H=∠AGB'=∠BGB'=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠C=90°，AD=BC=3，
∵tan∠ABD=ADAB=B'GBG，即B'GBG=34，
设B'G=3x，BG=4x，
∴BB'=a=5x，
由平移得：DD'=BB'=5x，
∴D'H=3+3x，AH=BG=4x，
∴AG=AB-BG=4-4x，
∵∠D'AB'=∠HAD'+∠BAB'=90°，
∠AD'H+∠HAD'=90°，
∴∠AD'H=∠GAB'，
∵∠H=∠AGB'=90°，
∴ △D'HA∽△AGB'，
∴ D'HAG=AHB'G，即3+3x4-4x=4x3x，
∴x=725，
∴a=5×725=75；
②如图2，∠AB'D'=90°，延长C'B'交AB于M，则C'M⊥AB，
∴∠AMB'=90°，
由平移得：B'C'=BC=3，
同理设B'M=3m，BM=4m，则BB'=a=5m，
∴AM=4-4m，
∵∠AB'M+∠D'B'C'=90°，∠MAB'+∠AB'M=90°，
∴∠D'B'C'=∠MAB'，
∵∠C'=∠AMB'=90°，
∴ △D'C'B'∽△B'MA，
∴ C'D'MB'=B'C'AM，即43m=34-4m，
∴m=1625，
∴a=5m=5×1625=165；
综上，a的值是75或165．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平移的性质、勾股定理、三角函数、三角形相似的性质和判定、直角三角形的性质等知识点；解题关键是画出两种情况的图形，依题意进行分类讨论．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）如图，在一坡度i=1∶3的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了10米，则木箱升高了 米．
【答案】5
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−−坡度坡角问题，设木箱升高了x米，根据坡度的概念用x表示出木箱前进的水平距离，再根据勾股定理计算即可得到答案，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
【详解】解：设木箱升高了x米，
∵斜坡的坡度为i=1∶3，
∴木箱前进的水平距离为3x米，
由勾股定理得x2+3x2=102，
解得x=5（负值舍去），
故答案为：5．
12．（2023上·湖南衡阳·九年级校联考期中）在△ABC中，若2sinA-1+22-csB=0，则∠C= ．
【答案】105°/105度
【分析】本题考查了绝对值的非负性，非负数的性质，特殊角三角函数值，三角形内角和定理，利用非负数和为零得出2sinA-1=0，22-csB=0，求出∠A、∠B度数，再由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵2sinA-1+22-csB=0
∴2sinA-1=0，22-csB=0，
∴sinA=12，csB=22，
∴∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=105°．
故答案为：105°．
13．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）计算：4sin45°-2tan60°⋅sin30°的值为 ．
【答案】22-3/-3+22
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，代入特殊角的三角函数值进行计算，即可求解．
【详解】解：4sin45°-2tan60°⋅sin30°
=4×22-2×3×12
=22-3
故答案为：22-3．
14．（2023上·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校考阶段练习）在△ABC中，AB=15，BC=14，S△ABC=84，则tanC= ．
【答案】125 或 1223
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理等知识，分类讨论：当点A在A1处时，过A1点作A1M⊥BC于点M，利用面积求出A1M=12，进而可得BM=A1B2-A1M2=9，则有CM=BC-BM=5，此时问题得解；当点A在A2处时，过A2点作A2M⊥BC于点M，同理作答即可．
【详解】如图，
当点A在A1处时，过A1点作A1M⊥BC于点M，
∵BC=14，S△ABC=84，
∴S△ABC=12×BC×A1M=84，
∴A1M=12，
∵AB=15，
∴BM=A1B2-A1M2=9，
∴CM=BC-BM=5，
∴tan∠A1CM=A1MCM=125；
当点A在A2处时，过A2点作A2M⊥BC于点M，
同理可得A2N=12，
∴BN=A2B2-A2N2=9，
∴CN=CB+BN=23，
∴tan∠A2CN=A2NCN=1223，
故答案为：125 或 1223．
15．（2023·广东河源·统考三模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC,CD上，且∠EAF=45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．下列结论：①BM2+DN2=MN2； ②若F是CD的中点，则tan∠AEF=2；③连接MF，则△AMF为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是 （把你认为所有正确的都填上）．
【答案】①③/③①
【分析】将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，可得∠EAF=∠HAF=45°，根据正方形的性质证明△AMN≌△AHN(SAS)，在Rt△NDH中，由勾股定理HN2=DH2+DN2，即可证明①；
过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，由（1）同理可得△AEF≌△AGF，△ABE≌△ADG，设DF=x, BE=DG=y，
则可表示出设CF、CE、EF，在Rt△EFC中，由勾股定理可得x=32y，设x=3m，则y=2m，即可证明②；
根据条件可证明△AMN∽△DFN，进而证明△ADN∽△MFN，即可证明③．
【详解】解：①将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠HAF=45°，
∵△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，
∴AH=AM,BM=DH，∠ABM=∠ADH=45°，
又∵AN=AN，
∴△AMN≌△AHN(SAS)，
∴MN=HN，
而∠NDH=∠ADB+∠ADH=45°+45°=90°，
在Rt△NDH中，HN2=DH2+DN2，
∴BM2+DN2=MN2，故①正确；
②过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，如图：
由（1）同理可得△AEF≌△AGF，△ABE≌△ADG，
∴EF=GF=DF+DG=DF+BE,∠AEF=∠G，
设DF=x, BE=DG=y，
∵F是CD的中点，
则CF=x,CD=BC=AD=2x,EF=x+y,CE=BC-BE=2x-y，
在Rt△EFC中，CE2+CF2=EF2，
∴(2x-y)2+x2=(x+y)2，
解得x=32y，
设x=3m，则y=2m，
∴AD=2x=6m, DG=2m，
在Rt△ADG中，tan∠G=ADDG=6m2m=3，
∴tan∠AEF=3，故②不正确；
③∵∠MAN=∠NDF=45°，∠ANM=∠DNF，
∴△AMN∽△DFN，
∴ANDN=MNFN，
∴ANMN=DNFN，
∵∠AND=∠FNM，
∴△ADN∽△MFN，
∴∠MFN=∠ADN=45°，
∴∠MAF=∠MFA=45°，
∴△AMF为等腰直角三角形，故③正确，
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定定理和正确作辅助线是解决此类题的关键．
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．（2023上·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期中）计算：
(1)2sin60°+12-2+2-3-9-tan45° ；
(2)2cs45°-tan30°⋅sin60°+20230．
【答案】(1)2；
(2)32．
【分析】(1)根据特殊角三角函数值，再用负整数幂、算术平方根、绝对值化简，然后根据实数的运算，即可得答案；
(2)根据特殊角三角函数值，零整数幂运算，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案；
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
【详解】（1）解：原式=2×32+4+2-3-3-1；
=3+4+2-3-3-1，
=2；
（2）解：原式=2×22-33×32+1，
=1-12+1，
=32．
17．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）先化简，再求代数式1+1x-2÷x2-12x-4的值，其中x=sin45°-2sin30°．
【答案】2x+1，22
【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，先根据分式的运算法则把所给分式化简，然后把x化简后代入计算．
【详解】解：原式=x-2x-2+1x-2÷x2-12x-2
=x-1x-2×2x-2x+1x-1
=2x+1，
∵x=sin45°-2sin30°=22-2×12=22-1，
∴原式=222-1+1=22．
18．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)如果AB=15，∠A=60°，求BC的长；
(2)如果AB=15，tanA=34，求BC的长．
【答案】(1)BC=1532
(2)BC=9
【分析】本题考查解直角三角形；
（1）根据正弦函数的定义和60度角的正弦值求解即可；
（2）根据正切函数的定义和勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sin∠A=BCAB，
∵∠A=60°，AB=15，
∴sin60°=BC15=32，
∴BC=1532；
（2）解：Rt△ABC中，tanA=34 =BCAC，设BC=3k,AC=4k
则AB=5k，
∵AB=15，
∴k=3，
∴BC=3k=9．
19．（2023上·吉林长春·九年级校考期中）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，其顶点称为格点，点A、B．都在格点，上，只用无刻度的直尺，分别在网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，以AB为斜边画直角△ABC（点C在格点上），使得 tan∠ABC=23
(2)在图②中，以AB为一直角边画等腰直角△ABD（点D在格点上）． 使得∠A=90°．
(3)在图③中，以AB为一直角边画△ABE（点E在格点上）， 在AE上取点F， 使得 tan∠ABF=25
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）找到2×3的格点顶点C，即可求解；
（2）根据勾股定理与网格的特点找到格点D，使得∠BAD=90°,AB=AD；
（3）根据网格的特点找到点F，使得AFFE=23，则tan∠ABF=AFAB=AFAE=25，点F即为所求；
【详解】（1）解：如图所示，点C即为所求；
（2）解：如图所示，点D即为所求；
（3）解：如图所示，找到点F，使得AFFE=23，则tan∠ABF=AFAB=AFAE=25，点F即为所求；
【点睛】本题考查了勾股定理与网格，求正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握三角函数的定义，勾股定理与网格，相似三角形的性质与判定是解题的关键．
20．（2023上·海南海口·九年级海南华侨中学校考期中）如图，在一个坡角位40°的斜坡上有一棵树BC，树高4米．当太阳光AC与水平线成70°角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段AB．
(1)∠CAB=______°，∠ACB=______°；
(2)求树影AB的长．（结果保留一位小数）（参考数据：sin20°≈0.34，tan20°≈0.36，tan30°≈0.58，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin70°≈0.94，tan70°≈2.75）
【答案】(1)30，20；
(2)2.7米
【分析】（1）根据平行线的性质以及邻补角即可求解；
（2）本题可通过构造直角三角形来解答，过B点作BD⊥AC，D为垂足，在直角三角形BCD中，已知BC的长，可求∠BCD的度数，那么可求出BD的长，在直角三角形ABD中，可求∠DAB=30°，前面又得到了BD的长，那么就可求出AB的长．
【详解】（1）解：如图，
∵CH∥AM,
∴∠MAC=∠GCH=70°,
∴∠CAB=∠CAH-∠MAH=70°-40°=30°,
∵∠ACB+∠BCH+∠GCH=180°,∠BCH=90°,∠GCH=70°,
∴∠ACB=20°；
故答案为：30，20；
（2）解：过B点作BD⊥AC，D为垂足，
在直角三角形BCD中，∠BCD=20°，
BD=BC⋅sin20°=4×0.34=1.36米，
在直角三角形ABD中，∠DAB=30°，
AB=BD÷sin30°=1.36÷ 12≈2.7米．
答：树影AB的长约为2.7米．
【点睛】本题考查了邻补角定义，解直角三角形，30度直角三角形的性质以及平行线的性质，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
21．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=23，以BC的中点E为圆心画MPN与AD相切，切点为P，点M，N分别在AB与CD上，求扇形EMN的面积．
【答案】4π3
【分析】本题考查的是矩形的性质与判定，锐角三角函数的应用，扇形面积的计算；如图，连接PE,证明四边形ABEP, 四边形PECD都为矩形，可得扇形半径为2，再求解∠MEB,∠NEC,∠MEN,再利用扇形的面积公式进行计算即可.
【详解】解：如图，连接PE,
∵扇形的弧MPN与AD相切，
∴PE⊥AD,
∵ 矩形ABCD,
∴ 四边形ABEP, 四边形PECD都为矩形，
∴扇形半径ME=PE=NE=AB=2．
在矩形ABCD中，AD=BC=23，E为BC的中点，
∴在Rt△BME中，BE=12AD=3．
∵cs∠MEB=BEME=32，
∴∠MEB=30°，
同理：∠NEC=30°,
∴ ∠MEN=180°-2∠MEB=120°．
∴S阴影=120π×22360=4π3．
22．（2023上·宁夏银川·九年级校考期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒0
(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
(2)连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【答案】(1)t=1或3241
(2)t=78
【分析】（1）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP:BA=BQ:BC；②当△BPQ∽△BCA时，BP:BC=BQ:BA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC:CM=CQ:MP，代入计算即可．
【详解】（1）解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴根据勾股定理得：AB=AC2+BC2=62+82=10cm，
①当△BPQ∽△BAC时，BPBA=BQBC，
∵BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，
∴5t10=8-4t8，
解得，t=1；
②当△BPQ∽△BCA时，BPBC=BQBA，
∴5t8=8-4t10，
解得，t＝3241；
∴t=1或3241时，△BPQ与△ABC相似；
（2）解：过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：
则PB=5t，
∵sin∠B=PMBP=ACAB，
∴PM5t=610，
解得：PM=3t，
∴BM=BP2-PM2=4t，
∴MC=8-4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM，
∵∠ACQ=∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴ACCM=CQMP，
∴68-4t=4t3t，
解得：t=78．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
23．（2023上·河北邢台·九年级统考期中）如图1所示，已知点O到直线l的距离OP为4，OA=2，点B在直线l上，AB=3，让OA绕点O从OP开始顺时针旋转角α（α>0°）到某一位置时，AB将会跟随出现到相应的位置．
(1)当点B与点P重合时，判断AB与AO是否垂直，并说明理由；
(2)点A到直线l距离最大时，求α的大小；
(3)设AB的中点M，连接MP，求MP的最大值；
(4)如图2，当点A在OP的上方时，若∠BAO=120°，直接写出α的正切值；
【答案】(1)AB与AO不垂直，理由见解析
(2)α=60°
(3)MP=36510
(4)5337
【分析】（1）分别求出AB2，OA2，OP2，利用勾股定理的逆定理即可判断；
（2）当AB⊥l时，点A到直线1距离最大；过点A作AH⊥OP于M，可证四边形ABPH是矩形；求出csα=OHOA即可求解α的大小；
（3）当O、A、M在一条直线上时，MP最大，过M作MN⊥OP于N，可证△BPO∽△MNO，根据MP=MN2+NP2即可求解；
（4）延长OA交直线l于点D，过点B作BE⊥OD，连接OB，证△BFP∽△OFE即可求解．
【详解】（1）解：AB与AO不垂直，理由如下：
AB2=9，OA2=4，OP2=16
AB2+OA2≠OP2，
∴∠A≠90°，即AB与AO不垂直；
（2）解：当AB⊥l时，点A到直线l距离最大，
过点A作AH⊥OP于M，如图所示：
∵∠ABP=∠BPH=∠AHP=90°
∴四边形ABPH是矩形，
∴PH=AB=3，
∴OH=1，
∵OA=2，
∴csα=OHOA=12，
∴α=60°；
（3）解：当O、A、M在一条直线上时，MP最大；
过M作MN⊥OP于N，如图所示：
∵OB=5，OP=4，
∴BP=BO2-OP2=3，
∵∠MNO=∠BPO=90°，
∴BP∥MN，
∴△BPO∽△MNO，
∴BPMN=BOMO=POON，即：3MN=532+2=4ON，
∴MN=2110，ON=145，
∴NP=OP-ON=65，
∴MP=MN2+NP2=36510；
（4）解：延长OA交直线l于点D，过点B作BE⊥OD于E，连接OB，如图所示：
∵∠BAO=120°，
∴∠BAE=60°，
∵AB=3，
∴AE=AB×cs60°=32,BE=AB×sin60°=323，
∴OE=AE+AO=72，
∴OB=OE2+BE2=19，
∵OP=4，
∴BP=OB2-OP2=3，
∵∠BEO=∠BPO=90°,∠BEP=∠OFE，
∴△BFP∽△OFE，
∴PFEF=BFOF=BPOE=372，
∴PF=237EF,BFOF=332-EF4-PF=237，
∴EF=35743，
∴tanα=EFOE=5337．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、三角函数、相似三角形的判定与性质，综合性较强．作出正确的辅助线是解题关键．
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