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数学九年级下册29.1 投影优秀测试题
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这是一份数学九年级下册29.1 投影优秀测试题，文件包含第二十九章投影与视图知识清单原卷版docx、第二十九章投影与视图知识清单解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
1）以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；
2）通过讨论简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化，经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力；
3) 通过制作立体模型的学习，在实际动手中进一步加深对投影和识图知识的认识，加强在实践活动中动手动脑理论结合实际的能力.
重点：
1）理解平行投影和中心投影的特征；
2）从投影的角度加深对三视图概念的理解；会画简单几何体及其组合的三视图.
难点：
在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影；正确画出各种几何体与组合体的三视图.
二、学习过程
章节介绍
本章的视图部分是“丰富的图形世界”内容的继续学习和深化.本章进一步对特殊的几何体-圆柱、圆锥、球、直三棱柱和直四棱柱的三种视图进行识别并能画出其三种视图.而视图与平行投影又有着密切的联系，在特殊位置下物体的投影便是物体的三种视图.而视点、视线又与中心投影和射线密切相关.在视图部分，学生由各种实物的形状而想象出圆柱、圆锥、球、直三棱柱和直四棱柱形，能画出这些几何体的三种视图，并能实现这些几何体与其三视图的相互转化，是空间观念形成的一个重要的方面.教科书从学生的生活经验出发，借助于实物，先让学生抽象出其几何体，然后再尝试画出其三种视图.
知识梳理
一、投影的概念：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
二、平行投影的概念：由平行光线所形成的投影称为平行投影.
三、中心投影的概念：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影.
四、平行投影与中心投影的联系与区别：
五、正投影的概念：如果投射线垂直于投影面，那么这种投影称为正投影.
六、物体正投影的投影规律：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同，并且物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.
七、被观察物体三视图之间的关系：
1）主视图和俯视图的长要相等；
2）主视图和左视图的高要相等；
3）左视图和俯视图的宽要相等.
口诀：主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等.
八、画三视图的具体方法：
1）确定主视图的位置，画出主视图；
2）在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图长对正；
3）在主视图正右方画出左视图，注意与主视图高平齐，与俯视图宽相等；
4）为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中用细点划线表示对称轴.
【注意】在画视图时，看得见部分的轮廓要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线.
九、 已知三视图想象立体图形的方法：
由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体图形．再根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个方向的尺寸.
十、 由三视图求立体图形的面积（体积）的方法：
1）先根据给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、宽、高.
2）将立体图形展开成一个平面图形 (展开图)，观察它的组成部分.
3）最后根据已知数据，求出展开图的面积（体积）.
考点解读
考查题型一 平行投影
1．（2023上·江苏扬州·九年级校考期中）小王的身高是1.6m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度约为（ ）m
A．2.4B．3.6C．4.8D．7.2
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设这棵树的高度为xm，根据同一时刻物体的高度和物体的影长成比例建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设这棵树的高度为xm，
∵同一时刻，物高与影长成正比例，
∴，
解得x=4.8，
∴设这棵树的高度为4.8m，
故选C．
2．（2023上·河北邢台·九年级邢台三中校联考期中）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为62.8m．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子AB长为23m（直线AB过底面圆心），则：
（1）小山包的半径为 m；
（2）小山包的高为 m．（π取3.14）
【答案】 10 33
【分析】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为AC的长进行求解．根据平行投影，即可得相似三角形，那么可得到DC=AC，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高．
【详解】连接EF，过D作DC⊥AB于C，
由题意可知，△ACD∽△EGF
∴EGFG=ACDC=1
∵圆锥底面周长为62.8m．
∴C=2π⋅BC=62.8m，解得BC=10m，
∵AB=23m,
∴DC=AC=AB+BC=23+10=33(m)
∴小山包的高为33m．
故答案为：10，33．
考查题型二 中心投影
1．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）下列哪种影子不是中心投影（ ）
A．月光下房屋的影子B．晚上在房间内墙上的手影
C．都市冤虹灯形成的影子D．皮影戏中的影子
【答案】A
【分析】本题考查中心投影，由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，由此即可判断．关键是掌握中心投影定义．
【详解】解：晚上在房间内墙上的手影，都市冤虹灯形成的影子，皮影戏中的影子，是中心投影，
月光下房屋的影子是平行投影，不是中心投影．
故选：A．
3．（2023上·江西抚州·九年级江西省抚州市第一中学校考期中）如图，某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD顶端的影子刚好落Q处．
(1)请在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF；
(2)若AB=5米，CD=3米，CD到PQ的距离DQ的长为2米，求此时木杆AB的影长．
【答案】(1)见解析
(2)103米
【分析】本题考查的是平行投影，掌握平行投影的性质是解题的关键．
（1）根据木杆CD的影子刚好不落在广告墙上，连接点C与点Q即可画出此时的太阳光线CE，根据太阳光线是平行的，可以画出木杆AB的影子AF；
（2）设木杆AB的影长为x米，根据在同一时刻，物高与影子成比例即可得到5x=34，从而可求出影长．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）解：设AB的影长BF为x米 ，根据题意可得
CDDE=ABBF，即32=5x，
∴x=103．
答：木杆AB的影长是103米．
2．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．
(1)此光源下形成的投影属于______；（填“平行投影”或“中心投影”）
(2)已知树高AB为2m，树影BC为3m，树与路灯的水平距离BP为4.5m．求路灯的高度OP．
【答案】(1)中心投影；
(2)5m．
【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
（1）由中心投影的定义确定答案即可；
（2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解．
【详解】（1）∵此光源属于点光源，
∴此光源下形成的投影属于中心投影，
故答案为：中心投影；
（2）∵AB⊥CP，PO⊥PC，
∴OP∥AB，
∴△ABC∽△OPC，
∴ ABOP=BCPC，
即：2OP=33+4.5，
解得：OP=5m，
∴路灯的高度为5米．
3．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）如图，灯杆CD上挂有一盏灯，小颖和爸爸站在灯下，线段AB表示小颖的影子．
(1)请通过画图，确定灯杆上灯泡O所在的位置；
(2)请你在图中画出表示爸爸影子的线段EF．
【答案】(1)图形见解析
(2)图形见解析
【分析】（1）过小颖影子的顶端A和头部顶端作直线，交CD于O，则点O即为灯泡所在的位置；
（2）过灯泡O和爸爸头部顶端作直线交直线AB于F，设爸爸所在点为E，则线段EF即为爸爸影子的线段．本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握中心投影的性质．
【详解】（1）过小颖影子的顶端A和头部顶端作直线，交CD于O，则点O即为灯泡所在的位置，如图：
（2）如上图，过灯泡O和爸爸头部顶端作直线交直线AB于F，设爸爸所在点为E，则线段EF即为爸爸影子的线段．
4．（2023上·陕西西安·九年级西安市西光中学校联考阶段练习）如图，在地面上竖直安装着AB、CD、EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BG与DH．作出立柱EF在此光源下所形成的影子．
【答案】见解析
【分析】本题考查了中心投影的定义，根据已知立柱的影子确认光源的位置是解题关键．
【详解】解：如图，连接GA、HC，并延长相交于点O，则点O就是光源，再连接OE，并延长与地面相交，交点为I，则FI为立柱EF在此光源下所形成的影子．
考查题型三 正投影
1．（2023下·全国·九年级专题练习）把一个正六棱柱如图水平放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正投影的特点及图中正六棱柱的摆放位置即可直接得出答案．
【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是矩形．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正投影的性质，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形．
2．（2023下·浙江·九年级专题练习）如图，若正三棱柱看不见的一个侧面与投影面平行，则这个正三棱柱的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意知三棱柱后侧面平行于投影面，再从前向后对几何体正投影可得答案．
【详解】解：根据题意，三棱柱后侧面与投影面平行，
则该三棱柱的正投影即主视图是：
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查正投影，判断正投影的投影面和几何体的摆放位置是关键．
3．（2022上·九年级单元测试）如图，已知线段AB=2cm，投影面为P．
(1)当AB垂直于投影面P时（如图①），请画出线段AB的正投影；
(2)当AB平行于投影面P时（如图②），请画出它的正投影，并求出正投影的长；
(3)在（2）的基础上，点A不动，线段AB绕点A在垂直于投影面P的平面内逆时针旋转30°，请在图③中画出线段AB的正投影，并求出其正投影的长．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析，线段AB的正投影的长为2cm
(3)画图见解析，线段AB的正投影的长为3cm
【分析】（1）根据投影的作图方法作图即可；
（2）根据投影的作图方法先作图，再根据平行投影的性质即可得到A'B'=AB=2cm；
（3）根据投影的作图方法先作图，再在Rt△ABD中求出AD的长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图①所示，即为所求；
（2）解：如图②所示，即为所求；
∵AB平行于投影面P，
∴A'B'=AB=2cm；
（3）解：如图③所示，即为所求；
由题意得A'B'=AD，∠ADB=90°，∠BAD=30°，AB=2cm，
∴AD=AB⋅cs∠BAD=3cm．
【点睛】本题主要考查了投影，解直角三角形，正确对应线段的投影是解题的关键．
考查题型四 判断简单几何体三视图
1．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）如图所示是一个钢块零件，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据几何体的三视图的画法画出它的左视图即可，看不见的棱，要用虚线，不能用实线．
【详解】解：这个几何体的左视图如下：
故选：D．
2．（2023上·山东青岛·九年级校考期中）如图所示的是一个封闭的几何体，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题主要考查组合体的三视图，根据简单组合体的三视图得出结论即可．
【详解】解：三视图中，被遮挡的部分要用虚线表示，
由题意知，该几何体的俯视图为
故选：D．
3．（2023上·江西抚州·九年级江西省抚州市第一中学校考期中）如图所示的工件的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了俯视图，根据俯视图是从上面看到的图形，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：工件的俯视图是“ ”．
故选：C．
考查题型五 判断非实心物体三视图
1．（2023·山东威海·统考一模）如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【详解】该几何体的左视图如图所示：
故选：D．
【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．注意：被遮挡的线条需要用虚线表示．
2．（2023·山西太原·校联考二模）水盂是文房第五宝，古时用于给砚池添水，如图是清晚时期六方水盂，则它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合图形，根据主视图的含义即可得出答案．
【详解】解：结合图形知，可看到外面正六棱柱的4条棱，里面的圆柱的主视图是矩形，但因在内部看不到，故应用虚线，所以该几何体的主视图如下图：
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图，注意：内部看不到的部分用虚线．
3．（2022·安徽合肥·统考一模）如图所示是一个放在水平面上的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得答案．
【详解】从正面看是一个上下平行，左右大肚子的图形，故排除A、D；
由于几何体中部是空的，主视图需要画虚线．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
考查题型六 画简单组合体三视图
1．（2023上·广东佛山·七年级西樵中学校联考期中）如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体，请你画出这个几何体的三种视图．
【答案】见解析
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的特点是解题的关键．根据主视图、左视图、俯视图的定义即可得到结果．
【详解】解：如图，
2．（2023上·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考期中）如图是由8个相同的小立方体组成的一个几何体
(1)画出从左面看、上面看的形状图
(2)现量得小立方体的棱长为3cm，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积．
【答案】(1)作图见详解
(2)涂上颜色部分的总面积为9×29=201(cm2)
【分析】（1）根据三视图的特点即可求解；
（2）根据图示，找出露在外面需要涂色的正方形，根据正方形面积的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，
左视图：
俯视图：
（2）解：小立方体的棱长为3cm，
∴小立方体的一个面的面积为3×3=9(cm2)，
如图所示，数字表示需要涂色的面的序号，部分数字（8,9,10,11,12,13,24,25）在立体图形的后面，
第一层有：12个；第二层有：12个；第三层有：5个；
∴需要涂色的面有29个，
∴涂上颜色部分的总面积为9×29=201(cm2)．
【点睛】本题主要考查立体图形，掌握立体图形的特殊，小立方体的拼接图示，三视图的特点是解题的关键．
考查题型七 由三视图还原几何体
1．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）如图是某个几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A．圆锥B．长方体C．三棱柱D．圆柱
【答案】D
【分析】此题考查了由三视图判断几何体，关键是熟练掌握三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体是圆柱．
故选：D．
2．（2023上·江苏·七年级专题练习）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键；根据几何体的三视图可直接进行排除选项
【详解】解：∵主视图和左视图是矩形，
∴几何体是柱体，
∵俯视图是圆，
∴该几何体是圆柱，故D正确．
故选：D．
3．（2023上·广东深圳·七年级校考期中）某几何体从三个方向看到的形状图如图所示，该几何体是（ ）．
A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．长方体
【答案】C
【分析】本题考查了由三视图还原几何体，根据由三视图描述几何体，一般先根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状，然后综合起来确定几何体的形状，再根据三个视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个面的尺寸即可求解，熟练掌握由三视图还原几何体的方法是解题的关键．
【详解】解：由题意得：该几何体是三棱柱，
故选C．
4．（2023上·内蒙古包头·九年级校考期中）如图是一个几何体的三视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：dm），可求得它的体积是 dm3．
【答案】240
【分析】本题主要考查了根据三视图求体积，解题的关键是把三视图还原为立体图形．由三视图可知该几何体是四棱柱，其中棱柱的高是10dm，底面是菱形，且菱形的两条对角线的长为8dm，6dm，然后结合菱形面积公式求出底面的面积，再乘以高便可得出该几何体的体积．
【详解】解：该几何体的主视图以及左视图都是矩形，俯视图也为一个菱形，可确定这个几何体是一个四棱柱，
依题意可求出该几何体的体积为12×6×8×10=240dm3．
故答案为：240．
5．（2023上·江西抚州·九年级江西省抚州市第一中学校考期中）已知一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积 ．
【答案】60
【分析】本题考查几何体的三视图，根据视图得出几何体的形状是计算体积的关键．根据三视图，得出这个几何体的性质，再利用体积计算方法进行计算即可．
【详解】解：由三视图知，原几何体是正方体截掉一个底面边长为1，高为4的长方体．
∴V=4×4×4-1×1×4=60，
∴几何体的体积是60．
故答案为：60．
考查题型八 三视图的相关计算
1．（2023上·江苏·七年级专题练习）如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体．
(1)请在下面方格中分别画出从正面、从左面、从上面看到的形状图；
(2)计算这个几何体的表面积．
【答案】(1)见解析
(2)34cm2
【分析】此题考查了从不同方向看图形．
（1）根据简单组合体的从不同方向看图形的画法，画出从正面、上面、左面看该组合体所看到的图形即可；
（2）根据表面积的计算方法求解即可，注意计算表面积，从左边看的时候要多加1个小正方形．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）1×1×（6+5+6）×2＝34（cm2）．
∴这个几何体的表面积为34cm2．
2．（2023上·山东威海·九年级校联考期中）如图①是一种包装盒的平面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．
(1)如图②是根据a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图；
(2)在（1）的条件下，已知h=20cm，求该几何体的表面积．
【答案】(1)见解析；
(2)600+4002(cm2)．
【分析】（1）根据三视图的画法即可画出该几何体的左视图；
（2）根据俯视图和主视图即可求a的值，进而可求该几何体的表面积；
本题考查了作图−三视图、几何体的表面积、展开图折叠成几何体，解题的关键是理解立体图形和平面图形之间的关系．
【详解】（1）如图所示，图中的左视图即为所求；
（2）解：根据俯视图和主视图可知：a2+a2=h2=202，
∴2a2=400，
∴a2=200，
∴a=102，
∴表面积为12×1022×2+2×102×20+202=600+4002(cm2)，
答：该几何体的表面积为600+4002 cm2．
考查题型九 由三视图判断小立方体个数
1．（2023上·全国·七年级专题练习）如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形从三个不同方向看得到的图形，这些相同的小正方体的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】本题考查简单几何的三视图，解题的关键是由图各行各列的小正方体的个数．由俯视图得到有三列，第一行第一列只能有1个正方体，第二列共有3个正方体，第一行第三列有1个正方体即可得到答案．
【详解】解：第一行第一列只能有1个正方体，
第二列共有3个正方体，
第一行第三列有1个正方体，
共需正方体1+3+1=5（个），
故选：B．
2（2023上·广东佛山·七年级西樵中学校联考期中）由若干个相同小正方体搭成的几何体从正面和上面看到的图形如图所示，则构成这个几何体至少需要（ ）个小正方体．
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】本题考查了立体几何中的三视图，灵活运用空间想象能力，掌握对三视图即从上面、左面、正面观察图形的特点是解答本题的关键．
由从正面看的图形得到：这个几何体共有2层，由从上面看的图形得到：第一层小正方体个数为5，再由从正面看的图形得到：第二层至少有2个小正方体，得到答案．
【详解】解：由从上面看的图形得到：最底层有5个小正方体，再由从正面看的图形得到：第二层至少有2个小正方体，那么构成这个几何体小正方体至少需要5+2=7个．
故选：C．
3．（2023上·江西抚州·七年级校联考期中）桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有 个．
【答案】13
【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可．解决本题的关键是利用“主视图疯狂盖，左视图拆违章”找到所需最多正方体的个数．
【详解】解：依题意，观察主视图和左视图
则底层正方体最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体，
所以组成这个几何体的小正方体的个数最多有13个．
故答案为：13
4．（2023上·山东泰安·六年级统考期中）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体．
(1)这个几何体共有________个小正方体组成．
(2)分别画出这个几何体的三视图．
【答案】(1)10
(2)见详解
【分析】此题主要考查了画三视图的知识；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
（1）从左往右三列小正方体的个数依次为：6,2,2，相加即可；
（2）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3,1,2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3,2,1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3,2,1．据此可画出图形．
【详解】（1）解：6+2+2=10(个)．
故这个几何体由10个小正方体组成．
故答案为：10．
（2）如图所示：
5．（2023上·四川成都·七年级校考阶段练习）下图是由n个小立方体块组成的立体图形的主视图和俯视图，求n的最大值与最小值并画出相应的左视图．
【答案】n的最大值为18，n的最小值为12，左视图见解析
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数，然后画出相应的左视图即可．
【详解】解：由俯视图可知相应的位置至少有1个，
由主视图可得出：最右边这一列每个位置最多有3个，中间这一列每个位置最多有2个，最左边这一列每个位置最多有3个，
故搭建这样的几何体最多用18个小立方体，即n的最大值为18，此时左视图如图；
故搭建这样的几何体最少用12个小立方体，即n的最小值为12，此时左视图如图（左视图答案不唯一）．
【点睛】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数．
1）以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；
2）通过讨论简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化，经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力；
3) 通过制作立体模型的学习，在实际动手中进一步加深对投影和识图知识的认识，加强在实践活动中动手动脑理论结合实际的能力.
重点：
1）理解平行投影和中心投影的特征；
2）从投影的角度加深对三视图概念的理解；会画简单几何体及其组合的三视图.
难点：
在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影；正确画出各种几何体与组合体的三视图.
二、学习过程
章节介绍
本章的视图部分是“丰富的图形世界”内容的继续学习和深化.本章进一步对特殊的几何体-圆柱、圆锥、球、直三棱柱和直四棱柱的三种视图进行识别并能画出其三种视图.而视图与平行投影又有着密切的联系，在特殊位置下物体的投影便是物体的三种视图.而视点、视线又与中心投影和射线密切相关.在视图部分，学生由各种实物的形状而想象出圆柱、圆锥、球、直三棱柱和直四棱柱形，能画出这些几何体的三种视图，并能实现这些几何体与其三视图的相互转化，是空间观念形成的一个重要的方面.教科书从学生的生活经验出发，借助于实物，先让学生抽象出其几何体，然后再尝试画出其三种视图.
知识梳理
一、投影的概念：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
二、平行投影的概念：由平行光线所形成的投影称为平行投影.
三、中心投影的概念：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影.
四、平行投影与中心投影的联系与区别：
五、正投影的概念：如果投射线垂直于投影面，那么这种投影称为正投影.
六、物体正投影的投影规律：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同，并且物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.
七、被观察物体三视图之间的关系：
1）主视图和俯视图的长要相等；
2）主视图和左视图的高要相等；
3）左视图和俯视图的宽要相等.
口诀：主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等.
八、画三视图的具体方法：
1）确定主视图的位置，画出主视图；
2）在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图长对正；
3）在主视图正右方画出左视图，注意与主视图高平齐，与俯视图宽相等；
4）为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中用细点划线表示对称轴.
【注意】在画视图时，看得见部分的轮廓要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线.
九、 已知三视图想象立体图形的方法：
由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体图形．再根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个方向的尺寸.
十、 由三视图求立体图形的面积（体积）的方法：
1）先根据给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、宽、高.
2）将立体图形展开成一个平面图形 (展开图)，观察它的组成部分.
3）最后根据已知数据，求出展开图的面积（体积）.
考点解读
考查题型一 平行投影
1．（2023上·江苏扬州·九年级校考期中）小王的身高是1.6m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度约为（ ）m
A．2.4B．3.6C．4.8D．7.2
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设这棵树的高度为xm，根据同一时刻物体的高度和物体的影长成比例建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设这棵树的高度为xm，
∵同一时刻，物高与影长成正比例，
∴，
解得x=4.8，
∴设这棵树的高度为4.8m，
故选C．
2．（2023上·河北邢台·九年级邢台三中校联考期中）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为62.8m．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子AB长为23m（直线AB过底面圆心），则：
（1）小山包的半径为 m；
（2）小山包的高为 m．（π取3.14）
【答案】 10 33
【分析】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为AC的长进行求解．根据平行投影，即可得相似三角形，那么可得到DC=AC，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高．
【详解】连接EF，过D作DC⊥AB于C，
由题意可知，△ACD∽△EGF
∴EGFG=ACDC=1
∵圆锥底面周长为62.8m．
∴C=2π⋅BC=62.8m，解得BC=10m，
∵AB=23m,
∴DC=AC=AB+BC=23+10=33(m)
∴小山包的高为33m．
故答案为：10，33．
考查题型二 中心投影
1．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）下列哪种影子不是中心投影（ ）
A．月光下房屋的影子B．晚上在房间内墙上的手影
C．都市冤虹灯形成的影子D．皮影戏中的影子
【答案】A
【分析】本题考查中心投影，由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，由此即可判断．关键是掌握中心投影定义．
【详解】解：晚上在房间内墙上的手影，都市冤虹灯形成的影子，皮影戏中的影子，是中心投影，
月光下房屋的影子是平行投影，不是中心投影．
故选：A．
3．（2023上·江西抚州·九年级江西省抚州市第一中学校考期中）如图，某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD顶端的影子刚好落Q处．
(1)请在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF；
(2)若AB=5米，CD=3米，CD到PQ的距离DQ的长为2米，求此时木杆AB的影长．
【答案】(1)见解析
(2)103米
【分析】本题考查的是平行投影，掌握平行投影的性质是解题的关键．
（1）根据木杆CD的影子刚好不落在广告墙上，连接点C与点Q即可画出此时的太阳光线CE，根据太阳光线是平行的，可以画出木杆AB的影子AF；
（2）设木杆AB的影长为x米，根据在同一时刻，物高与影子成比例即可得到5x=34，从而可求出影长．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）解：设AB的影长BF为x米 ，根据题意可得
CDDE=ABBF，即32=5x，
∴x=103．
答：木杆AB的影长是103米．
2．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．
(1)此光源下形成的投影属于______；（填“平行投影”或“中心投影”）
(2)已知树高AB为2m，树影BC为3m，树与路灯的水平距离BP为4.5m．求路灯的高度OP．
【答案】(1)中心投影；
(2)5m．
【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
（1）由中心投影的定义确定答案即可；
（2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解．
【详解】（1）∵此光源属于点光源，
∴此光源下形成的投影属于中心投影，
故答案为：中心投影；
（2）∵AB⊥CP，PO⊥PC，
∴OP∥AB，
∴△ABC∽△OPC，
∴ ABOP=BCPC，
即：2OP=33+4.5，
解得：OP=5m，
∴路灯的高度为5米．
3．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）如图，灯杆CD上挂有一盏灯，小颖和爸爸站在灯下，线段AB表示小颖的影子．
(1)请通过画图，确定灯杆上灯泡O所在的位置；
(2)请你在图中画出表示爸爸影子的线段EF．
【答案】(1)图形见解析
(2)图形见解析
【分析】（1）过小颖影子的顶端A和头部顶端作直线，交CD于O，则点O即为灯泡所在的位置；
（2）过灯泡O和爸爸头部顶端作直线交直线AB于F，设爸爸所在点为E，则线段EF即为爸爸影子的线段．本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握中心投影的性质．
【详解】（1）过小颖影子的顶端A和头部顶端作直线，交CD于O，则点O即为灯泡所在的位置，如图：
（2）如上图，过灯泡O和爸爸头部顶端作直线交直线AB于F，设爸爸所在点为E，则线段EF即为爸爸影子的线段．
4．（2023上·陕西西安·九年级西安市西光中学校联考阶段练习）如图，在地面上竖直安装着AB、CD、EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BG与DH．作出立柱EF在此光源下所形成的影子．
【答案】见解析
【分析】本题考查了中心投影的定义，根据已知立柱的影子确认光源的位置是解题关键．
【详解】解：如图，连接GA、HC，并延长相交于点O，则点O就是光源，再连接OE，并延长与地面相交，交点为I，则FI为立柱EF在此光源下所形成的影子．
考查题型三 正投影
1．（2023下·全国·九年级专题练习）把一个正六棱柱如图水平放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正投影的特点及图中正六棱柱的摆放位置即可直接得出答案．
【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是矩形．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正投影的性质，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形．
2．（2023下·浙江·九年级专题练习）如图，若正三棱柱看不见的一个侧面与投影面平行，则这个正三棱柱的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意知三棱柱后侧面平行于投影面，再从前向后对几何体正投影可得答案．
【详解】解：根据题意，三棱柱后侧面与投影面平行，
则该三棱柱的正投影即主视图是：
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查正投影，判断正投影的投影面和几何体的摆放位置是关键．
3．（2022上·九年级单元测试）如图，已知线段AB=2cm，投影面为P．
(1)当AB垂直于投影面P时（如图①），请画出线段AB的正投影；
(2)当AB平行于投影面P时（如图②），请画出它的正投影，并求出正投影的长；
(3)在（2）的基础上，点A不动，线段AB绕点A在垂直于投影面P的平面内逆时针旋转30°，请在图③中画出线段AB的正投影，并求出其正投影的长．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析，线段AB的正投影的长为2cm
(3)画图见解析，线段AB的正投影的长为3cm
【分析】（1）根据投影的作图方法作图即可；
（2）根据投影的作图方法先作图，再根据平行投影的性质即可得到A'B'=AB=2cm；
（3）根据投影的作图方法先作图，再在Rt△ABD中求出AD的长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图①所示，即为所求；
（2）解：如图②所示，即为所求；
∵AB平行于投影面P，
∴A'B'=AB=2cm；
（3）解：如图③所示，即为所求；
由题意得A'B'=AD，∠ADB=90°，∠BAD=30°，AB=2cm，
∴AD=AB⋅cs∠BAD=3cm．
【点睛】本题主要考查了投影，解直角三角形，正确对应线段的投影是解题的关键．
考查题型四 判断简单几何体三视图
1．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）如图所示是一个钢块零件，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据几何体的三视图的画法画出它的左视图即可，看不见的棱，要用虚线，不能用实线．
【详解】解：这个几何体的左视图如下：
故选：D．
2．（2023上·山东青岛·九年级校考期中）如图所示的是一个封闭的几何体，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题主要考查组合体的三视图，根据简单组合体的三视图得出结论即可．
【详解】解：三视图中，被遮挡的部分要用虚线表示，
由题意知，该几何体的俯视图为
故选：D．
3．（2023上·江西抚州·九年级江西省抚州市第一中学校考期中）如图所示的工件的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了俯视图，根据俯视图是从上面看到的图形，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：工件的俯视图是“ ”．
故选：C．
考查题型五 判断非实心物体三视图
1．（2023·山东威海·统考一模）如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【详解】该几何体的左视图如图所示：
故选：D．
【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．注意：被遮挡的线条需要用虚线表示．
2．（2023·山西太原·校联考二模）水盂是文房第五宝，古时用于给砚池添水，如图是清晚时期六方水盂，则它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合图形，根据主视图的含义即可得出答案．
【详解】解：结合图形知，可看到外面正六棱柱的4条棱，里面的圆柱的主视图是矩形，但因在内部看不到，故应用虚线，所以该几何体的主视图如下图：
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图，注意：内部看不到的部分用虚线．
3．（2022·安徽合肥·统考一模）如图所示是一个放在水平面上的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得答案．
【详解】从正面看是一个上下平行，左右大肚子的图形，故排除A、D；
由于几何体中部是空的，主视图需要画虚线．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
考查题型六 画简单组合体三视图
1．（2023上·广东佛山·七年级西樵中学校联考期中）如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体，请你画出这个几何体的三种视图．
【答案】见解析
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的特点是解题的关键．根据主视图、左视图、俯视图的定义即可得到结果．
【详解】解：如图，
2．（2023上·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考期中）如图是由8个相同的小立方体组成的一个几何体
(1)画出从左面看、上面看的形状图
(2)现量得小立方体的棱长为3cm，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积．
【答案】(1)作图见详解
(2)涂上颜色部分的总面积为9×29=201(cm2)
【分析】（1）根据三视图的特点即可求解；
（2）根据图示，找出露在外面需要涂色的正方形，根据正方形面积的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，
左视图：
俯视图：
（2）解：小立方体的棱长为3cm，
∴小立方体的一个面的面积为3×3=9(cm2)，
如图所示，数字表示需要涂色的面的序号，部分数字（8,9,10,11,12,13,24,25）在立体图形的后面，
第一层有：12个；第二层有：12个；第三层有：5个；
∴需要涂色的面有29个，
∴涂上颜色部分的总面积为9×29=201(cm2)．
【点睛】本题主要考查立体图形，掌握立体图形的特殊，小立方体的拼接图示，三视图的特点是解题的关键．
考查题型七 由三视图还原几何体
1．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）如图是某个几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A．圆锥B．长方体C．三棱柱D．圆柱
【答案】D
【分析】此题考查了由三视图判断几何体，关键是熟练掌握三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体是圆柱．
故选：D．
2．（2023上·江苏·七年级专题练习）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键；根据几何体的三视图可直接进行排除选项
【详解】解：∵主视图和左视图是矩形，
∴几何体是柱体，
∵俯视图是圆，
∴该几何体是圆柱，故D正确．
故选：D．
3．（2023上·广东深圳·七年级校考期中）某几何体从三个方向看到的形状图如图所示，该几何体是（ ）．
A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．长方体
【答案】C
【分析】本题考查了由三视图还原几何体，根据由三视图描述几何体，一般先根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状，然后综合起来确定几何体的形状，再根据三个视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个面的尺寸即可求解，熟练掌握由三视图还原几何体的方法是解题的关键．
【详解】解：由题意得：该几何体是三棱柱，
故选C．
4．（2023上·内蒙古包头·九年级校考期中）如图是一个几何体的三视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：dm），可求得它的体积是 dm3．
【答案】240
【分析】本题主要考查了根据三视图求体积，解题的关键是把三视图还原为立体图形．由三视图可知该几何体是四棱柱，其中棱柱的高是10dm，底面是菱形，且菱形的两条对角线的长为8dm，6dm，然后结合菱形面积公式求出底面的面积，再乘以高便可得出该几何体的体积．
【详解】解：该几何体的主视图以及左视图都是矩形，俯视图也为一个菱形，可确定这个几何体是一个四棱柱，
依题意可求出该几何体的体积为12×6×8×10=240dm3．
故答案为：240．
5．（2023上·江西抚州·九年级江西省抚州市第一中学校考期中）已知一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积 ．
【答案】60
【分析】本题考查几何体的三视图，根据视图得出几何体的形状是计算体积的关键．根据三视图，得出这个几何体的性质，再利用体积计算方法进行计算即可．
【详解】解：由三视图知，原几何体是正方体截掉一个底面边长为1，高为4的长方体．
∴V=4×4×4-1×1×4=60，
∴几何体的体积是60．
故答案为：60．
考查题型八 三视图的相关计算
1．（2023上·江苏·七年级专题练习）如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体．
(1)请在下面方格中分别画出从正面、从左面、从上面看到的形状图；
(2)计算这个几何体的表面积．
【答案】(1)见解析
(2)34cm2
【分析】此题考查了从不同方向看图形．
（1）根据简单组合体的从不同方向看图形的画法，画出从正面、上面、左面看该组合体所看到的图形即可；
（2）根据表面积的计算方法求解即可，注意计算表面积，从左边看的时候要多加1个小正方形．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）1×1×（6+5+6）×2＝34（cm2）．
∴这个几何体的表面积为34cm2．
2．（2023上·山东威海·九年级校联考期中）如图①是一种包装盒的平面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．
(1)如图②是根据a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图；
(2)在（1）的条件下，已知h=20cm，求该几何体的表面积．
【答案】(1)见解析；
(2)600+4002(cm2)．
【分析】（1）根据三视图的画法即可画出该几何体的左视图；
（2）根据俯视图和主视图即可求a的值，进而可求该几何体的表面积；
本题考查了作图−三视图、几何体的表面积、展开图折叠成几何体，解题的关键是理解立体图形和平面图形之间的关系．
【详解】（1）如图所示，图中的左视图即为所求；
（2）解：根据俯视图和主视图可知：a2+a2=h2=202，
∴2a2=400，
∴a2=200，
∴a=102，
∴表面积为12×1022×2+2×102×20+202=600+4002(cm2)，
答：该几何体的表面积为600+4002 cm2．
考查题型九 由三视图判断小立方体个数
1．（2023上·全国·七年级专题练习）如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形从三个不同方向看得到的图形，这些相同的小正方体的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】本题考查简单几何的三视图，解题的关键是由图各行各列的小正方体的个数．由俯视图得到有三列，第一行第一列只能有1个正方体，第二列共有3个正方体，第一行第三列有1个正方体即可得到答案．
【详解】解：第一行第一列只能有1个正方体，
第二列共有3个正方体，
第一行第三列有1个正方体，
共需正方体1+3+1=5（个），
故选：B．
2（2023上·广东佛山·七年级西樵中学校联考期中）由若干个相同小正方体搭成的几何体从正面和上面看到的图形如图所示，则构成这个几何体至少需要（ ）个小正方体．
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】本题考查了立体几何中的三视图，灵活运用空间想象能力，掌握对三视图即从上面、左面、正面观察图形的特点是解答本题的关键．
由从正面看的图形得到：这个几何体共有2层，由从上面看的图形得到：第一层小正方体个数为5，再由从正面看的图形得到：第二层至少有2个小正方体，得到答案．
【详解】解：由从上面看的图形得到：最底层有5个小正方体，再由从正面看的图形得到：第二层至少有2个小正方体，那么构成这个几何体小正方体至少需要5+2=7个．
故选：C．
3．（2023上·江西抚州·七年级校联考期中）桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有 个．
【答案】13
【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可．解决本题的关键是利用“主视图疯狂盖，左视图拆违章”找到所需最多正方体的个数．
【详解】解：依题意，观察主视图和左视图
则底层正方体最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体，
所以组成这个几何体的小正方体的个数最多有13个．
故答案为：13
4．（2023上·山东泰安·六年级统考期中）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体．
(1)这个几何体共有________个小正方体组成．
(2)分别画出这个几何体的三视图．
【答案】(1)10
(2)见详解
【分析】此题主要考查了画三视图的知识；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
（1）从左往右三列小正方体的个数依次为：6,2,2，相加即可；
（2）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3,1,2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3,2,1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3,2,1．据此可画出图形．
【详解】（1）解：6+2+2=10(个)．
故这个几何体由10个小正方体组成．
故答案为：10．
（2）如图所示：
5．（2023上·四川成都·七年级校考阶段练习）下图是由n个小立方体块组成的立体图形的主视图和俯视图，求n的最大值与最小值并画出相应的左视图．
【答案】n的最大值为18，n的最小值为12，左视图见解析
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数，然后画出相应的左视图即可．
【详解】解：由俯视图可知相应的位置至少有1个，
由主视图可得出：最右边这一列每个位置最多有3个，中间这一列每个位置最多有2个，最左边这一列每个位置最多有3个，
故搭建这样的几何体最多用18个小立方体，即n的最大值为18，此时左视图如图；
故搭建这样的几何体最少用12个小立方体，即n的最小值为12，此时左视图如图（左视图答案不唯一）．
【点睛】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数．
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