北师大版八年级数学下册压轴题攻略专题11平行四边形中的动点问题全攻略(原卷版+解析)

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专题11 平行四边形中动点问题全攻略例1．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____．例2.如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为（    ）A．5 B．7 C． D．例3．如图，菱形ABCD的边长为8，∠BAD＝60°，点E是边AB上一动点，点F是对角线AC上一动点，则EF+BF的最小值为（　　）A．8 B．4 C．4 D．4例4．如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．例5.如图，在平行四边形ABCD中，，，点H、G分别是边DC、BC上的动点，其中点H不与点C重合，连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为______．【变式训练1】如图，菱形ABCD的对角线，面积为24，△ABE是等边三角形，若点P在对角线AC上移动，则的最小值为（  ）A．4 B．4 C．2 D．6【变式训练2】如图，在矩形中，，，为上两点，且，则四边形周长的最小值为（    ）A．9 B．10 C．11 D．12【变式训练3】如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为（　　）A． B． C． D．【变式训练4】如图，在中，，线段绕点B旋转到，连接，E为的中点，连接，设的最大值为m，最小值为n，则（    ）A．3.6 B．4.8 C．5 D．6课后训练1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE＝，则CD+EF的最小值为(   )A．﹣ B．3﹣ C．1+ D．32．如图，中，，点、分别在边、上，，且，若，，则的长度为_________________．3．如图，在平行四边形ABCD中，BC=6，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，点F为BC上一点，点G为BE上一点，连接CG，FG，则CGFG的最小值为_________．4．如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______．5．如图，在平行四边形ABCD中，，是锐角，于点E，，F是CD的中点，连接BF，EF．若，则DE的长为______． 6．如图，在平行四边形中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是______．7．如图，在平面直角坐标系中，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，已知，，，，则D点的坐标为_______．8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是▱ABCD内一动点，且S△PBC＝S△PAD，则PA＋PD的最小值为______．9．如图，在平行四边形ABCD中，，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是_____．专题11 平行四边形中动点问题全攻略例1．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____．【答案】【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH，∵AB=6，5BE=AE，∴AE=5，BE=，由折叠的性质可知：GE=AE=5，GF=AF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABN=∠A=45°，∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，∴EN=BN=BE=1，AM=BM=AB=6，∴FH=BM=6，在Rt△GEN中，根据勾股定理，得，∴，解得GN=±7（负值舍去），∴GN=7，设MF=BH=x,则GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x，在Rt△GFH中，根据勾股定理，得，∴，解得x=，∴AF=AM+FM=6+=．∴AF长度为．故答案为：．例2.如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为（    ）A．5 B．7 C． D．【答案】A【详解】解：如图：连接，作，∵四边形是平行四边形，∴，∴且，∴，∴；∵M是中点，∴，∴，∴；∵折叠，∴，∴当 三点共线时，的长度最小，∴此时，故选：A．例3．如图，菱形ABCD的边长为8，∠BAD＝60°，点E是边AB上一动点，点F是对角线AC上一动点，则EF+BF的最小值为（　　）A．8 B．4 C．4 D．4【答案】C【详解】如图，连接交于，过作于，交于，四边形是菱形，是对角线，点是点关于的对称点，点E是边AB上一动点，点F是对角线AC上一动点，，当点与点重合， 点与点重合时，取得最小值，最小值为的长，菱形ABCD的边长为8，∠BAD＝60°，，，．取得最小值为: ．故答案为：C．例4．如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．【答案】3【详解】解：如图，过作交的延长线于点，∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴，∴，∵，∴当三点共线时，线段的和最小，∵，，∴，即：的最小值等于3；故答案为：3．例5.如图，在平行四边形ABCD中，，，点H、G分别是边DC、BC上的动点，其中点H不与点C重合，连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为______．【答案】【详解】如图，连接AG，因为点E为AH的中点，点F为GH的中点，所以EF=，故EF的最小值，只有当AG取得最小值时，才能成立，AG的最小值为垂线段AG，过点A作AM⊥BC，垂足为M，因为，，所以BM=2，AM=，故EF的最小值为=故答案为：．【变式训练1】如图，菱形ABCD的对角线，面积为24，△ABE是等边三角形，若点P在对角线AC上移动，则的最小值为（  ）A．4 B．4 C．2 D．6【答案】C【详解】解：如图，连接BD交AC于O，连接PB．∵S菱形ABCD=•AC•BD，∴24=×12×BD，∴BD=4，∵OA=AC=6，OB=BD=2，AC⊥BD，∴AB=，∵AC与BD互相垂直平分，∴PD=PB，PE+PD=PE+PB，∵PE+PB≥BE，∴当E、P、B共线时，PE+PD的值最小，最小值为BE的长，∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2，∴PD+PE的最小值为2，故选：C．【变式训练2】如图，在矩形中，，，为上两点，且，则四边形周长的最小值为（    ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【详解】解：如图，作交AD于M，作M关于BC的对称点，连接，，∴，在矩形ABCD中，，∴四边形APQM为平行四边形，∴，∵，，∴，若使其周长最小，即最小，即：即为所求，∵，，∴，，∴在中，，故最小值为：．故选B．【变式训练3】如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为（　　）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：连接，如图：点为的中点，点为的中点，是的中位线，，当最小时，最小，当最大时，最大，当时，最小，此时也最小，如图：，，是等腰直角三角形，，，最小为；当与重合时，最大，此时也最大，过作于，如图：同上可得是等腰直角三角形，，，，，最大为；的最大值与最小值的差为，故选：B．【变式训练4】如图，在中，，线段绕点B旋转到，连接，E为的中点，连接，设的最大值为m，最小值为n，则（    ）A．3.6 B．4.8 C．5 D．6【答案】D【详解】解：由旋转的性质可得出．如图，取的中点F，连接．∵，∴，∴是等边三角形．∵E、F分别是的中点，∴．如图，当在上方时，此时，如果C、E、F三点共线，则有最大值，最大值为，即；如图，当在下方时，此时，如果C、E、F三点共线时，有最小值，最小值为，即，∴．故选D．课后训练1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE＝，则CD+EF的最小值为(   )A．﹣ B．3﹣ C．1+ D．3【答案】B【详解】解：如图，过C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于N；过C1作C1C2∥AB，且C1C2＝，过C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的长度即为所求最小值，∵C1C2∥DE，C1C2＝DE，∴四边形C1DEC2是平行四边形，∴C1D＝C2E，又∵CC1关于AB对称，∴CD＝C1D，∴CD+EF＝C2F，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝2，∴CN＝，AN＝3，过C2作C2M⊥AB，则C2M＝C1N＝CN＝，∴C2M∥C1N，C1C2∥MN，∴MN＝C1C2＝，∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°，∴∠MC2E＝∠A＝30°，在Rt△C2ME中，ME＝，C2M＝1，C2E＝2，∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣﹣1＝2﹣，∴EF，∴C2F．故选：B．2．如图，中，，点、分别在边、上，，且，若，，则的长度为_________________．【答案】【详解】解：如图，连接，过点E作于M，在中，，∴，∴，∴，又∵，∴，即，∴，将顺时针旋转得，连接，则，，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，过点N作交的延长线于点G，∵，∴，∴CG=∴∴∴故答案为．3．如图，在平行四边形ABCD中，BC=6，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，点F为BC上一点，点G为BE上一点，连接CG，FG，则CGFG的最小值为_________．【答案】【详解】在上取一点，使，平分，，，当、、在同一直线上，且时，最小，最小值为．，，，，，．故答案为：．4．如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______．【答案】【详解】解：如图，延长到，使得，连接，过点作于点．四边形是平行四边形，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，点在射线上运动，当点与重合时，的值最小，在中，，，，，．的最小值为．故答案为：．5．如图，在平行四边形ABCD中，，是锐角，于点E，，F是CD的中点，连接BF，EF．若，则DE的长为______． 【答案】4【详解】解：如图，延长BF交AD的延长线于Q，连接BE，设DE=x，  ∵四边形ABCD是平行四边形，∴DQ∥BC，AD=BC=5，∴∠Q=∠CBF，∵DF=FC，∠DFQ=∠BFC，∴△BCF≌△QDF（AAS），∴BC=DQ，QF=BF，∵∠EFB=90°，∴EF⊥QB，∴EQ=BE=x+5，∵CE⊥AD，BC∥AD，∴CE⊥BC，∴∠DEC=∠ECB=90°，∵CE2=EB2-BC2，∴，整理得：x2+10x-56=0，解得x=4或-14（舍弃），∴DE=4．故答案为：4．6．如图，在平行四边形中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是______．【答案】【详解】解：如图，以AB为边向右作等边△ABK，由可知点K在BC上，连接EK，∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，EK的值最小，即AF的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAK＝∠AKB＝60°，∴∠AKE＝30°，∵AB＝AK＝2，∴AE＝AK＝1，∴EK＝，∴AF的最小值为．故答案为：．7．如图，在平面直角坐标系中，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，已知，，，，则D点的坐标为_______．【答案】（-2，8）【详解】过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，∵四边形ABOC是平行四边形，∴AC=OB，AC∥OB，∴∠OGC=∠BOE，∵AD∥y轴，∴∠DAC=∠OGC，∴∠BOE=∠DAC，在△BOE和△CAD中，，∴△BOE≌△CAD（AAS），∴OE=AD=2，BE=CD=8，∵S△ABD=6，∴AD•BF=6，∴×2×BF=6，∴BF=6，∴EF=BE-BF=2，∵∠ADB=135°，∴∠BDF=45°，∴BF=DF=6，∵DF+OE=6+2=8∴D（-2，8），故答案为：（-2，8）．8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是▱ABCD内一动点，且S△PBC＝S△PAD，则PA＋PD的最小值为______．【答案】【详解】解：如图所示，过点P作直线，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于E，交BC于F，连接，则，垂直于直线l，∴，∴当、P、D三点共线时，PA+PD有最小值，即，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，AD=BC，∴，∵AB=6，∠AFB=90°，∠ABC=60°，∴∠BAF=30°，∴BF=3，∴，∵S△PBC＝S△PAD，∴，∴，又∵AE+EF=AF，∴，∴，∴，∴PA+PD的最小值为，故答案为：．9．如图，在平行四边形ABCD中，，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是_____．【答案】【详解】解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°，∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET＝a，在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，∴a2+（2a+a）2＝4，∴a＝，∴EK＝2a+a＝，∴AF的最小值为：．故答案为：．