新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义 第26讲 曲线系问题

这是一份新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义 第26讲 曲线系问题，共5页。试卷主要包含了典例分析，巩固练习，巩固练习参考答案等内容，欢迎下载使用。

问题综述
利用“曲线系”解题，主要是为了简化解析几何中繁杂的计算，例如与单位圆相切的直线系可以设为
二、典例分析
类型1：直线合成二次曲线型
【例1】（2017年新课标卷）已知椭圆，四点，，，
中恰有三点在椭圆上.
（1）求的方程；
（2）设直线不经过点且与相交于两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点.
【解析】（1）略
（2）由题可设斜率分别为，其中。
令曲线：，可表示为。
联立可以得到如下方程组
（其方程组的解为三点）
化简得

进而
，
解得
或 （即 点 或）
即
： 恒过
类型2：过直线与曲线交点型
【例2】圆，；于。以为直径的圆过原点，求方程。
【解析】设以为直径的圆的方程为
（圆心）
由，上，那么代入可得
解得
或
进而
或
类型3：混搭型
【例3】在直角坐标系中,曲线与轴交于两点,点的坐标为. 当变化时,证明：过三点的圆在轴上截得的弦长为定值.
【解析】过与交点的曲线系可以设为
：
因为表示圆，且过则
解得，
：
令可以求得弦长为

【方法小结】 此类问题关键点在于曲线系的设法。
三、巩固练习
1．设直线与椭圆交于两点，过两点的圆与交于另两点，则直线的斜率为（ ）

2． 圆过，且与相切与点。
（1）求圆的方程。
（2）圆上两点关于对称，且以为直径的圆过，求直线的方程
3．（2016年全国联赛题） 如图所示，在平面直角坐标系中，F是轴正半轴上的一个动点.以F为焦点，O为顶点作抛物线C.设P是第一象限内C上的一点，Q是轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且｜PQ｜=2.圆均与直线OP相切于点P，且均与轴相切.求点F的坐标，使圆与的面积之和取到最小值.

4．椭圆，圆，过作圆的两条切线分别与椭圆交于，证明与圆相切。
四、巩固练习参考答案
1．解析：设，所以
，
则过四点的曲线系为
。
表示为圆，则系数相等，且无项。化简得
解得
2．解析： （1）设与相切与点的圆系方程为
又过，那么带入求得，所以所求圆的方程为
易得过圆心，那么，进而设，考虑用曲线系
设过的曲线系方程为，
过，且圆心在上，那么可得
进而求得或，所以所求方程为
或者
3．解析： 设抛物线为，那么，设由极点极线
，进而
那么至此，点满足，设与相切于点的圆系方程为
由与轴相切，那么令可得，那么
进而可得
，
由曲线系方程得圆的半径为，那么面积之和为
进而求得最小时，，进而求得，
4.解析 设，由相切得
进而求得
，
联立与
可以得到
由此