人教A版2019必修第一册专题3.5函数性质及其应用大题专项训练【六大题型】(原卷版+解析)

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专题3.5 函数性质及其应用大题专项训练【六大题型】【人教A版（2019）】姓名：___________班级：___________考号：___________题型一利用函数的性质求解析式1．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）若定义在R上的奇函数fx满足f2−x=fx，当x∈0,1时，fx=x2−2x．(1)求f2021的值；(2)当x∈3,4时，求函数fx的表达式．2．（2023春·浙江宁波·高二校考期中）设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x2−2−x.(1)求f(x)的解析式；(2)若“x=3”是“f(2x−t)>12”的充分条件，求实数t的取值范围.3．（2023·高一课时练习）已知f(x)=x+ax2+bx+1(−1≤x≤1)为奇函数．(1)求a，b的值；(2)试判断f(x)的单调性；(3)试求f(x)的值域．4．（2023·高一课时练习）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2−x.(1)求f(x)的解析式：(2)若方程f(x)=k有3个不同的解，求k的取值范围.5．（2023·全国·高三对口高考）设fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有fx+2=−fx．当x∈0,2时，fx=2x−x2．(1)求证：fx是周期函数；(2)当x∈2,4时，求fx的解析式；(3)计算f0+f1+f2+⋯+f2011．题型二利用函数的性质求最值6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)对于任意x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且x>0时，f(x)0.(1)若a=b=1，求y在t,t+1上的最大值；(2)若函数在区间2,4上的最大值为9，最小值为1，求实数a，b的值.8．（2023春·安徽合肥·高一校考阶段练习）已知函数y=fxx∈R是偶函数．当x≥0时，fx=x2−2x．(1)求函数fx的解析式；(2)设gx=−fx+1，求gx在区间a,a+2上的最大值，其中a>−1．9．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知函数f(x)=x2+ax+1.(1)当a>2时，判断f(x)在R上的单调性；(2)记f(x)在R上的最小值为g(a)，写出g(a)的表达式并求g(a)的最大值.10．（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知函数y=fx是定义在R上的周期函数，周期为5，函数y=fx(−1≤x≤1)是奇函数，又知y=fx在[0,1]上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值−5，(1)求f1+f4的值；(2)求y=fx，x∈[1,4]上的解析式；(3)求y=fx在[4,9]上的解析式，并求函数y=fx的最大值与最小值．题型三利用函数的性质比较大小11．（2023·高一课时练习）已知函数f(x)在[1,+∞)上为增函数，对任意x∈R均满足：①f(1+x)=f(1−x)，②x10且x1+x20)，且当x>1时，f(x)>0．(1)求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数；(2)若f(2)=1 ，解不等式f(x+2)−f(2x)>2；(3)比较f(m+n2)与f(m)+f(n)2的大小．13．（2022秋·海南海口·高一校考期中）函数f(x)=x2+2x(x>0).(1)判断并用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性；(2)若x2>x1>0，x1+x2=2，求证：fx1>fx2；(3)若fx1=fx2，且x1≠x2，求证：x1+x2>2.14．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）已知函数f(x)=x2+2x．(1)求f(1)，f(2)的值；(2)设a＞b＞1，试比较f（a），f（b）的大小，并说明理由；(3)若关于x的不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−1+m恒成立，求实数m的取值范围．15．（2022·高一课时练习）定义在(0,+∞)上的函数f(x)，满足f(mn)=f(m)+f(n)(m,n>0)，且当x>1时，f(x)>0.（1）求f(1)的值.（2）求证：fmn=f(m)−f(n).（3）求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数.（4）若f(2)=1，解不等式f(x+2)−f(2x)>2.（5）比较fm+n2与f(m)+f(n)2的大小.题型四利用函数的单调性、奇偶性解不等式16．（2022秋·重庆·高一校联考期中）已知函数fx是定义在−3,3上的奇函数，当00，求实数a的取值范围．17．（2023·全国·高三专题练习）已知y=fx是定义在区间−2,2上的偶函数，其部分图像如图所示．(1)求f−1的值；(2)补全y=fx的图像，并写出不等式fx≥1的解集．18．（2023秋·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数fx=ax+bx2+1是定义在−1,1上的奇函数，且f12=−25.(1)求函数fx的解析式；(2)判断fx的单调性，并证明你的结论；(3)解不等式ft−1+ft0．(1)求证：函数fx是奇函数；(2)求证：fx在−1,1上是减函数；(3)解不等式：fx+1+f11−x>0；20．（2023秋·四川成都·高一校考期末）定义在区间D=xx≠0上的函数fx,对∀a,b∈D都有fab=fa+fb,且当x>1时,fx>0.(1)判断fx的奇偶性,并证明;(2)判断fx在0,+∞上的单调性,并证明;(3)若f2=3,求满足不等式f3m+2+fm−1−312”的充分条件，求实数t的取值范围.【解题思路】（1）根据函数的偶函数性质求解解析式即可；（2）根据偶函数性质和函数的单调性解不等式f(2x−t)>12，然后结合充分条件列出关于t的不等式求解即可.【解答过程】（1）f(x)是定义在R上的偶函数，则fx=f−x，当x0，则fx=f−x=−x2−2x=x2−2x，所以fx=x2−2−x,x≥0x2−2x,xf1等价于2x−t>1，故x>t+12或xt+12或3f−x2．12．（2022·全国·高一专题练习）定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(mn)=f(m)+f(n)(m，n>0)，且当x>1时，f(x)>0．(1)求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数；(2)若f(2)=1 ，解不等式f(x+2)−f(2x)>2；(3)比较f(m+n2)与f(m)+f(n)2的大小．【解题思路】（1）抽象函数单调性证明，第一步定义域下取值，第二步作差，第三步比大小，第四步结论.（2）抽象函数解不等式，利用定义的运算及函数的性质列式求解即可.（3）利用函数性质及基本不等式列式求解即可.【解答过程】（1）证明：设00，f(x2)−f(x1)=f(x2x1·x1)−f(x1)=f(x2x1)>0，即f(x2)>f(x1)，则f(x)在(0,+∞)为增函数．（2）若f(2)=1，则f（2）+f（2）=f（4）=2，则不等式f(x+2)−f(2x)>2等价为f(x+2)−f(2x)>f(4)；即f(x+2)>f(2x)+f(4) =f(8x)；则满足{x+2>02x>0x+2>8x，即{x>−2x>0x0).(1)判断并用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性；(2)若x2>x1>0，x1+x2=2，求证：fx1>fx2；(3)若fx1=fx2，且x1≠x2，求证：x1+x2>2.【解题思路】（1）用定义证明.（2）由已知寻找x1、x2、2−x2的范围，并比较2−x2与x2的大小，再利用（1）的单调性可得证.（3）代入函数表达式整理fx1=fx2，得x1+x2=2x1x2，再用基本不等式即可.【解答过程】（1）设00.（1）求f(1)的值.（2）求证：fmn=f(m)−f(n).（3）求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数.（4）若f(2)=1，解不等式f(x+2)−f(2x)>2.（5）比较fm+n2与f(m)+f(n)2的大小.【解题思路】（1）令m=n=1，代入可求解；（2）由m=mn·n代入已知条件变形可得；（3）由单调性定义证明；（4）根据已知把不等式变为f(x+2) >f(8x)，再由单调性求解；（5）由fm+n2=12fm+n2+fm+n2=12fm+n22，然后比较fm+n22与f(mn)的大小即可．【解答过程】（1）令m=n=1，由条件得f(1)=f(1)+f(1)⇒f(1)=0.（2）f(m)=fmn⋅n=fmn+f(n)，即fmn=f(m)−f(n).（3）任取x1，x2∈(0,+∞)，且x11.由（2）得.fx2−fx1=fx2x1>0，即fx2>fx1.∴fx在(0,+∞)上是增函数.（4）∵f(2)=1，∴2=f(2)+f(2)=f(4)，f(x+2)−f(2x)>2⇔f(x+2)>f(2x)+f(4)⇒f(x+2) >f(8x).又f(x)在(0,+∞)上为增函数，∴x+2>8x,x>0,解得0