湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题（原卷版）

这是一份湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题（原卷版），共4页。试卷主要包含了考试结束后，只交答题卡等内容，欢迎下载使用。

潘圆（江华一中） 陈诗跃（永州一中）
审题人：席俊雄（永州市教科院）
注意事项：
1．本试卷共150分，考试时量120分钟．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
3．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数的共轭复数是（ ）
A B. C. D.
3. 已知，且与不共线，则“向量与垂直”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 函数在点处的切线方程是（ ）
A B.
C. D.
5. 已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（ ）
A. B. C. D.
6. 在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是（ ）
A. 38B. 42C. 50D. 56
7. 已知数列an满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知为随机事件，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若相互独立，则
B. 若相互独立，则
C. 若两两独立，则
D. 若互斥，则
10. 已知点，圆，则（ ）
A. 圆与圆公共弦所在直线的方程为
B. 直线与圆总有两个交点
C 圆上任意一点都有
D. 是的等差中项，直线与圆交于两点，当最小时，的方程为
11. 在边长为1的正方体中，分别为棱的中点，为正方形的中心，动点平面，则（ ）
A. 正方体被平面截得的截面面积为
B. 若，则点的轨迹长度为
C. 若，则的最小值为
D. 将正方体的上底面绕点旋转，对应连接上、下底面各顶点，得到一个侧面均为三角形的十面体，则该十面体的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在的展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为__________________.
13. 已知为锐角，且，则______．
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上的点在轴上方，若的平分线交于点，且点在以坐标原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若的面积为，求．
16. 如图，在三棱锥中，，，点在棱上，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17. 已知椭圆的短轴长为，右焦点为.
（1）求椭圆标准方程；
（2）已知过点的直线与椭圆交于两点，过点且与垂直的直线与抛物线交于两点，求四边形的面积的取值范围.
18. 已知函数，，．
（1）若，求的极值；
（2）当时，讨论零点个数；
（3）当时，，求实数的取值范围．
19. 将数字任意排成一列，如果数字恰好在第个位置上，则称有一个巧合，巧合的个数称为巧合数，记为．例如时，2，1，3，4为可能的一个排列，此时．的排列称为全错位排列，并记数字的全错位排列种数为．
（1）写出的值，并求的分布列；
（2）求；
（3）求．