高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(原卷版+解析)，共48页。试卷主要包含了函数y＝Asin的有关概念等内容，欢迎下载使用。
图
知识点总结
1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|0，φ>0)的变换：向左平移eq \f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度.
典型例题分析
考向一 公式的逆用及变形
角度1 公式的活用
例1 (1)(2023·濮阳一模)cs 40°sin 70°－sin 40°·sin 160°＝( )
A.－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C.－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)
(2)若α＋β＝－eq \f(3π,4)，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________.
角度2 辅助角公式的运用
例2 化简：(1)sin eq \f(π,12)－eq \r(3)cs eq \f(π,12)；(2)eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),sin 80°).
感悟提升 三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一.应注重公式的逆用和变形使用.
考向二 三角函数式的化简
例3 (1)化简：eq \f(2cs4x－2cs2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝________.
(2)化简：(eq \f(1,tan \f(α,2))－tan eq \f(α,2))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋tan α·tan \f(α,2)))＝________.
感悟提升 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
考向三 三角函数求值问题
角度1 给角求值
例4 (1)sin 40°(tan 10°－eq \r(3))等于( )
A.2 B.－2
C.1 D.－1
(2)cs 20°·cs 40°·cs 100°＝________.
角度2 给值求值
例5 (1)(2023·安徽名校联考)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,4)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(5π,6)))＝( )
A.－eq \f(1,8) B.eq \f(1,8)
C.－eq \f(1,4) D.eq \f(1,4)
(2)(2023·铁岭质检)已知eq \f(1,cs θ)＋tan θ＝2，则tan eq \f(θ,2)的值为( )
A.3 B.eq \f(1,3)或－1
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
角度3 给值求角
例6 已知α，β均为锐角，cs α＝eq \f(2\r(7),7)，sin β＝eq \f(3\r(3),14)，则cs 2α＝________
2α－β＝________.
感悟提升 1.给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.
2.给值(角)求值问题的一般步骤
(1)化简条件式子或待求式子；
(2)观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.
考向四 三角恒等变换的应用
例7 设函数f(x)＝sin x＋cs x(x∈R).
(1)求函数y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))eq \s\up12(2)的最小正周期；
(2)求函数y＝f(x)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值.
感悟提升 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.
考向五 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例8已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－eq \f(π,2)0，|φ|0，φ>0)的变换：向左平移eq \f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度.
典型例题分析
考向一 公式的逆用及变形
角度1 公式的活用
例1 (1)(2023·濮阳一模)cs 40°sin 70°－sin 40°·sin 160°＝( )
A.－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C.－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 B
解析 cs 40°sin 70°－sin 40°sin 160°＝cs 40°cs 20°－sin 40°sin 20°
＝cs(40°＋20°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).故选B.
(2)若α＋β＝－eq \f(3π,4)，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________.
答案 2
解析 taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)))＝tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝1，
所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，
则1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，
即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
角度2 辅助角公式的运用
例2 化简：(1)sin eq \f(π,12)－eq \r(3)cs eq \f(π,12)；(2)eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),sin 80°).
解 (1)法一 原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin \f(π,12)－\f(\r(3),2)cs \f(π,12)))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,6)sin \f(π,12)－cs \f(π,6)cs \f(π,12)))＝－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,12)))＝－2cs eq \f(π,4)＝－eq \r(2).
法二 原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin \f(π,12)－\f(\r(3),2)cs \f(π,12)))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)sin \f(π,12)－sin \f(π,3)cs \f(π,12)))＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,12)))＝－2sin eq \f(π,4)＝－eq \r(2).
(2)原式＝eq \f(cs 10°－\r(3)sin 10°,sin 10°cs 10°)＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),sin 10°cs 10°)
＝eq \f(4（sin 30°cs 10°－cs 30°sin 10°）,2sin 10°cs 10°)＝eq \f(4sin（30°－10°）,sin 20°)＝4.
感悟提升 三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一.应注重公式的逆用和变形使用.
考向二 三角函数式的化简
例3 (1)化简：eq \f(2cs4x－2cs2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝________.
答案 eq \f(1,2)cs 2x
解析 原式＝eq \f(\f(1,2)（4cs4x－4cs2x＋1）,2·\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))·cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))
＝eq \f(（2cs2x－1）2,4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))＝eq \f(cs22x,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x)))＝eq \f(cs22x,2cs 2x)＝eq \f(1,2)cs 2x.
(2)化简：(eq \f(1,tan \f(α,2))－tan eq \f(α,2))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋tan α·tan \f(α,2)))＝________.
答案 eq \f(2,sin α)
解析 (eq \f(1,tan \f(α,2))－tan eq \f(α,2))·(1＋tan α·tan eq \f(α,2))＝(eq \f(cs \f(α,2),sin \f(α,2))－eq \f(sin \f(α,2),cs \f(α,2)))·(1＋eq \f(sin α,cs α)·eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2)))
＝eq \f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs\f(α,2))·eq \f(cs αcs\f(α,2)＋sin αsin \f(α,2),cs αcs\f(α,2))＝eq \f(2cs α,sin α)·eq \f(cs\f(α,2),cs αcs\f(α,2))＝eq \f(2,sin α).
感悟提升 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
考向三 三角函数求值问题
角度1 给角求值
例4 (1)sin 40°(tan 10°－eq \r(3))等于( )
A.2 B.－2
C.1 D.－1
答案 D
解析 sin 40°·(tan 10°－eq \r(3))＝sin 40°·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin 10°,cs 10°)－\r(3)))
＝sin 40°·eq \f(sin 10°－\r(3)cs 10°,cs 10°)＝sin 40°·eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 10°－\f(\r(3),2)cs 10°)),cs 10°)
＝sin 40°·eq \f(2（cs 60°·sin 10°－sin 60°·cs 10°）,cs 10°)＝sin 40°·eq \f(2sin（10°－60°）,cs 10°)
＝sin 40°·eq \f(－2sin 50°,cs 10°)＝eq \f(－2sin 40°·cs 40°,cs 10°)＝eq \f(－sin 80°,cs 10°)＝－1.
(2)cs 20°·cs 40°·cs 100°＝________.
答案 －eq \f(1,8)
解析 cs 20°·cs 40°·cs 100°＝－cs 20°·cs 40°·cs 80°
＝－eq \f(sin 20°·cs 20°·cs 40°·cs 80°,sin 20°)＝－eq \f(\f(1,2)sin 40°·cs 40°·cs 80°,sin 20°)
＝－eq \f(\f(1,4)sin 80°·cs 80°,sin 20°)＝－eq \f(\f(1,8)sin 160°,sin 20°)＝－eq \f(\f(1,8)sin 20°,sin 20°)＝－eq \f(1,8).
角度2 给值求值
例5 (1)(2023·安徽名校联考)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,4)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(5π,6)))＝( )
A.－eq \f(1,8) B.eq \f(1,8)
C.－eq \f(1,4) D.eq \f(1,4)
答案 B
解析 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,4)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(5π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－1
＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)－1＝eq \f(1,8).故选B.
(2)(2023·铁岭质检)已知eq \f(1,cs θ)＋tan θ＝2，则tan eq \f(θ,2)的值为( )
A.3 B.eq \f(1,3)或－1
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 D
解析 由eq \f(1,cs θ)＋tan θ＝eq \f(cs2\f(θ,2)＋sin2\f(θ,2),cs2\f(θ,2)－sin2\f(θ,2))＋eq \f(2tan \f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝eq \f(1＋tan2\f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＋eq \f(2tan \f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝2，
整理得3tan2eq \f(θ,2)＋2tan eq \f(θ,2)－1＝0，
解得tan eq \f(θ,2)＝eq \f(1,3)或tan eq \f(θ,2)＝－1.
因为cs θ≠0，所以θ≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，
所以eq \f(θ,2)≠eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，
所以tan eq \f(θ,2)≠－1，故tan eq \f(θ,2)＝eq \f(1,3).故选D.
角度3 给值求角
例6 已知α，β均为锐角，cs α＝eq \f(2\r(7),7)，sin β＝eq \f(3\r(3),14)，则cs 2α＝________
2α－β＝________.
答案 eq \f(1,7) eq \f(π,3)
解析 因为cs α＝eq \f(2\r(7),7)，
所以cs 2α＝2cs2α－1＝eq \f(1,7).
又因为α，β均为锐角，sin β＝eq \f(3\r(3),14)，
所以sin α＝eq \f(\r(21),7)，cs β＝eq \f(13,14)，
因此sin 2α＝2sin αcs α＝eq \f(4\r(3),7)，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcs β－cs 2αsin β＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(13,14)－eq \f(1,7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(\r(3),2).
因为α为锐角，所以0＜2α＜π.
又cs 2α＞0，所以0＜2α＜eq \f(π,2)，
又β为锐角，所以－eq \f(π,2)＜2α－β＜eq \f(π,2)，
又sin(2α－β)＝eq \f(\r(3),2)，所以2α－β＝eq \f(π,3).
感悟提升 1.给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.
2.给值(角)求值问题的一般步骤
(1)化简条件式子或待求式子；
(2)观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.
考向四 三角恒等变换的应用
例7 设函数f(x)＝sin x＋cs x(x∈R).
(1)求函数y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))eq \s\up12(2)的最小正周期；
(2)求函数y＝f(x)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值.
解 (1)因为f(x)＝sin x＋cs x，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝cs x－sin x，
所以y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))eq \s\up12(2)＝(cs x－sin x)2＝1－sin 2x.
所以函数y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))eq \s\up12(2)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \r(2)sin x，
所以y＝f(x)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \r(2)sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x＋cs x))
＝eq \r(2)(sin xcs x＋sin2x)＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 2x－\f(1,2)cs 2x＋\f(1,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋eq \f(\r(2),2).
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，
所以当2x－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(3π,8)时，
函数y＝f(x)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上取得最大值，且ymax＝1＋eq \f(\r(2),2).
感悟提升 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.
考向五 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例8已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－eq \f(π,2)