高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4.2 充要条件精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4.2 充要条件精练，共20页。

题型一：充要条件的判断
1. “”是”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.（多选）下列选项中，是的充要条件的是（ ）
A．：，：，
B．：，：
C．：三角形是等腰三角形，：三角形存在两角相等
D．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直平分
3.k>4，b<5是一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的________条件．
4.设集合，，则的充要条件是______．
题型二：利用充分、必要条件求参数
一、单选题
1．（2022秋·广东东莞·高一校考阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023秋·云南大理·高一统考期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 .
3．（2022秋·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ．
4．（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？
(1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？
(2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由．
5．（2022秋·云南昆明·高一统考期中）已知集合， ，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的________条件，判断实数是否存在？
6．（2022秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知 .
(1)是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由;
(2)是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由.
7．（2023·全国·高一专题练习）设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
题型三：充要条件的证明
1．求证：一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根的充要条件是q＜0.
2.设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为.
3.求证：方程与有一个公共实数根的充要条件是.
【能力提升】
一、单选题
1．在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中正确的结论有（ ）
A．①②B．③④C．②③D．②③④
二、多选题
2．已知x∈R，y∈R，下列各结论中正确的是（ ）
A．“xy>0”是“”的充要条件B．“x>y”是“”的充要条件
C．“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件D．“x+y=0”是“”的充分不必要条件
三、填空题
3．在下列所示电路图中，下列说法正确的是____(填序号)．
（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．
四、解答题
4.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
5.已知a、b、c为的三边长，集合，．
(1)若，求；
(2)求的充要条件．
6．设a，b，．求证：，，的充要条件是，，．
7.证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
8.已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的，均有y≥1成立的充要条件是b≥2.
9.设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
10.已知a, b, c都是实数，证明ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.
11.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.
12.证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
13.求有关的方程
（1）有一个根大于1，有一个根小于1的充要条件.（2）“有两个小于3的根”的充要条件。
14.已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件
1.4.2 充要条件（3种题型分类基础练+能力提升练）
【夯实基础】
题型一：充要条件的判断
1. “”是”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由，
由此可知“”是”的充要条件.
故选：C.
2.（多选）下列选项中，是的充要条件的是（ ）
A．：，：，
B．：，：
C．：三角形是等腰三角形，：三角形存在两角相等
D．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直平分
【答案】BC
【详解】解：对于A：由，得，或，，故不是的充要条件，故A错误；
对于B：由，则，若则，故是的充要条件，故B正确；
对于C：三角形是等腰三角形三角形存在两角相等，故是的充要条件，故C正确；
对于D：四边形的对角线互相垂直且平分四边形为菱形，故不是的充要条件，故D错误；
故选：BC
3.k>4，b<5是一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的________条件．
【答案】充要
【详解】∵k>4时，k－4>0，b<5时，b－5<0，
∴直线y＝(k－4)x＋b－5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴；
y＝(k－4)x＋(b－5)与y轴交于(0，b－5)与x轴交于，
由交y轴于负半轴，交x轴于正半轴可知
，
故k>4，b<5是一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的充要条件，
故答案为：充要.
4.设集合，，则的充要条件是______．
【答案】，
【详解】由，可知，，于是
解得
此时，，符合．
故的充要条件是，
故答案为：，
题型二：利用充分、必要条件求参数
一、单选题
1．（2022秋·广东东莞·高一校考阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】方程有实根，故，
解得或.
方程有实根，故，
解得.
综上所述，，只有D选项符合.
若方程与有一个公共实数根，设公共实根为，
则，两式相减得，
由于，所以，
所以.
当时，两个方程分别为、，
方程的两个根为；
方程的两个根为；
即方程与有一个公共实数根.
综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是.
故选：D
2．（2023秋·云南大理·高一统考期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 .
【答案】
【详解】解不等式得，
因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得，
所以，.
故答案为：.
3．（2022秋·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ．
【答案】3
【详解】由得，故，
因为“”是“”的充要条件，
所以，解得，
所以实数m的取值是3.
故答案为：3.
4．（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？
(1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？
(2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由．
【详解】（1）当横线部分内容为“充要条件”时，则，则且，方程组无解.
∴不存在满足条件的.
（2）若选①，则是的真子集，则且（两等号不同时取），且，解得，
∴问题中的存在，且的取值集合.
选②，则是的真子集，
当时，，即，满足是的真子集；
当时，，即，由是的真子集，得且（两等号不同时取），解得；
综上所述：.
所以问题中的存在，且的取值集合.
5．（2022秋·云南昆明·高一统考期中）已知集合， ，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的________条件，判断实数是否存在？
【详解】（1）若，则，
则，解得，
所以实数的取值范围是．
（2）若选择条件，即是的充分条件，则，
所以，解得，
所以实数的取值范围是；
若选择条件，即是的必要条件，则，
所以，解得．
又，所以，
所以实数的取值范围是；
若选择条件，即是的充要条件，则，
所以，方程组无解，
所以不存在满足条件的实数．
6．（2022秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知 .
(1)是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由;
(2)是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由.
【详解】（1）要使是的充要条件，则
即，此方程组无解.
所以不存在实数，使是的充要条件.
（2）要使是的必要条件，则，
当时，，解得
当时，，解得
要使，则有，解得，所以
综上可得，当时，是的必要条件.
7．（2023·全国·高一专题练习）设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
【详解】（1）由条件， 是的充要条件，
得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由是的充分不必要条件，得真包含于，
所以，或，解得，
综上实数的取值范围是.
题型三：充要条件的证明
1．求证：一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根的充要条件是q＜0.
【详解】证明 ①充分性：
因为q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0的Δ＝p2－4q＞0，
故方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的实数根．
设方程的两根为x1，x2.
因为x1·x2＝q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根．
②必要性：
因为方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根，
设两根为x1，x2，所以x1·x2＜0.
因为x1·x2＝q，所以q＜0.
由①②，命题得证．
2.设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为.
【详解】充分性：，，
代入方程得，即．
关于的方程有一个根为；
必要性：方程有一个根为，满足方程，
，即．
故关于的方程有一个根是的充要条件为．
3.求证：方程与有一个公共实数根的充要条件是.
【详解】必要性：若方程与有一个公共实数根，设为，
则
两式相减得：
或
若，两个方程均为无解，
故，代入可得.
充分性：当时，，解得；
，解得；
两个方程有公共根为1.
综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是.
【能力提升】
一、单选题
1．在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中正确的结论有（ ）
A．①②B．③④C．②③D．②③④
【答案】D
【详解】因为，故，故①错误；
而，故，故②正确；
由“类”的定义可得，
任意，设除以4的余数为，则，
故，所以，
故，故③正确
若整数a，b属于同一“类”，设此类为，
则，故即，
若，故为的倍数，故a，b除以4 的余数相同，
故a，b属于同一“类”，
故整数a，b属于同一“类”的充要条件为，故④正确；
二、多选题
2．已知x∈R，y∈R，下列各结论中正确的是（ ）
A．“xy>0”是“”的充要条件B．“x>y”是“”的充要条件
C．“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件D．“x+y=0”是“”的充分不必要条件
【答案】AC
【详解】因为与等价，故“xy>0”是“”的充要条件，A正确；
因为，，推不出，故B错误；
因为当，时推不出xy≠0，当时，能推出，
所以“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件，C正确；
由可得，当满足时，才可得，即推不出，
反之，当时，可得，即，所以“x+y=0”是“”的必要不充分条件，故D不正确.
故选：AC
三、填空题
3．在下列所示电路图中，下列说法正确的是____(填序号)．
（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】充分不必要条件是该条件成立时，可推出结果，但结果不一定需要该条件成立；必要条件是有结
【详解】（1）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，选项（1）正确.
（2）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，选项（2）正确.
（3）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充要条件，选项（3）正确.
（4）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，选项（4）错误.
故答案为（1）（2）（3）.
四、解答题
4.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】－2≤a≤2
【解析】B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，
∵p是q的充分不必要条件，
∴，即AB，
可知或方程x2＋ax＋1＝0的两根要在区间[1,2]内
∴Δ＝a2－4<0或，得－2≤a≤2.
5.已知a、b、c为的三边长，集合，．
(1)若，求；
(2)求的充要条件．
【答案】(1)
(2)的充要条件是
【分析】（1）解方程，由集合的并集运算计算即可；
（2）由集合的交集运算，结合判别式得出，再由，得出.
(1)由，得，，
从而
(2)当时，，，且存在，使得，．
于是，
又a、b、c为的三边长，得．
从而的充要条件是
6．设a，b，．求证：，，的充要条件是，，．
【详解】证明：（必要性）由，，，显然有，，．
（充分性）用反证法：假设，，不成立，则a，b，c中至少有一个不大于0．
由a，b，c的对称性，不妨设
由得，从而由，得，即
故，于是．这与矛盾，于是假设不成立．
因此，，，．
7.证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
【详解】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：
当时，，
所以方程有两个不相等的实根，
设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根，
故充分性成立，
必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：
设方程一正一负根分别为，，则，
所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，
故必要性成立，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
8.已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的，均有y≥1成立的充要条件是b≥2.
【详解】证明：因为函数y=a2x2-2ax+b的图像的对称轴方程为x=，
所以a≥1，且0<≤1，
故当x=时，函数有最小值y=a2·-2a·+b=b-1.
先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≥1，即b-1≥1，所以b≥2.
再证充分性：因为b≥2，当x=时，函数有最小值y=a2·-2a·+b=b-1≥1，
所以对于任意，y=a2x2-2ax+b≥1，即y≥1成立的充要条件是b≥2.
9.设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
【解析】
（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，
于是|x+y|=|x|+|y|
如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，
当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.
当x＜0，y＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.
总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.
（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，
即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，
∴xy≥0.
综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
10.已知a, b, c都是实数，证明ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.
【答案】
（1）充分性:若ac<0，则Δ=b2-4ac>0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为x1, x2,
∵ac<0, ∴x1·x2=<0，即x1,x2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根.
（2）必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x1,x2,且x1>0, x2<0，
则x1·x2=<0，∴ac<0
综上可得ac<0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.
11.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.
【答案】
（1）a=0时适合.
（2）当a≠0时，显然方程没有零根，
若方程有两异号的实根，则必须满足；
若方程有两个负的实根，则必须满足
综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，
因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1
12.证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
【详解】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：
当时，，
所以方程有两个不相等的实根，
设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根，
故充分性成立，
必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：
设方程一正一负根分别为，，则，
所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，
故必要性成立，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
②③，并注意到，得．④
将④代入③，得⑤
即由②③消去得到⑤．而⑤满足①，因此的充要条件是．
13.求有关的方程
（1）有一个根大于1，有一个根小于1的充要条件.（2）“有两个小于3的根”的充要条件。
【答案】（1）设方程两个根分别为，不妨设，则问题等价于：
。
（2）设方程两个根分别为，不妨设，则问题等价于：
14.已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件
【答案】（1）（充分性)由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4
设f(x)=x2+ax+b，则f(x)的图象是开口向上的抛物线
又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0
即有4+b>2a>－(4+b)
又|b|＜44+b>02|a|＜4+b
(2)必要性由2|a|＜4+bf(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线
∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根
∵α，β是方程f(x)=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2