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湖北省襄阳市第五中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷（Word版附解析）
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这是一份湖北省襄阳市第五中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷（Word版附解析），文件包含湖北省襄阳市第五中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题Word版含解析docx、湖北省襄阳市第五中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
命题人：闫小东 审题人：杨青林 考试时间：2024年8月29日
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于 （ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
3. 平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（ ）
A 0B. C. D.
4. 有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为3”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ）
A. 与为相互独立事件B. 与为互斥事件
C. 与为相互独立事件D. 与为对立事件
5. 构造法是数学中一种常见的解题方法，请结合三角形的正、余弦定理，构造出恰当的图形解决问题：（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在中，，，为上一点，且，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知在钝角中，是钝角，，点是边上一点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 排球比赛一般采用五局三胜制，第一局比赛用抽签的方式，等可能地决定首先发球的球队，在每局比赛中，发球方赢得此球后可获得下一球的发球权，否则交换发球权．甲、乙两队进行排球比赛，若甲队发球，则甲队赢得此球的概率为，若乙队发球，则甲队赢得此球的概率为．则在第一局比赛中，甲队获得第三个球的发球权的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 从某校随机抽取30名学生参加某项知识测试，得分（十分制）如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A. 这30名学生测试得分的中位数为6
B. 这30名学生测试得分的众数与中位数相等
C. 这30名学生测试得分极差为8
D. 这30名学生测试得分的平均数比中位数大
10. 不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件“两个球中至多一个黑球”，事件“两个球均为白球”，则（ ）
A. B. C. D.
11. 已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在线段上，满足，则下列表述正确的是（ ）
A. 时，平面
B. 不存在，使得平面
C. 任意，三棱锥的体积为定值
D. 过点平面分别交于，则的范围是1,2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，若点关于平面的对称点为，则，两点间的距离为______.
13. 抛两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别为x，y，则x，y，3能够构成三角形三边长的概率为__________.
14. 如图，在平面四边形中，，.若，则四边形的面积为______；若的大小可变化，则的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求大小；
（2）若面积为，外接圆面积为，求周长.
16. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．
（1）应抽取小吃类商家多少家？
（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示．
①估计该直播平台商家平均日利润第75百分位数；
②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．
17. 如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在线段AB上，点在线段DC上．
（1）当，且点关于轴的对称点为时，求；
（2）当点是面对角线AB的中点，点在面对角线DC上运动时，探究的最小值．
18. 目前羽毛球混双世界排名第一，第三，第四分别是中国的“雅思组合，韩国的肉丁组合”，中国的“凤凰组合. 据统计，每场比赛雅思组合战胜肉丁组合的概率为 ，“凤凰组合”战胜肉丁组合的概率为，同一赛事的每场比赛结果互不影响.已知三个组合参加单循环赛（参加比赛的组合均能相遇一次），“雅思组合，“凤凰组合”同时战胜“肉丁组合”的概率为 ，有一个组合战胜“肉丁组合”的概率为 .
（1）求 和 的值；
（2）三个组合参加双循环赛（参加比赛的组合均能相遇两次），求雅思组合比“凤凰组合战胜肉丁组合的次数多的概率.
19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值；
（3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.
命题人：闫小东 审题人：杨青林 考试时间：2024年8月29日
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于 （ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
3. 平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（ ）
A 0B. C. D.
4. 有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为3”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ）
A. 与为相互独立事件B. 与为互斥事件
C. 与为相互独立事件D. 与为对立事件
5. 构造法是数学中一种常见的解题方法，请结合三角形的正、余弦定理，构造出恰当的图形解决问题：（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在中，，，为上一点，且，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知在钝角中，是钝角，，点是边上一点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 排球比赛一般采用五局三胜制，第一局比赛用抽签的方式，等可能地决定首先发球的球队，在每局比赛中，发球方赢得此球后可获得下一球的发球权，否则交换发球权．甲、乙两队进行排球比赛，若甲队发球，则甲队赢得此球的概率为，若乙队发球，则甲队赢得此球的概率为．则在第一局比赛中，甲队获得第三个球的发球权的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 从某校随机抽取30名学生参加某项知识测试，得分（十分制）如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A. 这30名学生测试得分的中位数为6
B. 这30名学生测试得分的众数与中位数相等
C. 这30名学生测试得分极差为8
D. 这30名学生测试得分的平均数比中位数大
10. 不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件“两个球中至多一个黑球”，事件“两个球均为白球”，则（ ）
A. B. C. D.
11. 已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在线段上，满足，则下列表述正确的是（ ）
A. 时，平面
B. 不存在，使得平面
C. 任意，三棱锥的体积为定值
D. 过点平面分别交于，则的范围是1,2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，若点关于平面的对称点为，则，两点间的距离为______.
13. 抛两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别为x，y，则x，y，3能够构成三角形三边长的概率为__________.
14. 如图，在平面四边形中，，.若，则四边形的面积为______；若的大小可变化，则的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求大小；
（2）若面积为，外接圆面积为，求周长.
16. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．
（1）应抽取小吃类商家多少家？
（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示．
①估计该直播平台商家平均日利润第75百分位数；
②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．
17. 如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在线段AB上，点在线段DC上．
（1）当，且点关于轴的对称点为时，求；
（2）当点是面对角线AB的中点，点在面对角线DC上运动时，探究的最小值．
18. 目前羽毛球混双世界排名第一，第三，第四分别是中国的“雅思组合，韩国的肉丁组合”，中国的“凤凰组合. 据统计，每场比赛雅思组合战胜肉丁组合的概率为 ，“凤凰组合”战胜肉丁组合的概率为，同一赛事的每场比赛结果互不影响.已知三个组合参加单循环赛（参加比赛的组合均能相遇一次），“雅思组合，“凤凰组合”同时战胜“肉丁组合”的概率为 ，有一个组合战胜“肉丁组合”的概率为 .
（1）求 和 的值；
（2）三个组合参加双循环赛（参加比赛的组合均能相遇两次），求雅思组合比“凤凰组合战胜肉丁组合的次数多的概率.
19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值；
（3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.
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