24届高三二轮复习函数与导函数专题1——函数与导函数真题热点原卷及教师版

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一、建模类抽象函数-23年I卷11题及九省联考12题
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
2．（2024·河南·统考模拟预测）已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是减函数
3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
4．（2024·福建厦门·统考一模）已知函数的定义域为，，，，若，则（ ）
A．B．C．2D．4
5．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．2024B．C．D．0
6．（2024·全国·校联考模拟预测）已知函数的定义域为R，满足，且，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．
D．
7．（2024·吉林白山·统考一模）已知函数的定义域为，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）， ．
8．（2023上·江苏淮安·高三校联考阶段练习）函数的定义域为，对任意，恒有，若， .
9．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，令，若函数为奇函数，为偶函数，且，则 ．
二、分参与端点效应-23年乙卷16题
10．（2023·全国·统考高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
11．（2023下·四川资阳·高二统考期末）已知函数．
(1)若有两个极值点，求的取值范围；
(2)若，，求的取值范围．
12．（2023下·安徽合肥·高二校联考期末）已知函数，.
(1)求证：；
(2)若，问是否恒成立?若恒成立，求a的取值范围；若不恒成立，请说明理由
13．（2023·广东湛江·统考一模）已知函数．
(1)证明：函数只有一个零点；
(2)在区间上函数恒成立，求a的取值范围．
14．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
三、轴心距抽象函数-双年热门？
15．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·四川宜宾·统考一模）已知函数的定义域为的图像关于对称，且为奇函数，，则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③；④.
A．1B．2C．3D．4
17．（2024·全国·模拟预测）已知定义域为的增函数满足对任意的都有，函数满足，且时，．若在上取得最大值时的值从小到大依次为，取得最小值时的值从小到大依次为，则（ ）
A．2800B．2700C．2600D．2500
18．（2023·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（ ）
A．B．C．D．
19．（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
20．（2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．
C．
D．若，则
21．（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
22．（2024·广东广州·广东实验中学校考二模）已知函数及其导函数的定义域为R，若，函数和均为偶函数，则（ ）
A．函数是周期为5的周期函数
B．函数的图象关于点对称
C．
D．函数的图象关于直线对称
四、奇偶性求参数问题-易错的高频真题
23．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则 ， ．
24．（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
25．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
26．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则 ．
27．（2014·湖南·高考真题）若是偶函数，则 .
五、引人入胜的极值点取还是不取问题-23年乙卷21题
28．（2023·全国·统考高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
29．（2024·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）已知函数在处有极值，则等于（ ）
A．B．16C．或16D．16或18
30．（2020·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
31．（2023·四川成都·统考一模）若恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．2C．1D．
32．（2022上·湖北·高三校联考阶段练习）若函数只有一个极值点，则的取值范围是 .
33．（2023上·四川成都·高三成都七中校考期中）已知函数，在有且只有一个极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
六、多视角分析2023年甲卷21题
34．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
35．（2008·全国·高考真题）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．
36．（2024·四川攀枝花·统考二模）已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围．
37．（2023上·四川成都·高三校考期中）已知函数，，是的导函数.
(1)证明：在上存在唯一零点；
(2)若关于的不等式有解，求的取值范围.
38．（2023下·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知函数．
(1)讨论在上的单调性；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围．
39．（2022·山东济南·统考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求在上的最大值；
(2)当时，，求的取值范围.
七、切线放缩命题背景的隐零点-23年I卷19题
40．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
41．（2018·全国·高考真题）已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
42．（2015·全国·高考真题）设函数.
（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当时.
43．（2017·全国·高考真题）设函数.
（I）讨论函数的单调性；
（II）当时，，求实数的取值范围.
44．（2014·全国·高考真题）设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.
(1)求 (2)证明:
45．（2010·全国·高考真题）设函数
（Ⅰ）若a=，求的单调区间；
（Ⅱ）若当≥0时≥0，求a的取值范围
八、极值充分条件-23年II卷21题
46．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
47．（2023·四川成都·三模）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若是函数的极小值点，求的取值范围．
48．（2018·全国·高考真题）已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，；
（2）若是的极大值点，求．
49．（2023上·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知函数
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若是的极大值点，求的取值范围.
50．（2024上·江西·高三校联考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若是的极大值点，求的取值范围．
九、极值点偏移-22年甲卷21题
51．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
52．（2021·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
53．（2018·全国·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
54．（2016·全国·高考真题）已知函数有两个零点.
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1，x2是的两个零点，证明：.
55．（2012·湖南·高考真题）已知函数=，其中a≠0
（1） 若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.
（2）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
56．（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知函数，a为实数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：．
十、拐点偏移-24年绵阳二诊21题
57．（2024·四川绵阳·统考二模）函数
(1)已知在上存在零点，求实数a的取值范围；
(2)若在定义域上是单调函数，满足，证明：．
58．（2024·云南昭通·统考模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调区间；
(2)已知在上单调递增，且，求证：.
59．（2020下·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期末）已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若，实数，且，证明：．
60．（2023上·辽宁·高三校联考期中）设函数.
(1)求的单调区间；
(2)若正数，满足，证明：.
十一、极值点偏移至臻纪念版
61．（2023上·四川成都·高三成都外国语学校校考期末）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求的取值范围；
(2)记两个极值点为，且. 若，证明：.
62．（2023下·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知函数，.
(1)讨论f（x）的单调性；
(2)若时，都有，求实数a的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数，满足，证明：.
63．（2021·江苏南通·统考模拟预测）已知函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，，求证：.
64．（2021下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知函数（）有两个极值点为，（）．
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：．
65．（2019·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知.
（1）试求在上的最大值；
（2）已知在处的切线与轴平行，若存在，，使得，证明：.
66．（2017·河南焦作·统考二模）已知函数在点处的切线方程为 .
(1)求的值，并讨论在上的增减性；
(2)若，且，求证：.
（参考公式）
67．（2019·贵州遵义·校考三模）已知函数.
（1）求函数在区间的最小值；
（2）当时，若，求证：.
68．（2020上·天津南开·高三统考期末）已知函数．
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ若对恒成立，求实数a的取值范围；
Ⅲ当时，设为自然对数的底若正实数满足，证明：
69．（2024上·辽宁抚顺·高三校联考期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恰好有两个零点，，且恒成立，证明：.
十二、零点个数问题-22年乙卷21题
70．（2022·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
71．（2021·全国·统考高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
72．（2019·全国·高考真题）已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
73．（2023·四川泸州·统考一模）已知函数，且恒成立．
(1)求实数的最大值；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．
74．（2023·四川雅安·统考一模）已知函数（其中为实数）．
(1)若，证明：；
(2)探究在上的极值点个数．
75．（2023·四川乐山·统考一模）已知函数，，其中实数.
(1)求在上的单调区间和极值；
(2)若方程有两个零点，求实数的取值范围.
十三、同构中的单调区间分析-22年I卷22题
76．（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
77．（2023上·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知函数和有相同的最大值.
(1)求实数的值；
(2)证明：曲线和有唯一交点，且直线与两条曲线和共有三个不同的交点，从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
78．（2023·甘肃·三模）已知函数，，若直线与曲线和分别相交于点，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
79．（重庆市沙坪坝区第七中学校2024届高三上学期12月月考数学试题）已知函数，，若存在，，使得成立，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
80．（2023上·福建泉州·高三福建省泉州第一中学校考阶段练习）已知函数和有相同的最大值．
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标满足．
十四、超越不等式的数列和-22年II卷22题
81．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
82．（2020·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
83．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知函数，且．
(1)求实数a的取值范围；
(2)已知，证明：．
84．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数，．
(1)若是函数唯一的极小值点，求实数a的取值范围；
(2)证明：．
85．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知为正实数，函数.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)求证：（）.
86．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）设函数.
(1)求的最值；
(2)令，的图象上有一点列，若直线的斜率为，证明：.
十五、降阶手段-21年甲卷21题
87．（2021·全国·统考高考真题）已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
88．（2020·四川成都·成都七中校考三模）若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .
89．（2023·四川成都·统考二模）若指数函数（且）与幂函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
十六、飘带不等式-21年乙卷20题
90．（2021·全国·统考高考真题）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
十七、切线问题-21年I卷7题
91．（2021·全国·统考高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
92．（2023·四川成都·成都七中校考一模）与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，关于曲线的法线有下列4种说法：
①存在一类曲线，其法线恒过定点；
②若曲线的法线的纵截距存在，则其最小值为；
③存在唯一一条直线既是曲线的法线，也是曲线的法线；
④曲线的任意法线与该曲线的公共点个数为1.
其中说法正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
93．（2016·全国·高考真题）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
94．（2023·山西·统考模拟预测）设函数，，若存在直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
95．（2021·福建龙岩·统考三模）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．B．C．D．
96．（2022·辽宁沈阳·二模）若直线与直线是曲线的两条切线，也是曲线的两条切线，则的值为（ ）
A．B．0C．-1D．
97．（2023·浙江金华·统考模拟预测）若存在直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的最大值为 .
98．（2021下·浙江杭州·高二杭十四中校考期中）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．（0，1）D．
99．（2023上·四川遂宁·高三校考阶段练习）若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围为 ．
100．（2022下·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考阶段练习）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是 .