重庆市长寿中学校2024-2025学年高三上学期开学数学试题（解析版）

这是一份重庆市长寿中学校2024-2025学年高三上学期开学数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了 下列论述正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若an是公比为的等比数列，记为an的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A. 若an是递增数列，则，
B. 若an是递减数列，则，
C. 若，则
D. 若，则bn是等比数列
【答案】D
【解析】
【分析】选项A，B，C中，分别取特殊数列满足条件，但得不出相应的结论，说明选项A，B，C都是错误的，选项D中，利用等比数列的定义可以证明结论正确.
【详解】A选项中，，满足单调递增，故A错误；
B选项中，，满足单调递减，故B错误；
C选项中，若，则，故C错误；
D选项中，，所以是等比数列.故D正确.
故选：D.
2. 已知公差不为零的等差数列中，成等比数列，则等差数列的前8项和为（ ）
A. 20B. 30C. 35D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】由题意设等差数列的公差为d，运用等比数列的中项的性质，结合等差数列的通项公式，解方程可得d，进而利用求和公式得到n=8的结果；
【详解】由题意设等差数列的公差为d，d≠0，由可得
又成等比数列，
可得a32＝a1a6，
即有（a1+2d）2＝a1（a1+5d），结合
解得d＝（0舍去），
则数列{an}的通项公式an＝2+（n﹣1）＝n+；
∴a8＝，∴
故选：B．
【点睛】本题考查等差数列通项公式及求和公式的应用，考查了等比数列中项的应用，属基础题．
3. 已知数列满足，，关于数列有下述四个结论：
①数列为等比数列；②；
③；④若为数列的前项和，则.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】对于①，将条件进行变形即可构造数列；对于②，由①用累加法即可求数列an的通项；对于③，由①得，即可判断；对于④，由②利用分组求和即可得到.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以数列为等比数列,所以①正确;
又因为，
所以，
因为，
所以，
所以,故③正确；
由累加法得,所以②错误；
由分组求和得,所以④正确.
故选：C.
4. 已知数列是1为首项，2为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，设，，，则当时，的最大值为（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意计算，，，解不等式得到答案.
【详解】∵是以1为首项，2为公差的等差数列，∴,
∵是以1为首项，2为公比的等比数列，∴,
∴
，
∵，∴，解得，
则当时，的最大值是9.
故选：A.
【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
5. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，，，若，则（ ）
A. 64B. 65C. 71D. 72
【答案】D
【解析】
【分析】先计算出是第几个奇数，然后计算出在第几行，根据行数是奇数行或者偶数行，确定的值，从而求得的值.
【详解】数列是首项为，公差为的等差数列，记其通项公式为，令，解得.宝塔形数自上而下，每行的项数是，即首项是，公差是的等差数列，记其通项公式为，其前项和，，所以是第行的数模糊.第行是奇数行，是从右边开始向左边递增，也即从，即的第项，递增到第项，也即从右往左第项.故从左往右是第项，所以.所以.
故选：D.
【点睛】本小题主要考查新定义数列找规律，考查等差数列通项公式与前项和公式有关计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.
6. 近几年，我国新能源汽车行业呈现一片生机勃勃的景象.电动汽车因其智能性与操控感越来越被人们接受与认可，尤其是其辅助驾驶功能.某品牌电动汽车公司为了更好地了解车主使用辅助驾驶功能的情况，进行了问卷调查，从中抽取了100位车主进行抽样分析，分析100位车主在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数，得到如下频率分布直方图（60次以上的称为经常使用辅助驾驶功能，则下列结论错误的是（ ）
A.
B. 估计车主在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数的平均数低于70
C. 从这100位车主中随机选取一位车主，则这位车主经常使用辅助驾驶功能的概率约为
D. 按照“经常使用辅助驾驶功能”的人与“不经常使用辅助驾驶功能”的人进行分层抽样，从这100人中抽取12人，则在经常使用辅助驾驶功能的人中应抽取8人
【答案】D
【解析】
【分析】根据频率之和为1即可求解A，根据平均数的计算公式即可求解B，由频率的计算即可求解C，利用抽样比即可求解D.
【详解】对于A，由频率分布直方图可得，故，A正确，
对于B，使用辅助驾驶功能的次数的平均数为，故B正确，
对于C，使用辅助驾驶功能的次数不少于60的频率为，故C正确，
对于D，“经常使用辅助驾驶功能”的人与“不经常使用辅助驾驶功能”的频率之比为，
故从这100人中抽取12人，则在经常使用辅助驾驶功能的人中应抽人，故D错误，
故选：D
7. 对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图．下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（ ）个．
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；
③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；
④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分．
A. 1B. 2
C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分，平均成绩为低于分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内，②正确；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中的最高分大于分与最低分低于分，最高分与最低分的差超过分，故④正确.故选C．
考点：1.折线图的应用；2.线性相关及平均数和极差．
8. 博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则
A. P1•P2＝B. P1＝P2＝C. P1+P2＝D. P1＜P2
【答案】C
【解析】
【分析】将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.
【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321
方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1＝；
方案二坐车可能：312、321，所以，P1＝；
所以P1+P2＝
故选C.
【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 在数列的相邻两项之间插入此两项的和形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．将数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，记，数列的前项和为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据数列的构造写出前面几次得到的新数列，寻找规律，构造等比数列，求出通项公式，再进行求和.
【详解】由题意，第一次得到数列：1，3，2，此时；
第二次得到数列：1，4，3，5，2，此时；
第三次得到数列：1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时；
第四次得到数列：1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时.
所以，故A对；
因为.
故，又，
所以是以为首项，以3为公比的等比数列，
所以，故C错误；
所以，故D正确；
设有个数相加，有个数相加，有个数相加，……， 有个数相加，
所以，，，……，，
各式相加得：，
所以，所以，故B正确.
故选：ABD
10. 下列论述正确的是（ ）
A. 样本相关系数时，表明成对样本数据间没有线性相关关系
B. 由样本数据得到经验回归直线必过中心点
C. 用决定系数比较两个回归模型的拟合效果时，越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差
D. 研究某两个属性变量时，作出零假设并得到2×2列联表，计算得，则有的把握能推断不成立
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：根据相关系数的性质分析判断；对于B：根据经验回归方程过样本中心点分析判断；对于C：根据决定系数的性质分析判断；对于D：根据独立性检验思想分析判断.
【详解】对于选项A：样本相关系数的绝对值越大，线性相关性越强，
所以样本相关系数时，表明成对样本数据间没有线性相关关系，故A正确；
对于选项B：经验回归直线必过中心点，故B正确；
对于选项C：在回归分析中，越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故C错误；
对于选项D：因为，根据独立性检验的思想可知有的把握能推断不成立，故D正确；
故选：ABD.
11. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 事件B与事件相互独立D. ，，是两两互斥的事件
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接利用条件概率公式求出，可以判断A；利用贝叶斯公式求出，可以判断B；利用可以判断C；由题意直接分析出，，是两两互斥的事件，即可判断D.
【详解】由题意分析可知：，，是两两互斥的事件.故D正确；
，，.
所以.故A正确；
同理，可得，
所以.，
所以，故B正确；
因为,而，
所以,
所以事件B与事件不是相互独立事件，故C错误.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球.先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒.记事件A为“从甲盒中取出2个红球”，事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则______，______.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】利用条件概率与独立事件的概率公式即可得解.
【详解】第一空：，
第二空：从甲盒中取出的是一个红球和一个白球，
乙盒中还剩下两个红球或者两个白球.
则
故答案为：；.
13. 某企业生产甲､乙两种产品，现从一批产品中随机抽取两种产品各5件进行检测，检测量结果如下：
由于表格被污损，数据a，b看不清，统计员只记得甲､乙两种产品检测数据的平均数和方差都相等，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出均值可得，再由方差相等可得，解方程组即可求解.
【详解】，可得 ①，
，
则，
可得 ②，
由①②可得 ，所以 ，
故答案为： .
14. 已知数列满足，，若表示不超过x的最大整数，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据迭代法可得利用裂项求和结合的定义即可求解.
【详解】由得时，，
当时，也符合，所以
，故，
，
故答案为：1
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：
（1）判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？
（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．
下面的临界值表供参考：
(参考公式：，其其中n＝a＋b＋c＋d)
【答案】（1）有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关；（2）．
【解析】
【分析】（1）由题中列联表计算卡方，根据数值计算做出判断即可；（2）由分层抽样确定抽取的6人中男生和女生的人数，再根据古典概型计算概率即可.
【详解】解：（1）由公式，
所以有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关．
（2）设所抽样本中有m个男生，则，得，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作
B1，B2，B3，B4，G1，G2．从中任选2人的基本事件有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，B4)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，(G1，G2)，共15个，
其中恰有1个男生和1个女生的事件有(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，共8个．
所以恰有1个男生和1个女生的概率为．
【点睛】方法点睛：古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
16. 某次文化艺术展，以体现了中华文化的外圆内方经典的古钱币造型作为该活动的举办标志，举办方计划在入口处设立一个如下图所示的造型现拟在图中五个不同的区域栽种花卉，要求相邻的两个区域的花卉品种不一样.
现有木绣球、玫瑰、广玉兰、锦带花、石竹等5各不同的品种.
（1）（i）共有多少种不同的栽种方法；
（ⅱ）记“在③和⑤区域栽种不同的花卉”为事件A，“完成该标志花卉的栽种共用了4种不同的花卉”为事件，求；
（2）设完成该标志的栽种所用的花卉品种数为，求的概率分布及期望.
【答案】（1）（i）420种；（ⅱ）
（2）分布列见解析，数学期望为
【解析】
【分析】（1）（i）规定涂色顺序为：①→③→②→④→⑤，分类讨论②和④是否同色，进而分析求解；（ⅱ）根据题意求，结合条件概率公式运算求解；
（2）分析可知：可能的取值为3，4，5，结合（1）中结论求分布列和期望.
【小问1详解】
（i）规定涂色顺序为：①→③→②→④→⑤，
若②和④同色，方法数为；
若②和④不同色，方法数为；
所以共有种不同的栽种方法；
（ⅱ）由题意可知：，，
所以.
【小问2详解】
由题意可知：可能的取值为3，4，5，则有：
，，，
所以的概率分布列为
期望为.
17. 已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得，求解即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用分组求和法可求.
【小问1详解】
设数列的公差为，则，
又是和的等比中项，所以，
解得或（舍去），
所以.
【小问2详解】
由（1）可得，
所以，
所以，
所以，所以
18. 在数列中，，，，
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，，求数列前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）本问考查等比数列的证明，根据等比数列定义，为了证明数列为等比数列，需要证明为一个常数，根据已知条件，所以，于是问题得证；（2）根据第（1）问，是首项为，公比为的等比数列，于是可以求出，于是可以累加法求通项，，则 ，，数列的前项和可以拆分为数列，的前项和.
试题解析：（1）由 ，得，
又，，所以
所以是首项为，公比为的等比数列．
所以，
所以.
（2）, ，
，
记数列的前项和为Sn，则

记数列的前项和为，则

.
所以数列前项和为.
19. 已知等差数列的前项中，奇数项的和为56，偶数项的和为48，且（其中）：
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，…，，…是一个等比数列，其中，，求数列的通项公式；
（3）若存在实数a，，使得对任意恒成立，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据已知条件求得，再利用已知求出，，再写出数列的通项公式；
（2）先求出，再结合；
（3）先求出的单调性，再求的最小值.
【小问1详解】
由题意，，，
因为，所以，解得，
所以，因为，且，所以，
设数列公差为，则，所以，
所以，通项公式.
【小问2详解】
由题意，，，
设这个等比数列公比为q，则，那么，
另一方面，所以.
【小问3详解】
记，
则，
因为，所以当时，，即，
又，所以当时，的最大值为，所以，
又，当时，，
所以，当时，的最小值，所以，
综上，的最小值为.甲
7
7
9
乙
6
喜欢“应用统计”课程
不喜欢“应
用统计”课程
总计
男生
20
5
25
女生
10
20
30
总计
30
25
55
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.25
0010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
3
4
5