新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义 第22讲 切线与切点弦问题

这是一份新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义 第22讲 切线与切点弦问题，共13页。试卷主要包含了问题综述，典例分析，巩固练习等内容，欢迎下载使用。

1.切线
1）定义：设直线与曲线交于两点，当直线连续变动时，两点沿着曲线渐渐靠近，一直到重合为一点，此时直线称为曲线在点处的切线.
注：若曲线为二次曲线，记其方程为，直线的方程为.
若方程组有两个不同的解，则直线与二次曲线相交，当这两个交点重合为一点时，就称直线与二次曲线相切，直线就称为二次曲线在这一点处的切线，这一公共点称为切点.
2）切线方程：
1）过圆上一点的切线方程：；
2）过椭圆上一点的切线方程：；
3）过双曲线上一点的切线方程：；
4）过抛物线上一点的切线方程：.
注：替换的规则是.
2.圆锥曲线的切点弦
1）定义：从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线，那么经过两切点的圆锥曲线的弦叫做切点弦.
2）切点弦方程：
1）设为圆外一点，则切点弦方程为：；
2）设为椭圆外一点，则切点弦方程：；
3）设为双曲线外一点，则切点弦方程：；
4）设为抛物线外一点，则切点弦切线方程：.
注：点与切点弦为圆锥曲线的极点和极线.
二、典例分析
类型1：过曲线外一点的切线方程
【例1】求椭圆两条互相垂直的切线的交点的轨迹方程.
解法：（1）当其中一条切线斜率不存在时，交点为中的一个；
（2）当两条切线斜率存在时，设点，切线方程为.
由消去得
.
由，
得，
当时，由得.
又当时，也满足.
所以所求点的轨迹方程为.
【例2】【2012广东文20】在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程.
解法：（1）因为椭圆的左焦点为，所以，
点代入椭圆，得，即，
所以
所以椭圆的方程为.
（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，
，消去并整理得
因为直线与椭圆相切，所以
整理得 ①
，消去并整理得
因为直线与抛物线相切，所以
整理得 ②
综合①②，解得或
所以直线的方程为或
【方法小结】 根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于（或）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式，即可解出切线方程，注意关于（或）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件.
类型2：以曲线上一点为切点的切线方程
【例3】如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限.
（I）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；
（II）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.
解法：（Ⅰ）解法1：韦达定理
设切线，代入，
得,
由题意知，即，解得，，
因为点在第一象限，所以，.
解法2：导数法
由点在第一象限及方程，得，设，
则，两边平方得，则，
又由点在第一象限，得，，，
所以，.
解法3：直接利用切线方程
设，则切线
又
联立①②及在第一象限，得
，即.
（Ⅱ）解法1：直接法
由于直线过原点且与垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离
因为，所以
当且仅当时等号成立.所以，点到直线的距离的最大值为.
解法2：参数法
设，则切线，
因为，所以，
当且仅当取到最大值.
解法3：等价转化
设，则切线
设过且与垂直的直线为，则，所以点到直线的距离等于的直线的距离.
因为，所以，， 又，
所以（柯西不等式）
当且仅当 即时取到最大值.
【例4】如图，设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线 的两条切线，且与抛物线分别相切于A、B两点.
（1）求△的重心的轨迹方程；
（2）证明：.
解法：（1）（1）设切点，
∴切线的方程为：；
切线的方程为：.
解得：.
所以△的重心的坐标为，
所以，
由点在直线l上运动，从而得到重心的轨迹方程为：，即.
（2）因为，
由于点在抛物线外，则.
，
.
所以.
【方法小结】过曲线上一点的二次曲线的切线方程常用的有两种方法：
一种是利用二次方程有等根，用；另一种是用导数的方法.
类型3：圆锥曲线切点弦
【例5】已知抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，点是直线上任意一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）证明：直线过定点，并求出定点坐标.
解析：（Ⅰ）抛物线方程为；
（Ⅱ）设点，则抛物线在点处的切线方程为，即，同理在点处的切线方程为.
又点在两条切线上，则，
所以直线的方程为：
又点满足，故直线的方程为即
所以直线经过定点.
【方法小结】本题实际上涉及圆锥曲线极点极线的一个性质：过圆锥曲线外任一点作直线，交圆锥曲线于两点，若圆锥曲线在点处切线的交点为，则点在一定直线上.
三、巩固练习
1.已知抛物线，圆的圆心为点.点是抛物线上一点（异于原点），过点作圆的两条切线，交抛物线于两点，若过两点的直线垂直于，求直线的方程.
2.已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点.
（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；
（Ⅱ）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点，且与直线交于点．证明：存在常数，使得，并求的值.
3.【2015新课标1，理20】在直角坐标系中，曲线与直线(＞0)交与两点.
（1）当时，分别求在点和处的切线方程；
（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.
4.已知椭圆的中心在原点，离心率为，其右焦点是圆：的圆心．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过椭圆上且位于轴左侧的一点作圆的两条切线，分别交轴于点、．试推断是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5.已知椭圆，是直线上一点，由向已知椭圆作两切线，切点分别是，求直线的方程，使与两坐标轴围成的三角形面积最小，并求出这个最小值.
6. 如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为时，，求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1.设点，切线的斜率为，
则切线方程是，
由题意得：，
整理得：，（*）
设.
解得：（是方程*的根）.
因为，
所以，
所以，解得：，所以，
所以直线的方程.
2. （ = 1 \* ROMAN I）由已知得，所以，则椭圆E的方程为.
由方程组 得. = 1 \* GB3 ①
方程 = 1 \* GB3 ①的判别式为，由，得，
此方程 = 1 \* GB3 ①的解为，
所以椭圆E的方程为.点T坐标为（2,1）.
（ = 2 \* ROMAN II）由已知可设直线 的方程为，
有方程组 可得
所以P点坐标为（ ），.
设点A，B的坐标分别为 .
由方程组 可得. = 2 \* GB3 ②
方程 = 2 \* GB3 ②的判别式为，由得.
又由 = 2 \* GB3 ②得.
所以，
同理，
所以
故存在常数，使得.
3. （1）由题设可得，，或，.
∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为，即.
故在=-处的导数值为-，
C在处的切线方程为，即.
故所求切线方程为或.
（2）存在符合题意的点，证明如下：
设为符合题意得点，，，直线，的斜率分别为.
将代入C得方程整理得.
∴.
∴==.
当时，有=0，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，
故，所以符合题意。
4. （1）设椭圆方程，半焦距为，
因为椭圆的右焦点是圆的圆心，则，
因为椭圆的离心率为，则，即，
从而，故椭圆的方程为．
（2）设点（），，，
则直线的方程为，即，
因为圆心到直线的距离为1，
即，
即，即，
同理．
由此可知，，为方程的两个实根，
所以，，
．
因为点在椭圆上，则，即，
则，
令，
则，因为，则，，即，
故存在点满足题设条件．
5. 设，所以切点弦所在直线方程为.
所以，则.
又，所以，当且仅当，即时，，
此时直线方程为.
6.（Ⅰ）证明：由题意设
由得，则所以
因此直线MA的方程为直线MB的方程为
所以①
②
由①、②得
因此 ，即
所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时，将其代入①、②并整理得：

所以是方程的两根，因此
又所以
由弦长公式得
又，所以或，
因此所求抛物线方程为或
（Ⅲ）解：设，由题意得,
则的中点坐标为
设直线的方程为
由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得
若在抛物线上，则
因此或.
即或
（1）当时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意.
（2）当，对于D(0，0)，此时又AB⊥CD，
所以
即矛盾.
对于因为此时直线CD平行于y轴，
又
所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，
所以时，不存在符合题意的M点.
综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.