安徽省安徽师范大学附属中学2025届高三上学期9月第一次测试数学试题（解析版）

这是一份安徽省安徽师范大学附属中学2025届高三上学期9月第一次测试数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了 若集合，，则， 函数的图象大致形状是， 已知随机事件，满足，，，则， 下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。

2024.9.4
全卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合，，则（ ）
A B. [0，1]
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得集合，，再求其并集即可．
【详解】由，得，故，
由，得，故，
故．
故选：D．
2. 已知复数，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. -2D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】求出，再根据纯虚数概念得解.
【详解】由已知，复数为纯虚数，
所以得.
故选：A.
3. 函数的图象大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可得函数为偶函数，可排除CD，然后根据时的函数值可排除B.
【详解】因为，定义域为R，
又，
所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除CD，
又当时，，，故排除B.
故选：A.
4. 若，且．则（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二倍角公式以及诱导公式化简得，进而根据齐次式以及弦切互化即可求解.
【详解】由 得 ，
进而得，化简得： ，所以或，
由于，所以，故，
故选：C
5. 已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设Ax1,y1，Bx2,y2，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而求出动点的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出的取值范围.
【详解】即，则圆心为，半径，
直线，令，解得，即直线恒过定点1,0，
又，所以点1,0在圆内，
设Ax1,y1，Bx2,y2，，由，
消去整理得，显然，则，
则，
所以，，
则，
则，
又直线的斜率不为，所以不过点1,0，
所以动点的轨迹方程为（除点1,0外），
圆的圆心为，半径，
又，所以，
即，即的取值范围为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键是求出动点的轨迹，再求出圆心到原点的距离，最后根据圆的几何性质计算可得.
6. 已知随机事件，满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知结合条件概率公式，即可得出，进而推得.即可根据条件概率公式，得出答案.
【详解】由已知可得，.
因为，
所以，.
又,
所以，.
又，
所以，.
故选：A.
7. 已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程.
【详解】因为，所以，
联立可解得，所以，所以.
所以曲线y=fx在点处的切线方程为，
故所求的切线方程为.
故选：C.
8. 是双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，点在轴上，满足，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量加法运算法则，结合平行四边形的性质可确定以为邻边的平行四边形为菱形，得到，结合双曲线定义可求得，利用余弦定理可构造的齐次方程，从而求得离心率.
【详解】
设，则，
是以为邻边的平行四边形的一条对角线，
又，为的角平分线，
以为邻边的平行四边形为菱形，，
由双曲线定义知：，，，
在中，由余弦定理得：，
双曲线的离心率.
故选：D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8
B. 若随机变量，且，则
C. 若随机变量，且，则
D. 对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，根据百分位数的定义求解判断即可；对于B，根据二项分布的均值和方差求解即可判断；对于C，根据正态分布的性质求解即可判断；对于D，结合线性回归方程的定义即可判断.
【详解】对于A，将10次射击成绩从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9.
因为，所以这组数据的第70百分位数为，故A错误；
对于B，由，
则，即，
则，故B正确；
对于C，因为，
则，
所以，故C正确；
对于D，数据可能都不在回归直线上，故D错误.
故选：BC.
10. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ）
A. 为等比数列
B. 的通项公式为
C. 为递增数列
D. 的前n项和
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据已知证明为定值即可判断A；由A选项结合等比数列的通项即可判断B；作差判断的符号即可判断C；利用分组求和法即可判断D.
【详解】因为，
所以+3，所以，
又因为，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；
，即，故B正确；
因为，
因为，所以，
所以，所以为递减数列，故C错误；
，
则，故D正确.
故选：ABD.
11. 1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，设定点，，其中，动点满足（且为常数），化简可得曲线：，则（ ）
A. 原点在曲线的内部
B. 曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形
C. 若，则的最大值为
D. 若，则存在点，使得
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，将原点坐标代入方程判断，对于B，对曲线方程以代，代进行判断，对于C，利用曲线方程求出的取值范围，结合两点间的距离公式进行判断，对于D，若存在点，使得，然后由化简计算即可判断.
【详解】对于A，将代入方程，得，所以当时，原点在曲线上，所以A错误，
对于B，以代，得，得，所以曲线关于轴对称，
代，得，得，所以曲线关于轴对称，
以代，代，得，得，所以曲线关于原点对称，所以曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以B正确，
对于C，当时，由，得，解得，
所以，
所以，所以的最大值为，所以C正确，
对于D，若存在点，使得，则，因为，所以，所以，
所以由，得，所以，所以，反之也成立，所以当，则存在点，使得，所以D正确，
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设，则______．
【答案】
【解析】
【分析】令,即可求的值.
【详解】，
令，可得，①
令，可得，②
①+②可得.
故答案为：.
13. 已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解.
【详解】因为，
所以
，
所以
，等号成立当且仅当，
所以，，
故实数a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解.
14. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数分析函数的单调性，作出函数的大致图象，令gx=0可得，或，由条件结合图象可得的取值范围.
【详解】当时，，所以，
当时，f'x<0，函数在上单调递减，
当时，f'x>0，函数在上单调递增，
且，，，
当时，，当时，，
当时，与一次函数相比，函数增长速度更快，
从而，
当时，，所以，
当时，f'x>0，函数在上单调递增，
当时，f'x<0，函数在上单调递减，
且，，
当时，，当时，，
当时，与对数函数相比，一次函数增长速度更快，
从而，
当，且时，，
根据以上信息，可作出函数大致图象如下：
函数的零点个数与方程的解的个数一致，
方程，可化为，
所以或，
由图象可得没有解，
所以方程的解的个数与方程解的个数相等，
而方程的解的个数与函数y=fx的图象与函数的图象的交点个数相等，
由图可知：当时，函数y=fx的图象与函数的图象有3个交点.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角所对的边分别为．
（1）求；
（2）若的面积为边上的高为1，求的周长．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用和差公式和三角形内角和定理将已知条件展开，然后化简整理即可得解；
（2）利用三角形面积公式求出，然后由面积公式和余弦定理列方程组可得，可得周长.
【小问1详解】
由，得，①
由，得，②
由①②联立，得，
由，得，所以，
又由B∈0,π，得．
【小问2详解】
因为的面积为，
所以，得．
由，即，所以．
由余弦定理，得，即，
所以，可得，
所以的周长为．
16. 某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系，随机抽取了男生120人，女生80人进行测试.根据测试成绩按分组得到如图所示的频率分布直方图，并且男生的测试成绩不小于60分的有80人.
（1）填写下面的列联表，判断是否有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；
（2）规定成绩不小于60（百分制）为及格，按及格和不及格用分层抽样，随机抽取10名学生进行座谈，再在这10名学生中选2名学生发言，设及格学生发言的人数为，求的分布列和期望.
附：
【答案】（1）表格见解析，有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）计算成绩小于60分的人数，填写2×2列联表，进行独立性检验即可；
（2）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，根据超几何分别写出分布列和期望即可．
【小问1详解】
成绩小于60分的人数为：
由题意，得列联表如下表：
故有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；
【小问2详解】
由（1）知，200人中不及格的人数为80，及格人数为120
用分层抽样随机抽取的10名学生中不及格有4人，及格有6人
由题意，的所有可能取值为，且服从超几何分布，则，
即：
的分布列为.
17. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中是的中点，是的中点.
（1）求证平面；
（2）求平面与平面的夹角余弦值；
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取中点，利用线面平行判定推理即得.
（2）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求解即得.
【小问1详解】
取中点，连接，由是的中点，得，且，
由是的中点，得，且，
则有，四边形是平行四边形，于是，
又平面平面，
所以平面
【小问2详解】
四棱柱中，平面，，则直线两两垂直，
以A为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
有，
则有，
设平面与平面的法向量分别为，
则有，令，得，
，令，得，
因此.
所以平面与平面的夹角余弦值为.
18. 已知O为坐标原点，是椭圆C：的右焦点，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点．当A为短轴顶点时，的周长为．
（1）求C方程；
（2）若线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P，Q，M为线段AB的中点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到且，结合，列出方程求得的值，即可求解.
（2）解法一：设直线，联立方程组，利用韦达定理得到，得出的垂直平分线的方程，求得，化简，利用换元法和二次函数的性质，即可求解；
解法二：设，联立方程组，利用根与系数的关系得到，进而得到，化简，利用换元法和二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
设椭圆的焦距为，因为椭圆的焦点为，可得，
又因为为短轴顶点时，的周长，
又由，所以，解得，
所以椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
解法一：因为椭圆的焦点为，设直线，
联立方程组，整理得，
设，，则，，
则，
于是线段AB的垂直平分线的方程为，
令，可得，
由
，
令，则，
因为，所以，可得，
因此．
解法二：因为椭圆的焦点为，设直线，
联立方程组，整理得，
设，，则，，
则，
可得线段AB的垂直平分线的方程为，
令，得，
由
．
令，则，
因为，可得，可得，
因此．
【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
19. 已知函数.
（1）若，求证：当时，
（2）若有两个不同的极值点且.
（i）求的取值范围；
（ii）求证：.
【答案】（1）见解析 （2）（i）（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导判断函数的单调性即可求解最值证明，
（2）根据极值点可得韦达定理，根据一元二次方程根的分布即可求解的范围，利用，消去，进而看做关于的函数，构造，利用导数求解函数的单调性，即可求解最值判断，结合对数与指数的单调性即可求解.
【小问1详解】
时，
则，故在单调递减，
故，故时，，
【小问2详解】
（i），
由于有两个不同的极值点且，
故是的两个不相等的正实数根，
故，解得，
故
（ii）由于，所以，故，
由于，故，
，
令，
故，
当时，，故在单调递增，
故，
由于故，
因此，
故.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
成绩小于60
成绩不小于60
合计
男
女
合计
0.10
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
成绩小于60
成绩不小于60
合计
男
40
80
120
女
40
40
80
合计
80
120
200
0
1
2